菱形證明專題訓練

1、實用標準文案絕密啟用前樂學教育菱形證明專題訓練1 .已知：如圖，在四邊形 ABC珅,AB/ CDE, F為對角線 AC上兩點，且AE=CF DF/ BE, AC平分 / BAD求證：四邊形ABCD7菱形.【答案】-. AB/ CD/ BAE=Z DCF.DF/ BE ./ BEF=Z DFE .Z AEB=Z CFD.又 AE=CF. .AEB / CFD . AB=CD. AB/ CD 四邊形ABCD1平行四邊形. AC平分 / BAD/ BAE=Z DAF.又/ BA占/ DCF/ DAF：/ DCF . AD=CD四邊形ABCD1菱形.2 .如圖，矩形 ABCDK點O為AC的中點，過點

2、O的直線分別與 AB, CD交于點E, F,連接 BF交 AC于點 M 連接 DE BO 若/ COB60 , FO=FCA EB求證：(1)四邊形EBF星菱形；【答案】連接OD點O為矩形ABCD勺對角線AC的中點,B,D, O 三點共線且 BD=DO=COAO在矩形 ABC珅，AB/ DC AB=DC / FCO/EAO在 4CF麗 AEOK. /CF實 AEO FO=EO又BGDQ 四邊形BEF*平行四邊形. BGCO / COB60 ,.COB等邊三角形./OCB60。./ FC(=Z DCBZ OCB30 . FGFC, / FOB/ FCO30 . / FOB/ FOCZ COB90

3、 .EFL BD .平行四邊形 EBF星菱形.(2) MB： OE=3 : 2.【答案】.BO:BG 點B在線段OC勺垂直平分線上 . FO=FC, . .點F在線段OC的垂直平分線上.BF是線段OC的垂直平分線. /FMO/ OMB90 . / OBM30 . . OF=BF即 FO=EQ BM OE=3 : 2.3.如圖，在ABC3，/ABC90° ,BD為AC邊上的中線，過點C作CEL BD于點E,過點A作BD 的平行線，交CE的延長線于點 F,在AF的延長線上截取 FGBD連接BG DF求證：四邊形BGFD 是菱形.BM=BF MF=2OF OF=OF【答案】' FG

4、/ BDBD=FG，四邊形BGFD1平行四邊形. CFL BDAG/ BD CF1AG 又. / ABG90 ，點 D是 AC的中點，BD=DF=AC平行四邊形BGFD1菱形.4.如圖，點O是菱形ABCD寸角線白交點，DE/ ACCE/ BD連接OE 求證：OE=BCADBC【答案】DE/ ACCE/ BD四邊形OCE里平行四邊形.興興興興興興興興興興興興興興興興興題答內線訂裝在要不請派. . . . . . . . . . . . (. . . . (. . . . . (. (. . . . (. (. .).戔.，丁.).).).外.).). 四邊形ABCD1菱形，. Ad BDOB=O

5、D /BOC/COg90 , 四邊形OCE里矩形, / ODE90 , OB=OD / BOC/OD=90BO, OE=,. DE=OC. OE=BC5. 2015 蘭州中考,25(9 分)如圖，四邊形 ABCD , AB/ CDAA CD BD=AC.(1)求證：AD=BC【答案】 作BM/ AC Bg DC的延長線于點 M則/ ACD= BMD. 1分. AB/ CDBM/ AC 四邊形ABMC；平行四邊形.2分 . AC=BM.BD=AC . BM=BD.BDM = BMD./ BDC= ACD.在 ABDCH AC加, .BD挈 ACD.4 分BC=AD. 5 分(2)若E, F, G

6、, H分別是AB CDAC BD的中點.求證：線段EF與線段GH互相垂直平分【答案】連接EGGFFHHE. 6分 E,H 為 AR BD的中點，EH=AD.同理 FG=ADEG=BCFH=BC.BC=AD . EG=FG=FH=EH. 8 分四邊形EGF圉菱形，EF與GHM相垂直平分.9分6. 2015 長春中考，18 （7分）如圖,CE是 ABC7卜角/ ACD勺平分線,AF/ CD交CE于點F, FG/ AC交CD于點G求證：四邊形ACG屋菱形.【答案】因為AF/ CD FG/ AC7. 2010 上海中考，23已知梯形 ABC由，AD/ BC AB= AD如圖所示），/ BAD勺平分線A

7、E交BCT點E,連結 DE（1）在圖中，用尺規(guī)作/ BA曲平分線AR保留作圖痕跡，不寫作法 ），并證明四邊形 ABED 菱形；所以四邊形ACGF1平行四邊形， 又因為/ ACEH ECG/ ECGg AFC 所以/ ACEN AFC所以 AC=A®, 由得四邊形ACGF1菱形. / BAE= / DAE/ DAE= / BEA/ BAE= / BEA AB= BE= ADAD/ BE, 四邊形 ABED勺平行四邊形，又 AB= AD四邊形ABE時菱形(2) /ABC= 60 , EC= 2BE 求證：EDL DC【答案】 過D作DF/ AE則DF= CF= 1,./ C= 30 ,而

