高中數(shù)學競賽專題講座—重要不等式及其應(yīng)用

1、數(shù)學適訊増刊離中敕學競賽專題講塵65第11講重要不等式及其應(yīng)用數(shù)學適訊増刊離中敕學競賽專題講塵65數(shù)學適訊増刊離中敕學競賽專題講塵65【知識點介紹】證朋 由已知，得一、平均值不等式設(shè)5，乞，a.均為正實數(shù)，記* + 它 + *7數(shù)學適訊増刊離中敕學競賽專題講塵65數(shù)學適訊増刊離中敕學競賽專題講塵65A = © +血 + +s則 H” W G W A. W Qx不等式中等號成立的條件是© =色=6二、柯西不等式設(shè)©心，心和山厶，6.是兩組實數(shù)，則(6仇 + a2b2 + + ajbn)1C (af + a； + +ai)(6j + + ),等號當且僅當a.-A6.(

2、A為常數(shù)八= 1,2, n)時成立.柯西不等式有以下常見的變形形式：設(shè)4 6 R,6,>0G= 1,2,，Q,則$1(以卩1-1等號成立當且僅當bi = Aa；(t = 1.2,山).設(shè)4仏同號且不為零G= 1,2宀小則(Sa.)2Ri-l等號成立當且僅當b =虹=bH.【典型例題】和已知>0,且命+ * + 命=1,求證:+寺+音二121+i i+扌則 x + y + z 1,且丄=丄一l,g =丄=1,丄= ax by c所以11 X 1 V 1 Zabc xyz=Y±蘭：L±3 巴+?Xvz1+丄i-i.Z$ 3談歹尹=12.例2 已知a,6,c>0

3、,且a+5+c=l求證:+. 一 1> 27a(l + 6)6(l+c) c(l+a)分析成立.當a = 6=c=l時,不等式中等號= I = 2a(i±b) T777TT - I 評+可)由二元均值不等式可得1. 81a(l + 6)、9a(f+6)十16 蘭 T9此時1 I 816(1 + c)、9 b(l+c)十161. 81c(l+a)9c(l+a)16 乍 T9以上三式相加，整理可得 11111a(l+6)6(l+c) Tc(l+a)鄉(xiāng)鑰(a + b + c + 氏 + ca 4- ab)66高中數(shù)學競賽專題講座數(shù)學通訊增刊66高中數(shù)學競賽專題講座數(shù)學通訊增刊孕一烏（

4、1十be +ca +弘）， Z lbVI而 be + ca + ab -y(a + 6 + c)? = -y丄Hl,771所以】 一 +L+1 a(H-6)6(l+c) c(l + a)、2781,丄 1、277"16<1 + T)=T 例 3 (2009 年吉林)若 sb,c (0,+8),求 證：b 4- c 丄 c + a | a + b> _2a_ , _26_ + _2£_.6 + c c+a a十6證朋 因為(6 + c)2 =62+?+2ftc>46c, 所以告M*,即+*.又因為a>09所以（1 +丄） V（1十丄”rnn例5（200

5、9年福建）已知正實數(shù)a.b.c滿足a+ 6 + c<3.求證：3>由+鼎+缶冷(2)a+1；6+1,c+1+ 2)十 b(屛 2)十 c(c + 2)證明 （1）由abc為正數(shù)知< 1,1b+1a+116+1>2.brh<b<3.aa、 4a歹+ t鼻用同理得 -cac + a£ + Q 筆,aba 十以上三式相加得b + c i c + a | a + bIT 21）2 廠>_辿."6 + c c+a a + b'若m、n ，血V",求證：（1 +丄廣< （1 +丄）Jmn由G. W A，有/小+血H a”

6、 C（> n分析與欲證式比校應(yīng)當使（1 +丄尸變成幾個正m數(shù)的積.證明 由G.WA“，有(1 十r =(1 + r x 1 x 1 x x 1mm (1+ 丄十(刃771) 1<r巴1"n由柯西不等式得，(治+由+缶)心+»+如)+ (e+l)>9.因為0 V“ + 6 + c<3,所以1.1.1m + b + i + Wi(a + l) + (6+l) + (c+l)、9_ 33 + 3 = 2-(2)由(1)及柯西不等式得a + 1,6 + 】| c + 1a(a 4- 2)6(6 + 2) c(c + 2)>° a(a + 2)

