第一章線性系統(tǒng)理論第1章

1、2010-09-25 當(dāng) m = n時，將有理分式進(jìn)行嚴(yán)格真化，有(bn -1 - bn an -1 ) pn -1 + L + (b0 - bn a0 )p n+ an -1 p n -1+ L + a1 p + a0y = bn +u則同理可設(shè)ì y(n)+ ay(n-1)+ a y(1)+ a y = un-11+0íîy = (b- b a) y(n-1)+ (b - b a ) y + b un-1n n-10n 0n于是可以得到y(tǒng) = (b0 - bn a0 ) x1 + L + (bn -1 - bn an -1 ) xn + bnu則寫成向量形式：

2、éêùé0ù01úê ú= êú X + êú uXêúê0úê1ú01ê-aú-a-aë0n-1 ûë û1y = (b0 - bna0 ), (bn-1 - bnan-1 )X + bnu12010-09-25例：給定系統(tǒng)的輸入輸出描述為y (3) + 16 y ( 2) + 194 y (1) + 640 y = 4u (3) + 160u (1) +

3、 720u解：先得出m=n，則由上面變換公式，可以直接得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為é x1 ùé0010-19401ù é x1 ùé0ùê x ú = êú ê x ú + ê0ú uê2 úêú ê2 úê úêë x3 úûêë-640-16úû êë x3

4、 úûêë1úûé x1 ù-64ê x2 ú + 4uy = -1840-616êúêë x3 úû例：給定系統(tǒng)的輸入輸出描述為y (3) + 16 y ( 2) + 194 y (1) + 640 y = 4u (3) + 160u (1) + 720u解：得出 m=n，則由上述變換公式，可以直接得到：é x1 ùé0010-19401ù é x1 ùé0

5、9;ê x ú = êú ê x ú + ê0ú uê2 úêú ê2 úê úêë x3 úûêë-640-16úû êë x3 úûêë1úûé x1 ù-64ê x2 ú + 4uy = -1840-616êú&#

6、234;ë x3 úû22010-09-251.4 狀態(tài)方程的對角線規(guī)范形和約當(dāng)規(guī)范形線性定常系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A 的特征值是表征系統(tǒng)的動力學(xué)特征的一個重要參量。（一）對角線規(guī)范形給定系統(tǒng)的狀態(tài)& 方程X = AX + Bu系統(tǒng)的特征值定義為如下特征方程det(I - A) = 0 的根。復(fù)習(xí)：（1） 一個階數(shù)為 n 的系統(tǒng)，必有且僅有 n 個特征值，可為實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。（2） 稱一個非零列向量 vi 為矩陣 A 的屬于特征值 li 的特征向量。如果滿足 (li I - A)vi = 0 。（3）對于某個特征值li ，其特征向量是不唯一的。（4）當(dāng) n 個特征

7、值l1 , 2 ,L, n為兩兩互異時，則任取的n 個v1 , v2 ,L, vn 必是線性無關(guān)的。特征向量32010-09-25結(jié)論：某線性系統(tǒng)，設(shè)其特征值 l1 , l2 ,L, ln 為兩兩互異， 并利用它們的特征向量組成變換矩陣 P = v1 , L , vn ， 那么系統(tǒng)的狀態(tài)方程在變換X = P -1X 下必可化為如下的對角線規(guī)范形：él 1êùúl= êú X + Bu2Xêúúêlën ûB = P-1B證明： 由 X = P -1 X ，可導(dǎo)出X&

8、= P -1 X& = P -1APX + P -1Bu = AX + Bu其中 A = P -1 AP ,P = v1 , L, vn ,可得到： AP = Av1 , L , Avn = 1v1 ,= Avii viL , n vn él1ùél1ùúúln úû êú = P ê= v , vêêëúln úûêêë1n上式兩邊左乘P -1得，él1ùú

9、úln úûA = P-1AP = êêêë42010-09-25例：給定線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為-1-1ùé2é7ùX = ê00 ú X + ê2ú u-12êêë0ú1 úûê úêë3úû要求化為對角線規(guī)范形。解：求出系統(tǒng)的特征值為l1 = 2 , l2 = 1, l3 = -1找到相應(yīng)的一組特征向量為：é1&

