二次函數(shù)與特殊四邊形綜合問(wèn)題專(zhuān)題訓(xùn)練

1、【解答】(1) .直線y7 b =2c = 2拋物線的解析式為y - - x2 x 22二次函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)與特殊四邊形綜合問(wèn)題解析與訓(xùn)練【拋物線上的點(diǎn)能否構(gòu)成平行四邊形】例一、(2013河南)如圖，拋物線y= x2+bx+c與直線y =1 x+2交于C, D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D的2坐標(biāo)為(3 7)。點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作PE _L x軸于點(diǎn)E ,交CD于點(diǎn)F .2-(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè),C,P,F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由。1 x+2 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C,一. C(0,2)22 7、.,拋物線y =x +bx + c

2、經(jīng)過(guò)點(diǎn) C(0, 2), D(3,3)2 = c 72-=-32 3b c2(2) ,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 m且在拋物線上2 7_. 1一P(m, -m- m 2), F (m, -m 2)22PF / CO，當(dāng)PF =CO時(shí)，以O(shè),C,P,F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形2 71 當(dāng) 0<m<3時(shí)，PF = _m +-m+2(m+2) 222二m 3m.2-m +3m =2 ,解得：m =1,m2二2即當(dāng)m =1或2時(shí)，四邊形OCPF是平行四邊形127 當(dāng) m 23 時(shí)，PF =(-m+2)-(-m +-m+2)2=m -3m23 - a/173 - 17m 3m=2,解得：m1 =, m

3、2 =(舍去)22即當(dāng)317,，一 口一 ,m1=-一時(shí)，四邊形OCFP是平行四邊形2練習(xí)1： (2013?盤(pán)錦)如圖，拋物線 y=ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A ( - 1, 0)、B (3, 0),與y軸相交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為線段OB上的動(dòng)點(diǎn)(不與 O、B重合)，過(guò)點(diǎn)P垂直于x軸的直線與拋物線及線段BC分別交于點(diǎn)E、F,點(diǎn)D在y軸正半軸上，OD=2,連接DE、OF.(1)求拋物線的解析式；考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.分析： (1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；(2)平行四邊形的對(duì)邊相等，因此 EF=OD=2,據(jù)此列方程求出點(diǎn) P的坐標(biāo);解答： 解：(1)二.點(diǎn) A (-1, 0)、B (3,

4、0)在拋物線 y=ax2+bx+3 上，.a-b+3=0L9a+3b+3=0解得 a= - 1, b=2 ,，拋物線的解析式為：y= - x2+2x+3 .(2)在拋物線解析式 y= - x2+2x+3 中，令 x=0,得 y=3,C (0, 3).設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b ,將B (3, 0), C (0, 3)坐標(biāo)代入得：(馳+bR解得 k= - 1, b=3, y= x+3 .設(shè) E 點(diǎn)坐標(biāo)為(x, x2+2x+3),貝U P (x, 0), F (x, x+3), . EF=yE - yF= - x2+2x+3 - (-x+3) = - x2+3x . 四邊形ODEF是平行四邊

5、形， .EF=OD=2 ,- x2+3x=2 ,即 x2 - 3x+2=0 ,解得x=1或x=2 ,.P點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 0)或(2, 0).練習(xí) 2：已知拋物線的頂點(diǎn)為 N2, 1),且經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O,與x軸的另一交點(diǎn)為 B。(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)C在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)D在拋物線上，且以 Q C D B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求 D點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)連接OA AB,如圖，在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得OBFPfOABIf似？若存在，求出 P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。(1)由題意可設(shè)拋物送的驛圻式為y=a ( x-2) .1拋物送過(guò)原點(diǎn)，/+0-a(0-2) 2+1