7、血+2) * 仝±22-«+16+17+1=9一 a + i)+ Q+” + a + 】-需+缶 + 士6一注 + 用 + 占例6(2009年甘肅)正實數(shù)ajj.c.d滿足a十 + c -卜 d = abed ,求 a4 (bed 1) + eda 1) + c* (dab 一】)+ d' (.abc 1)的最小值.解 因為“，Sc,d>0,且68高中數(shù)學竟賽專題講屋裁學通訊増刊'（ab + ac） + （be + Z«） + （ca + cb）=+ s + a6）彳刃= 3_一 2=三證法二（平均值不等式）由4工2十"二4巧，有生

8、玄才一手（了0）,所y 4> (力+ 1) + G十2) + +2n又由柯西不等式有： 侖+去+護a + b + c + N = abed,故有 a(bcd 1) = b + c + cl. 同理有bkeda 1) = e + + a,c(dab 1) = d + a + b9dCabc 1) =a + b 十 c 又由均值不等式得abed = a + 6 + c + d$4 Jabed , 其中等號成立當且僅當a = b = c = d =近. 于是/ ( 1) + / (eda 1) + c° (如一 1)+ t/4 (altc 1)N a'(b + c + d)

9、+6'(c + d + a) +c'( + a + 6)+£(a + 6 + c)>12 夕Gi'&PgJj)("占<*%)(JeParJ® (Qa/J&PC =2abcd = 12(-jT)4=484.故欲求代數(shù)式的融小值為484.例7 設(shè)a9b9c > 0且abc = 1,求證:a'Q + c)歹(c + a)+2證法一應(yīng)用柯西不等式的推論.由 a6c = 1，得向 a (o + c) ab 十 ac b3 (a + c)=曲=&血 + 6c'J(a+ 6) ca +從而1 +

10、1 + 1 a1 (6 + c) b3 (a -f- c) c3 (a + 6) -玉1十出十刊ab ac be + ba ca cb(be + ca + ah')1(lv=aaJ(d 4- c)a'(a6+ac)1,1丁 +萬玄丄_*(丄+ *)同理 > -丄(丄+丄)1 埋+b 4 a c ；I+ 丄),?(a+d) c 4“ 十 b 八三式相加得J + ?+ - I- a3Cb + c) bc + a) ca+b)例8 已知ne N-且心2,求證：y 1-丄+ <1+234證明1_扌+寺_* +2若_舟=（14-2-4-Lu- + 丄）一2（丄+丄 -L）23

11、十十2兀2十4十十加=(1 + 寺 + £ + + 尋)(1 + £ + + 丄)L 06716nxx -4- -4- -4-“+1” + 2丁2n*原不等式等價于A v -|- +丄 v 湮7、71 + 1丁71 + 2十2”=2由柯西不等式有<-4rr + 7 + + 寺兀5 +1十 a 十 2 ” + 1 n T 42n+ + 2n > n2 9:.|I+ JLn+l n + 22n2>41 $ 7 3 +土n"十+"詔TgS(n-Fl)(n + 2) +占-存=寺丄+丄+丄V匹.n +1 n + 22n 2故原不等式成立.例9

12、設(shè)"是大于1的自然數(shù),求證：1 ycT 十 2 >/cF + + m >/cF<丿2_ .芫證明 當 =2時，題給的不等式為梔<2、 當-=3時，欲證的不等式為1 V施，所以下面的 證明中可設(shè)九$4.聯(lián)想到柯西不等式】v/CT+2尺+/1丿西C + 22 + - + n2)i(C； + C： + + C：)+(7i + l)(2n+ l)jj .(2 _ i)+. 6于是若能證得+ l)(2n + 1) .(2-)6< 2i ns即可.而式等價于(2n2 + 3n + 1)(2" 一 1) V 3d 2"因為 n>4,3n +

13、l<n2,2w-l< 2”，所以 成立.例10(2008年四川)已知1 Va,<W(i =1 ,2, .71).其中正整數(shù)712.(1)求證:對一切的正整數(shù)i,都有(2)求S = £, . I 的最小禽 一1)(7 為)值，其中約定ai =如解(1)對于一切的正整數(shù)譏_J_ + _1_ =5a? -17 - a? (a?-1)(7-a?).>6= _2"& 一1 + 7兀匸一亍 2當且僅當a, = 2時等號成立.(2)由柯西不等式知s=s=4=A 藝皿一 1)(7松)1>£ (玄一 1) + (7-為)Im2_ 2(«

