第二節(jié)次數(shù)分布表

1、第二節(jié)次數(shù)分布表數(shù)據(jù)是我們了解事物和研究事物的第一手寶貴資料，含有許多有用的信息，有待人們采用特定的方式進(jìn)行揭示和開發(fā)。從技術(shù)上講，就要采用一些必要的統(tǒng)計(jì)手段對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理與分析，以便揭示數(shù)據(jù)內(nèi)部規(guī)律性，獲取有價(jià)值的教育信息。這一節(jié)我們首先介紹次數(shù)分布表，它是常用于整理數(shù)據(jù)的一種方法。一、次數(shù)分布顯然，研究一批數(shù)據(jù)時(shí)，我們首先關(guān)心的是這批數(shù)據(jù)中最小的是多小、最大的是多大，以及這批數(shù)據(jù)從小到大是如何演變的，這就是數(shù)據(jù)的分布。例如，我們要研究某班52名學(xué)生在一項(xiàng)拼寫測驗(yàn)上的分?jǐn)?shù)，最基本、最自然的一種想法是把這52名學(xué)生的測驗(yàn)成績按照分?jǐn)?shù)高低依次排列，見表1-1。從表1-1中，我們固然可以了解到諸如

2、最高分和最低分是多少，所有的分?jǐn)?shù)分布區(qū)間多大，不同的分?jǐn)?shù)各自重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)多少，大多數(shù)學(xué)生的分?jǐn)?shù)分布在什么區(qū)間等等；但這種單間地把所有數(shù)據(jù)按照高低順序一一排列加以整理的方法，難以簡要地表達(dá)一批數(shù)據(jù)的次數(shù)分布，使人閱讀后難以達(dá)到印象深刻、一目了然的統(tǒng)計(jì)效果。特別是對(duì)于一批為數(shù)眾多的數(shù)據(jù)來講，這種方法更是不能有效地達(dá)到整理數(shù)據(jù)的目的。為此，我們常從計(jì)數(shù)角度統(tǒng)計(jì)與整理出數(shù)據(jù)的次數(shù)分布。表1-1某班52名學(xué)生拼寫測驗(yàn)分?jǐn)?shù)（從高到低依次排列）分?jǐn)?shù)次數(shù)分?jǐn)?shù)次數(shù)分?jǐn)?shù)次數(shù)5913912925613832815213732735023642514713522414613422224413312124323232

3、01422313172401302表1-2某班52名學(xué)生拼寫測驗(yàn)成績次數(shù)分布59565237363636505047463635353444434342423433323232403938313131383837373030292928272727252422222121201717所謂次數(shù)分布，指的是一批數(shù)據(jù)中各個(gè)不同數(shù)值所出現(xiàn)次數(shù)多少的情況，或者是這批數(shù)據(jù)在數(shù)軸上各個(gè)區(qū)間內(nèi)所出現(xiàn)的次數(shù)多少的情況。由于次數(shù)分布是對(duì)數(shù)據(jù)分布最簡單、最直接的描述，因此，在許多情形下，我們將把數(shù)據(jù)分布和次數(shù)分布看成同義詞。從次數(shù)分布的操作性定義來看，統(tǒng)計(jì)一批數(shù)據(jù)的次數(shù)分布有兩種方法：第一種方法是按不同的測量值逐點(diǎn)

4、統(tǒng)計(jì)次數(shù)。例如表1-2就是根據(jù)表1-1的原始數(shù)據(jù)，從高到低詳細(xì)地統(tǒng)計(jì)不同得分點(diǎn)次數(shù)所得到的次數(shù)分布表。在心理測驗(yàn)和教育考試分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換過程中（如高考的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換），常使用這種方法統(tǒng)計(jì)次數(shù)分布。第二種方法是為了縮簡數(shù)據(jù)，以區(qū)間跨度來統(tǒng)計(jì)次數(shù)，如平時(shí)人們常提到的分?jǐn)?shù)段統(tǒng)計(jì)，就是這一類。下面介紹這類次數(shù)分布表的編制方法。二、次數(shù)分布表編制統(tǒng)計(jì)學(xué)中的次數(shù)分布表有簡單次數(shù)分布表、相對(duì)次數(shù)分布表、累積次數(shù)分布表以及累積相對(duì)次數(shù)分布表等多種形式。（一）簡單次數(shù)分布表簡單次數(shù)分布表，通常簡稱為次數(shù)分布表，其實(shí)質(zhì)是反映一批數(shù)據(jù)在各等距區(qū)組內(nèi)的次數(shù)分布結(jié)構(gòu)。下面以表1-1中的數(shù)據(jù)為例，簡述編制次數(shù)分布表的主要步驟。