6、 f(2 "口圖1,當(dāng)四邊形OCDB是平行四邊形時(shí)r CD=OB r由0=行-2 ) ,I得Xi=O ,刈=4 , 4aB (4.0) r OB=4,由于對(duì)稱(chēng)軸x= 2Q點(diǎn)的噴叁標(biāo)為6 .將x=6K入y=(x-2 ) :-l r 得y=T r 4.，D(6rT)；東據(jù)拋期線的對(duì)格性可知，在對(duì)稱(chēng)粕的左側(cè)范物線上存在點(diǎn)D ,使得四邊形0MB是平行四邊形,此時(shí)D點(diǎn)的坐瓊為12 , T ),當(dāng)四邊彩。匚BD是三行四邊形時(shí)，D點(diǎn)即為A點(diǎn)，1Z時(shí)D點(diǎn)的叁標(biāo)為(2 , 1)不存在.如圖2 ,由拋物稅的對(duì)稱(chēng)性可知：AO=AB r上AOB=±AB。.百-BOP與-AOB相似 f 0<z

7、POB = zBOA = zBPO設(shè)OP交地物線的對(duì)點(diǎn)軸于Ar點(diǎn)，顯然內(nèi) (2.1).陵0P的解析式為3(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo);1 1 i由-X二 T'X r 得Xl = 0 r Xz = 6 .2 4過(guò)P作P三，x軸，在Rt-BEP中 r BE=2 f PET,二PB .A (1,0)OB ,j.zBOP#zBPO f>PB。與-BA。不相似r同理可說(shuō)明在對(duì)鄧由左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點(diǎn).所以在該拋物送上K存在點(diǎn)P r使得-BOP與-A。B韋似一 12tan. OCA= 一練習(xí)3：（本題滿(mǎn)分12分）如圖，拋物線y=ax +bx+設(shè)點(diǎn)E在x

8、軸上，點(diǎn)F在拋物線上，如果 A、C E、F構(gòu)成平行四邊形，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn) E的坐標(biāo)（不必書(shū)寫(xiě)計(jì)算過(guò)與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于A、B兩點(diǎn)，3,S.ABC -6(3)程）.答案：24、解：(1) y = ax2 +bx + 3.C (0,3)/- 1又tan /OCA=一又S aabc=613 AB =62.AB=4 .B ( -3 , 0)(2)把 A (1,0)、B ( 3 , 0)代入 y =ax2 +bx + 3得:'0=a+b 十3八 1分0 =9a -3b+3 a-1, b - -22 y = -x -2x +3 2分y = -(x 1)2 4頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,4) 1分(3)AC為平行

9、四邊形的一邊時(shí)E1析(一1 , 0) 1分E2 ( -2 - ", 0) 1分E3 ( 2 + 77 , 0) 1分AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)E4 (3, 0) 1分點(diǎn)P是直線P的橫坐標(biāo);練習(xí) 4： (2011南寧)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A (3, 0)、B (0, -3),AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn) M,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.(1)分別求出直線 AB和這條拋物線的解析式.(2)若點(diǎn)P在第四象限，連接 AM、BM,當(dāng)線段PM最長(zhǎng)時(shí)，求 ABM的面積.(3)是否存在這樣的點(diǎn) P,使得以點(diǎn)P、M、B、。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在

10、，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；解一元二次方程-因式分解法；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；三角形的面積；平行四邊形的判定. 專(zhuān)題：壓軸題；存在型.分析：(1)分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把A (3, 0) B (0, - 3)分別代入y=x2+mx+n與y=kx+b,得到關(guān)于m、n的兩個(gè)方程組，解方程組即可；(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(t, t-3),則M (t, t2-2t-3),用P點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去 M的縱坐標(biāo)得到 PM的長(zhǎng)，即PM= (t-3) - ( t2 - 2t - 3) = - t2+3t,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到當(dāng)t=-士一

11、l=3時(shí)，PM最長(zhǎng)為0- §、=9，再利用三角形的面積公式利用Sa abm=S bpm+S*pm計(jì)算即可;一 一 2，.一4(3)由PM / OB,根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)PM = OB時(shí)，點(diǎn)P、M、B、。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，然后討論：當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3, PM最長(zhǎng)時(shí)只有，所以不可能；當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3, (t2-2t-3) - ( t-3) =3;當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3, t2-3t=3,分別解一元二次方程即可得到滿(mǎn)足條件的t的值.解答：解：(1)把 A (3, 0) B (0, 3)代入 y=x2+mx+n,得V 0-3+3/11解得,2