10、#249;é1ùé 0 ùv = ê0ú ,v = ê0ú ,= ê 1 úvê úêë0úûê úêë1úûêúêë-1úû123則可構(gòu)造出變換矩陣，為-1 11-1ùé11010 ùé1P = ê01 úP-1 = ê01 úê

11、;êë0ú-1úûêêë0ú0 úû52010-09-25再求出：é20100ùé2ùA = P-1AP =³ ê00úB = P-1B = ê5úêêë0ú1úûê úêë2úû于是得到系統(tǒng)的對角線：é x1 ùé20100 ù 

12、3; x1 ùé2ùêxú = ê00 ú êx ú + ê5ú uê2 úêêë0ú ê2 úê úêë x3 úû-1úû êë x3 úûêë2úû說明： 對角規(guī)范形中，各個狀態(tài)變量間實現(xiàn)了完全解耦，即可表成為n 個的狀態(tài)變量方程； 如果原始系

13、統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣 A 具有形式éê01ùúúúA = êê01ê-aú-a-aë0n-1 û162010-09-25且其特征值 l1 , l2 , L , ln 兩兩不相等，則變換矩陣為éê11ùúúúllP = ê11êêúlln-1n-1ë 1nû 當(dāng)特征值 1 , 2 , L, ln 中包含復(fù)數(shù)特征值時，P 、 A及B 都將為復(fù)數(shù)矩陣，沒有實際物理含義。但

14、不影響對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特征的分析。（二）約當(dāng)規(guī)范形若系統(tǒng)的特征值為非互異，則狀態(tài)方程一般不能變換為對角線規(guī)范形，但可變換為準(zhǔn)對角線規(guī)范形，即約當(dāng)規(guī)范形。 約當(dāng)規(guī)范形給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程，設(shè)其特征值為 l1 (1重)， l2 (2重），¼， ll (l重) ， (1 + 2 + L + l ) = n ，則存在可逆變換矩陣 Q ，通過引入變換 X = Q% -1 X ，可使?fàn)顟B(tài)方程化為如下的約當(dāng)規(guī)范形：72010-09-25éJ1ùX = Q-1AQX + Q-1Bu = êú X + BuêúêëJl ú

15、;û其中，B% = Q-1 B ，Ji 為 i ´ i 矩陣，它具有以下形式：éJi1ù= êú ,i = 1, 2,J, lêúiêúJiaëi û其中，l 為相異特征值li的個數(shù)。稱Ji 為相應(yīng)于重特征值li 的約當(dāng)塊。（共l 個）而Jik 稱為相應(yīng)于特征值li 的約當(dāng)小塊，且具有以下形式：éliê1ùú1 ú= êú ,為r ´ r 矩陣Jêikikikêl ú

16、ëi û其中，k = 1, 2,L, i82010-09-25結(jié)論：（1）矩陣A 的特征值為各種重數(shù)的重值時，不能通過變換而實現(xiàn)完全解耦，約當(dāng)規(guī)范形只可能達(dá)到最簡耦合形式。（2）在這種規(guī)范形中，每一個狀態(tài)變量的方程和下一序號的狀態(tài)變量耦合。 特征值的代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)定義：設(shè) li 為矩陣A 的一個特征值，且有ìlI - A) = (l - l ) b (sl)det(iiiíîbi (li ) ¹ 0則稱si 為 li 的代數(shù)重數(shù)。再設(shè) rank (li I - A) = n - ai ，則稱ai 為 li 的幾何重數(shù)。92010-

17、09-25說明：（1）li 的幾何重數(shù) ai， 為其約當(dāng)小塊的個數(shù)；（2）li 的代數(shù)重數(shù)si，則是所有屬于 li 的約當(dāng)小塊的階數(shù)ai= å rikk =1s i之和，即定義：稱 ai為 (i I - A) 的零空間的維數(shù)。(li - A)h = 0- A) 的零空間定義為，使而(i I成立的非零向量h 的集合。亦即 i 為li 的幾何重數(shù)。說明：只有當(dāng)所有特征值的幾何重數(shù)等于其代數(shù)重數(shù)，即ai = si =1 , i = 1, 2,L, l此時，n維線性系統(tǒng)具有互異特征值，則系統(tǒng)規(guī)范形具有對角線規(guī)范形的形式。廣義特征向量定義：稱一個非零向量 vi 是矩陣 A的屬于li（ si 重

