拋物樣條曲線的原理說明

1、拋物樣條曲線的原理說明及拋物曲線程序說明假如我們采用矢量表達(dá)式來表示參數(shù)化的二次曲線， 那么可以把拋物線的表達(dá)式寫成如下的一般形式：P(t)=A 1+ A 2t+ A 3t2(0=<t<=1)該拋物線過P1, P2, P3 三個(gè)點(diǎn)，并且：1. 拋物線以 P1 點(diǎn)為始點(diǎn)。當(dāng)參變量 t=0 時(shí)，曲線過 P1 點(diǎn)；2. 拋物線以 P3 點(diǎn)為終點(diǎn)。當(dāng)參變量 t=0 時(shí)，曲線過 P3 點(diǎn)；3. 當(dāng)參變量 t=0.5 時(shí)，曲線過 P2 點(diǎn) ,且切矢量等于 P3 P1。t=0: P(0)= A 1= P1t=1: P(1)= A 1 + A 2+ A 3=P3t=0.5:P(0.5)= A 1

2、+ 0.5A 2 +0.25 A 3=P2通過解聯(lián)立方程，得到三個(gè)參數(shù)A1 、 A 2、 A3分別為：A1=P1A 2=4 P 2 P3 3P1A 3=2P1+2P3 4P2把求出的這三個(gè)系數(shù)的值，代入拋物線的表達(dá)式P(t)=A 1 23t2+ A t+ A得： P(t)= （2t3t+1） P1 +(4t 4t2)P2+(4t2 t)P3(0=<t<=1)設(shè)有一離散型值點(diǎn)列Pi（ i=1,2, ,n） ,每經(jīng)過相鄰三點(diǎn)作一段拋物線，由于有n個(gè)型值點(diǎn)，所以可以做n-2 條拋物線段。在這 n 2 條拋物線段中， 第 i 條拋物線段為經(jīng)過 Pi, Pi+1 , Pi+2三點(diǎn)，所以它的表

3、達(dá)式應(yīng)為： Si(ti)=（ 2t2i 3ti+1 ） Pi +(4 t i 4 t2i) Pi+1+(2t 2i ti) Pi+2(0=< t i <=1)同理，第 i+1 條拋物線段為經(jīng)過 P,P ,Pi+3三點(diǎn)，所以它的表達(dá)式應(yīng)為： S (ti+1)=i+1i+2i+1（2t22+(2t2(0=< t i+1 <=1)i+1 3ti+1 +1）Pi+1 +(4 t i+1 4 ti+1 ) Pi+2i+1 ti+1 ) Pi+3一般來說， 每?jī)啥吻€之間的搭接區(qū)間，兩條拋物線是不可能重合的。 如下圖所示：Si+1SiPi+1Pi+2Pi+3Pi顯然，對(duì)于擬合曲線來

4、說，整個(gè)型值點(diǎn)必須只能用一條光滑的曲線連接起來。為了做到這一點(diǎn)，必須找一種方法把 Si 和 Si+1 這樣的曲線段的共同區(qū)間結(jié)合起來。這種方法就是加權(quán)合成方法。我們?cè)O(shè)共同區(qū)間的函數(shù)是 Pi+1 (t)=f (T ) S i(t i)+g ( T) S i+1 (t i+1 ). 其中 f (T ) 和 g ( T) 是權(quán)函數(shù)。在拋物樣條曲線中我們?nèi)『?jiǎn)單的一次函數(shù)為權(quán)函數(shù)，且具有互補(bǔ)性，設(shè)f (T ) =1 Tg ( T) =T這樣 Pi+1 (t)= (1 T ) Si(t i)+ T S i+1 (t i+1 ).因?yàn)?函數(shù)中有 T 、 ti 和 ti+1 三個(gè)參數(shù)，因此接下來我們的工作是統(tǒng)

5、一參數(shù)。我們可以三個(gè)參變量統(tǒng)一形式為：T=2tti=0.5+tti+1 =t這樣 Pi+1(t)=（ 2t3 2 t） Pi+(12t3 410t2i+132i+23 2t2i+3+4t+1)P+( 12t +8t +t) P+(4t)P(0=< t i <=0.5)從幾何意義上說，函數(shù)P (t)表示的上圖的點(diǎn)P ,到 P 之間的線段。但是我們應(yīng)該看i+1i+1i+2到這種方法從n 個(gè)點(diǎn)中只能得到n 3 段曲線。 但是 n 個(gè)型值點(diǎn)應(yīng)有n1 段曲線。 一個(gè)直接的想法是添加兩個(gè)輔助點(diǎn)。那么如何添加呢？方法一：兩個(gè)輔助點(diǎn)為P0和 Pn+1, P0=P1， Pn+1 = Pn ,這樣畫出的曲線為一條不閉合的自由曲線。方法二：添加三個(gè)輔助點(diǎn)，P0、 Pn+1 和 Pn+2 ，然后 P0=Pn ，Pn+1= P1,，Pn+2 = P2,這樣畫出的曲線為一條閉合的曲線。拋物曲線程序說明：這個(gè)程序主要是通過新建一個(gè)class CParspl 來實(shí)現(xiàn)的，即將存貯控制點(diǎn)，畫 自由 端拋 物 曲線 以 及 封閉 拋 物 曲線 都 封裝 在這 個(gè)類 里 。 在 class CCurve2View 主要實(shí)現(xiàn)設(shè)置線型、線寬和線色以及客戶區(qū)的一下操作。當(dāng)然這個(gè)程序還有改進(jìn)的空間， 比如我在 class CParspl 已經(jīng)有了一個(gè)序列化函數(shù)，但是還沒有實(shí)現(xiàn)