8、/ DEC= 60 ,興興興興興興興興興興興興興興興興興題答內線訂裝在要不請派.o.o.o.o. o.線 .o.o.訂 . o.o.裝 . o. o.外 . o.o./ EDC= 90 ,EDL DC8. 2010 沈陽中考，19如圖，菱形 ABCD勺對角線AC與BD相交于Q點E, F分別為邊 AB AD的中點，連接 EF, OE OF求證：四邊形 AEO層菱形.【答案】二點E, F分別為AB, AD的中點 . AE= AB AF= AD2 分）又.四邊形ABC比菱形AB= AD.AE= AR4 分）又菱形 ABCD勺對角線 AC與BD相交于點O.O為BD的中點. OE OF是ABD勺中位線（

9、6分）. OE/ AD OF/ AB四邊形AEOF1平行四邊形（8分）文檔大全AEE= AF四邊形 AEO屋菱形（10分）9.2010 安徽中考，20如圖，AD FE,點 B, C在 AD上，/ 1 = /2, BF= BC（1）求證：四邊形 BCE喔菱形；【答案】- AD/I FE / FEB= / 2. / 1 = 7 2,FEB= / 1.BF= EF. BF= BCBC= EF 四邊形BCEF1平行四邊形. BF= BC 四邊形BCEF1菱形（5分） 若 AB= BC= CD 求證： ACF BDE【答案】EF= BC AB= BC= CD AD/ FE, 四邊形 ABEF四邊形CDE

10、F勻為平行四邊形，. AF= BE FC= ED（8分）又AO 2BC= BD, （9 分） .ACBBDR10 分）10. 2013 長沙中考，24如圖，在？ ABCD中，M N分別是 AD, BC的中點，/ AND= 90° , 連接CMK DN于點OBNC（1）求證： ABNACDIM【答案】/ ABN= / CDM AB= CDBN= BC= AD= DM題答內線訂裝在要不請派.：二：JO訂,二 i 二二一。"裝,二二二o二二二。,二二二夕,二二二O,二二二O. .AB宙 CDI(SAS).過點C作C已MNF點E,交DNF點P,若PE= 1, / 1 = / 2,求

11、AN的長.【答案】.M O分別為AD ND的中點，. AN/ MOS AN= 2MO丁/MOD： /AND= 90° ,即平行四邊形 CDMNL菱形，在 RkMODf RtANEO,/1 = /2, MD= NCRtAMODRtANEC.M® NE根據(jù)菱形的性質可知，/ MND： / CND / 1=/ CND所以/ MNDZ CND= / 2=30° ,所 以在 RtA ENP43 NE= PE+tan30 =,即 AN= 2.11.如圖，在ABC43, ZA=90 ,AHL BC于點H / B的平分線交 AC于點D交AH于點E, DFL BC于點F,求證：四邊

12、形AEFD1菱形.B HF C【答案】/ ABD= FBD BD=BPZ BAD= DFB=0 , AB四 FBD . . AD=DFAB=FB.又 / ABEH FBEBE=BE .ABE FBE. / BAEN BFE.又/ BAE：90 -/ABC= C,/ BFE= C EF/ AD. DFL BCAHL BC AE/ DF.四邊形AEFD1平行四邊形.又AD=DJF. .四邊形AEFD1菱形.12. 2012 南寧中考,25如圖，已知矩形紙片 ABCDAD= 2,AB= 4,將紙片折疊，使頂點A與邊 CD上的點E重合，折痕FG分別與ABCD交于點GF,AE與FG交于點O圖1圖2實用標

13、準文案(1)如圖1,求證：AGE, F四點圍成的四邊形是菱形;【答案】證法證明：在矩形 ABC珅,CD AB / 1 = / 3（1 分）由折疊可知：AG EG/1 = /2 / 2=Z 3EF= EQ2 分）EF= AG 四邊形AGEF1菱形（3分）證法二：證明：連接 AF由折疊可知4TaOA= OEAG= EG1 分）在矩形 ABC珅,AB/ CD / AEF= / EAG. / AOG= / EOF. .AO等EOFASA（2 分）AG= EF，四邊形AGEF1菱形（3分） 如圖2,當 AED勺外接圓與BC相切于點N時，求證，點N是線段BC的中點;【答案】 證明：連接 ONO是RtAD的