18、）的 k 級廣義ì(l I - A) v = 0k特征向量，當(dāng)且僅當(dāng)iií(l I - A)v ¹ 0k -1îii當(dāng) k=1 時，廣義特征向量就等同于通常所定義的特征向量。102010-09-25廣義特征向量具有一些基本性質(zhì)：性質(zhì)1：設(shè)vi 是 A 的屬于 li 的 k 級廣義特征向量，則如下定義的 k 個向量必是線性無關(guān)的：ìv(k )vii(k -1)ï(l I - A)vïviiiíïï(l I - A)vk -1(1)vî iii并且稱此向量組為長度是k 的廣義特征向量鏈。性

19、質(zhì)2：矩陣 A 的屬于不同特征值的廣義特征向量之間必為線性無關(guān)。112010-09-251.5 由狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣多輸入多輸出系統(tǒng)(MIMO)：傳遞函數(shù)陣表征了輸入輸出特性。由狀態(tài)空間描述，導(dǎo)出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。u 傳遞函數(shù)陣對于多輸入多輸出(MIMO)的線性定常系統(tǒng)，設(shè)L ,u 2 ,u p輸入變量組為：u 1 ,L ,y 1 ,yq輸出變量組為：y 2 ,假定，MIMO系統(tǒng)的初始條件為零，y i ( s ) 和 uj ( s ) 分別為 yi 和 uj 的拉斯變換，gij ( s ) 表示第 j 個輸入端到第 i 個輸出端的傳遞函數(shù)，其中：i = 1 , 2 , L , q

20、;j = 1 , 2 , L ,p則有ì y1(s) = g11(s)u1(s) + g12 (s)u2 ( s) + g1 p ( s)up( s)ï y(s) = g (s)u (s) + g (s)u ( s) + g( s)u ( s)ï22112222 ppíïïî y1(s)u1(s) + gp ( s)up ( s)122010-09-25其向量方程的形式為：é y1 (s) ùé g11 (s)g1 p (s)ù é u1(s) ùY (s) = &

21、#234;ú = êú êúêêë yúêú êúgqp (s)úû êëup (s)úû1 (s)= G(s)U (s)G ( s ) 稱為傳遞函數(shù)矩陣，為q ´ p的一個有理分式矩陣。說明：（1） 當(dāng) G ( s ) 的元傳遞函數(shù) gij (s) (其中，i =1,2,L, q ; j =1,2,L, p)除嚴(yán)格真外還包括真有理分式時，稱為真有理分式矩陣；（2） 當(dāng) g ij ( s ) 均為

22、嚴(yán)格真有理分式時，稱為嚴(yán)格真有理分式矩陣；lim G(s) = 零陣，嚴(yán)格真的。s®¥lim G(s) = 非零陣，真的。s®¥（3）當(dāng)G ( s ) 為真的或嚴(yán)格真的有理分式矩陣時，MIMO系統(tǒng)物理上可實現(xiàn)。132010-09-25MIMO系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為：ì X = AX + Bu ,X (0) = 0í y = CX + Duî傳遞函數(shù)陣為： G ( s ) = C( sI - A )-1 B + D說明：（1）上式中D¹ 0 時，G ( s ) 為真的；D = 0 時，G( s )為嚴(yán)格真且的有，： li

23、m G(s) = Ds®¥（2）G (s) 在理論分析中很重要，但計算不方便。G ( s ) 的實用計算關(guān)系式：先計算a (s)=det(sI - A) = sn+an-1sn-1+¼+a1s +a0ìEn-1 = CB和ïE= CAB + aCBn-2n-1ïíïE= CAn-2B + aCAn-3B + a CBï1n-12= CAn-1B + aCAn-2B + a CBïEî 0n-11則1a (s)G(s) =sn-1 + Esn-2 + E s + E + DEn-1n-2

24、10142010-09-25舉例：某給定的MIMO系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：é20ùé12ù023X = ê00ú X + ê10ú uêêë0y = 1ú1úû2 Xêêë3ú1úû1解：其特征多項式為： (s) = det( sI - A) = ( s - 2)2 ( s - 1) = s3 - 5s2 + 8s - 4計算系數(shù)矩陣：é12ù2ê10ú = 8E2 = CB = 141êêë3ú1