14、;L!h+3)=f *當5 = 口2 =a. = 2時導(dǎo)號成立，所以S有岐小值冷例11 m個互不相同的正奇數(shù)與幵個互不相同的正偶數(shù)的總和為1000,求3加+ 4刃的最大值.解1+3 + 5 + (2肌一1) + (2 + 4+ . + 2n) = m2 + n(n + 1)< 1000,Am2 +(n + y)2 < 1000.25,/3m + 4n = 3 m + 4(n + 寺)2W J(3, + 4巧 H + G + 寺)勺 一 2<5 J1000. 25 -2< 156.2,3m + 4n 156.若不考慮 "N的悄形，則當刃心+專)=3 ： 4 時+

15、 4n 取得最大值 5 J1000. 25 2.在此題的悄形，粗略估算有3X18 + 4X24 =150,故可取 m = 20= 24,3m + 4力=156,且(1 + 3 + 5 + 十 39) + (2 + 4 + + 48)=400 + 600 = 1000./. 3m 4- 4n的最大值是156.數(shù)學通訊增刊高中數(shù)學竟賽專足講座69練習題1. （2009年浙江實數(shù)滿足x2+j2+=1,則42xy+yz的最大值為2. （2008年遼寧）設(shè)sb,c是非負實數(shù)，則三+ar-r + -的最小值為。十 c c3. （2009年全國）求函數(shù)y = Vx + 27 +7131 + 77的最大值和最

16、小值.4. （2008年吉林）已知正數(shù)a,b、c滿足：2a +46 + 7c W 2odc,求 a + 6 + c 的最小值.5. （2008年福建）求最小的正實數(shù)虹使得不 等式ab + be + ca + &（丄+ Z +"）工9成立.a b c6已知 a>0,6>0,a + 6= 1,求證：（a +丄）？ + （b + g）2y 學aoZ7.若 a、b、c> 0,求證：總二 +' S- a A 寺3 +bc +ca）.b-rc c + a a + 628已知文+2，+ 3之=12,求證：x2+2y2+3z2 >24.9若 a»6,

17、c> 0,a2 4-d2 + c2 = 1,求證：a . b . c 3317十十亍二7刁 丁10.已知0求證：1 + L w 2J A + + J + ab當且僅當x=頁q=7T,z=7T-2. 2.根據(jù)平均值不等式，得3函數(shù)的定義域為0,13.因為y =后 + yr+27 +i3文=Jjc + 27 + J13+2 /z（13 z）M v/27 + /13 = 33+ 713,當x = 0時等號成立。故y的最小值為373 + 713.又由柯西不等式得b =（佐 + 7x + 27 + v/13-x）2M （寺 +1 + 寺）2工 +（工+ 27） + 3（13 X）=121,所以y&

18、lt;ll由柯西不等式等號成立的條件，得4工=9（13 x） = x + 27»解得工=9,故當x = 9時等號成立因此，的 最大值為11練習題答案和提示1 = x2 + y2 4- z2=（工2十務(wù)0 + （扣*旳$2腭巧+ 2再w=纟（V?巧 + w）,V3由此可得忌+ wM會,其中等號成立設(shè)a = 3x,b =號，c = 2z,則由已知有2 3x4- 4 -|-y + 7 2z £ 2 3工 2n,即 3z 十 5y + 7z = 15xyz.由均值不等式得3x + 5j + 7z= 工+ 匚+工 +，+，+ 2：+ 2：> 15則 15 寧占/ < 15

19、xyz9 即 x6/z4 > 1. 因此a + 5 + c = 3x + 2z4當 a = 3»6 = -|-,c = 2 時,a +力+ c = 下面證羅即為所求最小值.=15w5當a = b = c= 1時，可得"2.下面證明 ab be + ca + 2（乂 + £ + 2$ 9a b c對所有正實數(shù)a#,c都成立.由均值不等式得 a6+7+l>3VaA，T,l= 3, 同理可得比+ £十丄N 3,o ca2 + 62 + cz(a6+Ac+ca)乙> (ab + bc + ca).8 由柯西不等式(x+V2 屆十箱念尸< (I2 +0 + 擰)(F +2審 +3工)，A 122+2yl +3z)9.x2 +2y2 +3Z2 249 由柯西不等式，(呂+占+呂)0(1-W(