14、卜接圓圓心 O O與BC相切于點N ONL BC4 分）在矩形 ABC珅,DCL BC AB! BC. CD/ ON/ AB= （5 分）. OA= OE，CN= NB即N為BC的中點（6分）興興興興興興興興興興興興興興興興興題答內線訂裝在要不請派. . . . . . . . . . . . . （. . . . . . （. . . . . （. （. . . . （. （. .）.戔.，丁.）.）.）.外.）.）.OM=4- =文檔大全(3)如圖2,在第2問的條件下，求折痕FG的長.【答案】解法一：過點O作OMLAB于點M則四邊形 OMB曜矩形設。0半徑為x,則OA OE= ON= x(

15、7分).AB= 4, A4 2 .A陣 4-x由第2問得,NB= OM= 1在 RtA AO帥,OA= aM+ OM1, x2= (4 -x)2 + 12 ，x=(8 分)AM= 4-= / FEO= / OAM又. / FOE= / OMA 90RtAEFCO RtA AOM= = （9 分）. OF=FG= 2OF= （10 分）解法二：延長NO交AD于點M 四邊形 ABNM1矩形AM= BN= AD- 1 O為RtAAD的卜接圓圓心OA= OE= ON設O曲x,則OM= 4-x（7分） 在 RtA AM*, AM+ OM= OA 即十 （4 x）2= x?x= （8 分）. FGL AE

16、, MIN/ DC . . / FEO / MOA / AM® / EOF= 90.EO田 OMA=，= (9 分). OF= FG= 2OF= (10 分)13. 2013 葫蘆島中考，20(本小題滿分8分)如圖，四邊形 ABC, , AD/ BC BAL AD BC=DfBE± CH點 E.(1)求證： AB坐 EBD【答案】如圖,. AD/ BC ./ 1=/ DBC. BC=DCZ 2=/ DBC.，/1=/2.2 分又 / BADN BED=0 ,BD=BD， AB窿 EBD.4 分 過點E作EF/ DA交BDT點F,連接AF.求證：四邊形AFED菱形.【答案】由

17、第1問得，AD=ED/ 1=/ 2.EF/ DA 1- / 1 = / 3,/ 2=/ 3.EF=ED.5 分EF=AD.6 分 四邊形AFED1平行四邊形.又AD=ED. 四邊形AFED1菱形.8分14. 2013 貴陽中考,20興興興興興興興興興興興興興興興興興題答內線訂裝在要不請派. . . . . . . . . . . . . (. . . . . . (. . . . . (. (. . . . (. (. .).戔.，丁.).).).外.).).已知：如圖，在菱形 ABC由，F(xiàn)為BC上的任意一點，連接 AF交對角線BD點E,連接實用標準文案EC(1)求證：AE= EC【答案】證明

18、：連接AC.B或菱形ABCD勺對角線, B麗直平分ACAE= EC (2)當/ ABC= 60° , / CEf 60°時，點F在線段BC上的什么位置？說明理由【答案】點F是線段BC的中點.理由：二.菱形 ABC珅，AB= BC y. Z ABC= 60 . .ABC等邊三角形，/ BAC= 60° .AEE= EC / CE鼻 60 , ./ EAO 30 . .AF是ABC勺角平分線. AF交BC于點F, .AF是 ABC勺BC邊上的中線. 點F是線段BC的中點.15. 2012 上海中考，23已知：如圖，在菱形ABC珅，點E.F分別在邊 BCCD上,/ BA

19、F= /(1)求證：BE= DF【答案】四邊形ABCM菱形，AB= AD= BC= CD/ ABD= / ADB= / CBD= / CDB/ ABE= / ADFBAF= / DAE且 / BAF= / BAEF / EAF/ DAE= / DAFb / EAF/ BAE= / DAF .ABE ADFASA).BE= DF(2)當=時，求證：四邊形 BEF0平行四邊形【答案】在菱形ABCW , ADBC / DAE= / BEA / ADB= / EBD AAGID EGB又.= , BE= DFGF/ BE .Z DGF= / DBC興興興興興興興興興興興興興興興興興題答內線訂裝在要不請

20、派. . . . . . . . . . . . (. . . . (. . . . . (. (. . . . (. (. .).戔.，丁.).).).外.).). / DBC= / CDB / DGa/ GDF.GF= DFBE= GFBEGF四邊形BEF境平行四邊形.16. 2013 烏魯木齊中考,19如圖，在ABC中，/ACB= 90 ,CDL AB于D,AE平分/ BAC分 別與BCCD于E, F, EHL AB于H連接FH求證：四邊形 CFHE菱形.A D HB【答案】AE 平分 / BAC，/CAE= /EAH 而ACB= 90° , CDL AB Z CEAF / C

21、AE= / AFDF / EAH= 90° ,又/ AP氏 / CFE ./ CFE= / CEF CF= CE又AE平分/ BAC/ACB= 90 .EHL AB CE= EH . CF= EH= CE CDL AB EHL AB CF/ EH，四邊形CFH虛菱形.17.如圖所示，在菱形 ABCW , CEL AB于點E CF1AD于點F,求證：AE=AF.【答案】證?t 1:如圖所示，連接AC四邊形ABCDI菱形，. AC平分/ BAD即/ BAC=DAC.在 AACED AC 葉,/ AEC= AFC90 , / BAC= DACAC=AC .ACEAACI(AAS), .-.