12、 ,所以?huà)佄锞€的解析式是y=x2- 2x- 3.-3=nn= - 3、X.設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b,把 A (3, 0) B (0, -3)代入 y=kx+b,得，解得:I-3=b b=-3所以直線AB的解析式是y=x-3;(2)設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)是(t, t-3),則 M (t, t22t3),因?yàn)閜在第四象限，所以 PM= (t3) ( t2 - 2t - 3) = - t2+3t,當(dāng)t=-/=3時(shí)，二次函數(shù)的最大值，即 PM最長(zhǎng)值為 =9:一 1124i 927貝U SAabm=Sbpm + Sapm= 乂 X 3= .(3)存在，理由如下: PM / OB,當(dāng)PM=OB時(shí)，點(diǎn)P、

13、M、B、。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3, PM最長(zhǎng)時(shí)只有 9,所以不可能有 PM=3.4當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3, (t2-2t-3) - (t-3) =3,解得t尸之，t2= § 一 匹(舍去)，所以P點(diǎn)的橫坐22標(biāo)是如；2當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3, t2-3t=3,解得ti=»亞(舍去)，t2=3 一歷,所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3 倔.222所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 世巨或A技 22【拋物線上的點(diǎn)能否構(gòu)成矩形，菱形，正方形】三、形成提升訓(xùn)練(下面兩題難度較大)1、(2007義烏市)如圖，拋物線 y = x22x-3與x軸交A、B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在

14、B點(diǎn)左側(cè))，直線l與拋物線交于 A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線 AC的函數(shù)表達(dá)式；(2) P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò) P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于 E點(diǎn)，求線段PE長(zhǎng)度的最大值；(3)點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在 x軸上是否存在點(diǎn) F,使A、C、F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿(mǎn)足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.52、如圖，拋物線經(jīng)過(guò) A(_1,0), B(5,0), C(0, 3)三點(diǎn).(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上有一點(diǎn)巳 使PA+PCW值最小，求點(diǎn) P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否

15、存在一點(diǎn)N,使以A,C,M,N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：解：(1)設(shè)拋物線的解析式為根據(jù)題意，得a -b +c =0,25a +5b +c =0,5c = 一12 -2,解得b = 2,5 c =- .2拋物線的解析式為:(第26題圖)2y = axbx c,(第26題圖)x2.2x-5（3分）(2)由題意知，點(diǎn) A關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)B,連接BC交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P,則P點(diǎn)即為所求.設(shè)直線BC的解析式為y = kx + b ,5k b =0,b = -5212,解得25b 二 一一2直線BC的解析式為15y = x22（6分）1

16、 2-5一拋物線y= -x 2x_的對(duì)稱(chēng)軸是x=2, 22,15當(dāng) x =2 時(shí)，y =1x522 3點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2,-）.（7分）(3)存在（8分）(i)當(dāng)存在的點(diǎn)N在x軸的下方時(shí)，如圖所示,四邊形ACNM平行四邊形，. .CN/ x軸，點(diǎn)C與點(diǎn)N關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸5、 一x=2對(duì)稱(chēng)，= C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-一)，.點(diǎn) 2 _5、N的坐標(biāo)為(4, 一).2（11 分）(II)當(dāng)存在的點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，如圖所示,作 N H _Lx軸于點(diǎn)H, 四邊形 ACM N是平行四邊形，_ ' ' ' ' _ _AC=MN,. NMH =. CAO,Rt CAO 9 Rt N M H , . N H = OC .5,一，55點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0, -),，N H =一,即N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 一，2221 25 59x 一2x =一，即 x 4x-10=02 2 2解得 x =2 ,14,x2 -2 -x14.，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2-五,2)和(2 ,哈綜上所述，滿(mǎn)足題目條件的點(diǎn)N共有三個(gè)，分別為(4,-5). , (2 十疝, 5)