5、1 .求全距所謂全距乃是一批數(shù)據(jù)中最大值與最小值之間的差距。觀察全部數(shù)據(jù)，找出其中的最大值（Xmax）和最小值（Xmin）,以符號(hào)R表示全距，則全距的計(jì)算公式為：R=XmaxXmin（1-1）故，全距在有的書中也稱為兩極差。以表1-1中的數(shù)據(jù)為例，顯然這批數(shù)據(jù)的全距是：R=5917=422 .定組數(shù)定組數(shù)就是要確定把整批數(shù)據(jù)劃分為多少個(gè)等距的區(qū)組。組數(shù)用符號(hào)K表示，它的大小要看數(shù)據(jù)的多少而定。一般來說，當(dāng)一批數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)在200個(gè)以內(nèi)時(shí)，組數(shù)可取818組。如果數(shù)據(jù)來自一個(gè)正態(tài)的總體，則可利用下述經(jīng)驗(yàn)公式來確定組數(shù)，即：及=1370-便（10上述公式中的N為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，就表1-1中的數(shù)據(jù)而言，N=5

6、2,若按公式（1-2）計(jì)算后取整，則K=9。3 .定組距i=RXK在知道全距R和組數(shù)K之后，就可以來確定分組的組距。用符號(hào)i表示，其一般原則是取奇數(shù)或5的倍數(shù)，如1,3,5,7,9,10等。具體的取值辦法，可通過全距R與組數(shù)K的比值來取整確定。對(duì)于本例來講，由于R/K=42/94.67,故可把組距i確定為整數(shù)5。4 .寫出組限組限是每個(gè)組的起止點(diǎn)界限，有表述組限和實(shí)際組限之區(qū)別。在教育與心理統(tǒng)計(jì)學(xué)文獻(xiàn)中，組限的表述方法主要有兩種，如表1-3所示。兩種組限表述方法意義不盡相同。表1-3組限的表述方法及實(shí)際區(qū)間范圍方法一方法二表述組限區(qū)間范圍表述組限區(qū)間范圍303530,35)303429.5,3

7、4.5)253025,30)252924.5,29.5)202520,25)202419.5,24.5)152015,20)151914.5,19.5)101510,15)10149.5,14.5)第一種方法以連續(xù)的形態(tài)表述組限，每一組實(shí)際組限是左閉右開”的區(qū)間范圍。如“1015”和“15-20”這兩組，其實(shí)際組限是指10,15）和15,20）的區(qū)間范圍。第二種方法以跳躍的形態(tài)表述組限，在相鄰組別中形成缺口”例如，“1014”和“1519”這兩組在相鄰處不連續(xù)，從14跳躍到15時(shí)留下的“1個(gè)單位缺口。對(duì)于這種表述組限，其實(shí)際組限分別是指9.5,14.5）和14.5,19.5）的區(qū)間范圍。本課程

8、中的數(shù)據(jù)分組采用表1-3中的第二種表述方法。5 .求組中值組中值是各組的組中點(diǎn)在量尺上的數(shù)值，其計(jì)算公式為：組中值=（組實(shí)上限+組實(shí)下限）及（1-3）例如，在表1-3中第二種組限表述方法下的“1扶19”這一組，其實(shí)上限為19.5,實(shí)下限為14.5,故該組的組中值為（19.5+14.5）妥=17。不同的組距以及不同的組限，必然會(huì)產(chǎn)生不同的組中值。如果希望每組的組中值恰好為整數(shù)便于后繼運(yùn)算，那么，組距選擇為奇數(shù)是最好的。6 .歸類劃記完成上述各個(gè)步驟后，我們就可以設(shè)計(jì)一個(gè)表的格式來記錄上述有關(guān)結(jié)果并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸類劃記（如表1-4）。具體方法可以類似唱票的方式依次把每個(gè)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確地劃歸所屬的組別，并以

9、某種記錄方式體現(xiàn)在表1-4的第3欄內(nèi)，便于計(jì)數(shù)檢查。表1-452名學(xué)生拼寫測驗(yàn)成績分布統(tǒng)計(jì)結(jié)果組別組中值劃記次數(shù)（Z）相對(duì)次數(shù)累積次數(shù)累積相對(duì)次數(shù)累積百分?jǐn)?shù)(1)(2)(3)(4)(6)(8)5559572個(gè)數(shù)據(jù)20.04521.001005054523個(gè)數(shù)據(jù)30.06500.96964549472個(gè)數(shù)據(jù)20.04470.90904044426個(gè)數(shù)據(jù)60.11450.868635393713個(gè)數(shù)據(jù)130.25390.757530343211個(gè)數(shù)據(jù)110.21260.50502529277個(gè)數(shù)據(jù)70.14150.29292024226個(gè)數(shù)據(jù)60.1180數(shù)據(jù)20.042