22、AE=AF.證法2： .四邊形ABCD1菱形，文檔大全BC=DC=AD=ABB=/ D.又.在 BCE和 ADC葉,/BECW DFC=0.BC凄 DCFAAS), . BE=DF，AE=AF.18. 2013 南寧中考，23如圖，在菱形 ABC珅，AC是對角線，點 E, F分別是邊BC AD 的中點.A F D(1)求證： AB彥ACDF【答案】 在菱形 ABC叩,AB= BC= CD= DA或AB= CD BC= DA./ B= / D點E, F分別是邊BC AD的中點，BE= DF.ABEE CDF(2)若/B= 60° , AB= 4,求線段 AE的長.【答案】解法一：= A

23、B= BC / B= 60° , .ABC等邊三角形.點E是BC邊的中點. . AEL BC在 RtABE中,sin B=.AE= AB- sin B= 4X=.解法二：. AB= BC Z B= 60 , .ABC等邊三角形.點E是BC邊的中點，AE1 BC BAE= 30 .在 RtABE中,BE= AB= 2.AE=題答內線訂裝在要不請派.：二：JO訂,二 i 二二一。"裝,二二二o二二二。二二二實用標準文案19. 2012 溫州中考,19（本題8分）如圖，ABC43，/B= 90 ,AB= 6cm,BC= 8cm,將ABCB射線 BC方向平移 10cm,得到 DEF

24、A B, C的對應點分別是 D E, F,連接AD求證：四邊形 ACFM菱形.AD文檔大全已知：如圖17所示的一張矢I形紙片 ABCDAD>AB,將紙片折疊一次，使點再展開，折痕 EF交AD邊于點E,交BC邊于點F.分別連接AF和CE【答案】 法一：.一/ B= 90 ,AB= 6cm,BC= 8cm.AC= 10cm.由平移變換的性質得 CF= AD= 10cm,DF= AC. AD= CF= AC= DF四邊形ACFD1菱形.法二：由平移變換的性質得 AD/ CFAD= CF= 10cm,四邊形ACFD1平行四邊形，.一/B= 90° , AB= 6cm,BC= 8cm,A

25、C= 10cm,AC= CF? ACFDM菱形.20. 2011 ?蘭州中考，27（本小題滿分12分）A與點C重合,（圖17）（1）求證：四邊形 AFC國菱形;【答案】由題意可知OA= OC EF，AOBFC（第27遨答圖）. AD/ BC / AEO / CFO / EAO= / FCO AO摩 COF AE= CF,又 AE/I CF四邊形AECFM平行四邊形（2分）ACL EF, 四邊形 AEC喔菱形.（4分）2若AE= 10 cm, ABF的面積為24 cm,求 ABF的周長；【答案】二四邊形AEC提菱形， . AF= AE= 10 cm.設 AB= a, BF= b,ABF的面積為

26、24 cm, a2+ b2= 100, ab=48（6 分）2（a+b） =196, a+ b= 14 或 a+b= 14（不合題意，舍去）（7 分） ABF的周長為 a+b+10=24 cm（8 分）2（3）在線段AC上是否存在一點 P,使得2AE=AC AR若存在，t#說明點 P的位置，并予以 證明；若不存在，請說明理由.【答案】存在，過點E作AD的垂線，交AC于點P,點P就是符合條件的點（9分）證明：. / AEP= /AOE= 90 , / EAO= / EAP .AO摩 AEfP,2 .AE = AO AR11 分） 四邊形AECFM菱形，一 一2_. AO= AC AE= AC A

27、P2興興興興興興興興興興興興興興興興興題答內線訂裝在要不請派.o.o.o.o. o.線 .o.o.訂 . o.o.裝 . o. o.外 . o. .2AE = AC AP（12 分） 21. 2013 營口中考，19如圖 ,ABC3, AB=ACAD是ABC一個外角白平分線，且/ BAC= Z ACD.B C E(1)求證： ABCs CDA【答案】 AB=AC / B=Z ACB又一/ FAC是ABC勺一個外角，/ FACZ B+/ ACB /FACg/ACB 2 分又AD是/ FACW角平分線，F(xiàn)AC=/ CAD / ACBV CAD 3 分又. AC=CA/ BACW DCA. .AB笠 CDA 4 分 若/ ACB=0 ,求證：四邊形ABCDI菱形.【答案】. Z BAC= ACD .AB/ CD5 分又. / ACB= C