曲線積分與曲面積分

1、第十章重積分曲線積分與曲面積分第一節(jié)二重積分一、二重積分的概念1，引例求曲頂柱體的體積曲頂柱體：設(shè)有一立體，它的底是xOy 面上的有界閉區(qū)域D ，它的側(cè)面是以D 的邊界曲線為準線而母線平行于z 軸的柱面， 它的頂是曲面zf (x, y) ， f (x, y) 在有界閉區(qū)域D 上連續(xù)，且f ( x, y)0,( x, y)D 。求曲頂柱體的體積（ 1）將區(qū)域 D 任意分成 n 個小區(qū)域1, 2,L ,n且以i 表示第 i 個小區(qū)域的面積，分別以這些小區(qū)域的邊界曲線為準線，作母線平行于 z 軸的柱面，這些小柱面把曲頂柱體分成n 個小曲頂柱體。以Vi 表示第 i 個小曲頂柱體的體積。曲頂柱體的體積為

2、：nVi 1Vi（ 2）在每個小區(qū)域i(i1,2,L, n) 上 任 意 取 一 點 (xi , yi ) ， 作 乘 積f ( xi , yi )i (i1,2,L , n) ，則Vif (xi , yi )i(i1,2,L, n)作和式nf ( xi , yi )ii 1（ 3）用 di 表示第 i 個小區(qū)域的直徑，記Max d1, d2 ,L , dn ，當(dāng)0 時，和式nf ( xi , yi )i的極限就定義為曲頂柱體的體積，即i 1nV limf (xi , yi )i0i 112 二重積分的定義和在直角坐標系中的表示定義 8.8設(shè) f (x, y) 是有界閉區(qū)域D 上的有界函數(shù)。將

3、區(qū)域D 任意分成 n 個小區(qū)域1,2 ,L,n且以i 表示第 i 個小區(qū)域的面積， 在每個小區(qū)域i (i1,2,L,n) 上任意取一點 ( xi , yi ) ，作乘積 f (xi, yi )( i 1,2,L, n) ， 并作和式nif ( xi , yi )i 。用 di表示第 i 個i 1小區(qū)域的直徑，記Max d1 ,d2 ,L , dn ，如果無論對D 怎樣分法，也無論點(xi , yi ) 怎n樣取法，只要當(dāng)0 時，和式f (xi, yi )i的極限總存在， 則稱此極限為f ( x, y) 在i 1D 上的二重積分，記作f ( x, y)d，即Dnf ( x, y)dlimf (

4、xi , yi )iD0i 1其中 f (x, y) 叫做被積函數(shù)，f (x, y) d叫做被積表達式，x與 y 叫做積分變量，D 叫做積nd 叫做面積元素。分區(qū)域，f ( xi , yi )i叫做積分和，i1注意n（ 1） limif ( xi , yi )i01（ 2） limnf ( xi , yi )ii01存在時，其極限I 與 D 的分法，點 ( xi , yi ) 的取法無關(guān)；存在時，其極限I 與積分變量x, y 無關(guān)；二重積分在直角坐標系中可表示為：f (x, y) df (x, y)dxdyDD其中 dxdy 叫做直角坐標系中面積元素。二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì) 1常數(shù)因子可以提到

5、積分號前，即kf (x, y) dkf (x, y)dxdyDD性質(zhì) 2 代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和，即2 f (x, y)g( x, y) df (x, y)dg( x, y)dDDD性質(zhì) 3 （對于區(qū)域的可加性）如果積分區(qū)域D 分成兩個區(qū)域，則f ( x, y)df ( x, y)df ( x, y)dDD1D2性質(zhì) 4 如果 f (x, y)g (x, y),( x, y)D ，則f (x, y)dg (x, y)dDD性質(zhì) 5 如果 f ( x, y)1,( x, y)D ，則f (x, y) dAD其中 A為 D的面積。性質(zhì) 6 如果 f (x, y) 在 D 上的最大值與最小值分

6、別為M 與 m ，則mAf ( x, y)dMAD性質(zhì) 7 （積分中值定理）如果 f (x, y) 在 D 上連續(xù)，則在 D 上至少存在一點( , )D使得f (x, y)df ( ,) AD成立。二重積分的幾何意義三、二重積分的計算1 利用直角坐標計算二重積分（ 1）設(shè)積分區(qū)域D 可表示為D(x, y) | 1( x)y2 ( x), a xb此類區(qū)域的特點為：用平行于y 軸的直線穿過區(qū)域D 的內(nèi)部時與 D 的邊界曲線相交恰好兩個交點，稱為X 型區(qū)域。則f (x, y) db2 ( x)dx(8.6)f ( x, y)dya1 ( x)D（ 2）設(shè)積分區(qū)域D 可表示為D(x, y) | 1(

7、 y)x2 ( y), cyd3此類區(qū)域的特點為：用平行于 x 軸的直線穿過區(qū)域 D 的內(nèi)部時與 D 的邊界曲線相交恰好兩個交點，稱為 Y 型區(qū)域。則d2 ( y )f ( x, y)dx dy(8.7)f ( x, y)d1 ( y )Dc2 ( x)時，把 x 看成常數(shù)；在計算2 ( y)注意在計算f ( x, y)dyf (x, y) dx 時，把 y1 ( x )1 ( y)看成常數(shù)。（ 3）若區(qū)域 D 既不是 X 型區(qū)域，也不是 Y 型區(qū)域，則可用平行于坐標軸的直線把它分成幾個部分區(qū)域，使每個部分區(qū)域是X 型區(qū)域或 Y 型區(qū)域， 然后利用公式 (8.6)或(8.7) 計算。計算二重積

8、分的步驟：（ 1）畫出積分區(qū)域圖，并確定積分區(qū)域的類型；（ 2）若積分區(qū)域 D 只是 X 型區(qū)域， 則用公式 (8.6) ，若積分區(qū)域 D 只是 Y 型區(qū)域，則用公式 (8.7) ，積分區(qū)域 D 既是 X 型區(qū)域又是 Y 型區(qū)域，則要根據(jù)被積函數(shù)的特點確定用 (8.6) 還是用 (8.7) 計算。例 1 計算二重積分exydxdy ，其中 D 由 x0, x1, y0, y1 圍成。D例 2 計算二重積分x2 ydxdy，其中 D 由 x0, y0, x2y21圍成。D例 3 計算二重積分(2 x y)dxdy ，其中 D 由 y1,2xy 30, x y 3 0 圍D成。例 4 計算二重積分

9、ex2dxdy，其中 D 由 yx, yx2 圍成。D例 5 計算二重積分xydxdy，其中 D 由 y2x, yx 2圍成。D2利用極坐標計算二重積分設(shè)通過原點的射線與區(qū)域D 的邊界曲線的交點不多余兩點，則二重積分在極坐標系下可表示為：f ( x, y) df (r cos , r sin ) rdrd（ 8.8）DD其中 rdrd叫做極坐標系中面積元素。在極坐標系下的二重積分，也要化為二次積分計算：（1）極點 O 在區(qū)域 D 之外，此時積分區(qū)域D 可表示為D( r , ) | r1 ( ) rr2 ( ),則f ( r cos, r sin ) rdrdr2 ()（ 8.9）f (r cos , r sin ) rdr dDr1 ( )（2）極點 O 在區(qū)域 D 的邊界上，此時積分區(qū)域D 可表示為4D( r , ) | 0rr ( ),則f ( r cos, r sin)rdrdr ( )f (r cos, r sin) rdrd(8.10)0D（3）極點 O 在區(qū)域 D 的內(nèi)部，此時積分區(qū)域D 可表示為D( r ,) | 0rr ( ),02則f