10、0.04421N=521.007 .登記次數(shù)根據(jù)表14中第3欄里的劃記結(jié)果，點(diǎn)計(jì)各組的次數(shù)/,記入表14中的第4欄。當(dāng)我們把表1-4中的第1欄、第2欄和第4欄拼在一起時(shí)，就構(gòu)成本例所指的“2名學(xué)生拼寫測驗(yàn)成績次數(shù)分布表在這里，我們把更多的內(nèi)容項(xiàng)目合并在同一張表中（見表1-4），是因?yàn)榛谶@個(gè)統(tǒng)計(jì)表的內(nèi)容，我們將更為方便地編制一些其他形式的次數(shù)分布表。（二）相對(duì)次數(shù)分布表/R與總次數(shù)N之間的比值，若以/表示相對(duì)次數(shù)，則相對(duì)次數(shù)的計(jì)算公式為：(1-3)表1-4中第5欄里的數(shù)值就是各組的相對(duì)次數(shù)。當(dāng)我們把表1-4中的第1欄、第2欄和第5欄拼在一起時(shí)，便構(gòu)成一個(gè)相對(duì)次數(shù)分布表。當(dāng)我們閱讀相對(duì)次數(shù)分布表

11、時(shí)，相對(duì)次數(shù)（當(dāng)然是小數(shù)）較大的組，則說明落入該組內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)占全部數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的比例也較多；反之，則較少。相對(duì)次數(shù)分布表與簡單次數(shù)發(fā)布表各有不同的用途，它們既可單獨(dú)使用，又可聯(lián)合使用。當(dāng)我們主要對(duì)各組的絕對(duì)次數(shù)感興趣時(shí)，則可編制簡單次數(shù)分布表。例如，在教育發(fā)展規(guī)劃研究中，若我們按年齡段把某個(gè)地區(qū)的師資隊(duì)伍進(jìn)行統(tǒng)計(jì)歸類，編制成一個(gè)次數(shù)分布表，那么我們可能會(huì)發(fā)現(xiàn)位于某些年齡段之間的教師人數(shù)出現(xiàn)低谷（即斷層現(xiàn)象），也可能從次數(shù)分布表的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)，位于某些高年齡段之間的教師將在未來的幾年中相繼退休，其絕對(duì)人數(shù)似乎比往年正常年份退休的人數(shù)多得多。這些來自次數(shù)分布統(tǒng)計(jì)結(jié)果中的重要信息，將為師資隊(duì)伍規(guī)劃工作提

12、出一系列重要的問題。再如，制定基礎(chǔ)教育發(fā)展規(guī)劃以及社會(huì)發(fā)展規(guī)劃中，必須對(duì)一個(gè)時(shí)期內(nèi)的人口按年齡組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)歸類并對(duì)其發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)測。過去，國內(nèi)有些人員就從某地區(qū)人口按年齡組統(tǒng)計(jì)的次數(shù)分布表中，發(fā)現(xiàn)人口的年齡結(jié)構(gòu)中有雙高峰”現(xiàn)象。人們從人口年齡結(jié)構(gòu)的雙高峰”現(xiàn)象認(rèn)識(shí)到，某些時(shí)期的小學(xué)入學(xué)人數(shù)將出現(xiàn)高峰，某些時(shí)期的婚育”將出現(xiàn)高峰等。這些重要的信息，雖來自簡單次數(shù)分布表的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，但它對(duì)于我們搞好基礎(chǔ)教育發(fā)展規(guī)劃和社會(huì)發(fā)展規(guī)劃，具有非常重大的意義?？梢?，我們不能小看簡單次數(shù)分布表的作用。相對(duì)次數(shù)分布表主要能反映各組數(shù)據(jù)的百分比結(jié)構(gòu)，當(dāng)我們側(cè)重關(guān)心各組次數(shù)的相對(duì)比例結(jié)構(gòu)時(shí)，通常要編制相對(duì)次數(shù)分布表。

13、例如，我們在研究高教自學(xué)考試合格率問題時(shí)，可能對(duì)一些課程的考試成績按分?jǐn)?shù)段進(jìn)行統(tǒng)計(jì)歸類。由于不同的課程和不同的專業(yè)其自學(xué)考生人數(shù)可能相差很大，而研究各分?jǐn)?shù)段里的考生人數(shù)簡單次數(shù)分布意義不大，因些，我們要編制相對(duì)次數(shù)分布表，以便進(jìn)行比較研究。當(dāng)然，在上述所舉的例子中，也可以同時(shí)考察一批數(shù)據(jù)的簡單次數(shù)分布和相對(duì)次數(shù)分布。（三）累積次數(shù)分布表假如我們希望通過一個(gè)統(tǒng)計(jì)表，就能較方便地了解到處于某個(gè)數(shù)值以下的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)有多少時(shí)，就可編制一個(gè)累積次數(shù)分布表。從簡單次數(shù)分布出發(fā)，可以容易地做到這一點(diǎn)。實(shí)際上，在表1-4中，只要把第1欄、第2欄、第6欄拼在一起，就構(gòu)成一個(gè)累積次數(shù)分布表。例如，從表1-4統(tǒng)計(jì)的結(jié)

14、果中，我們不難看出測驗(yàn)成績在49.5分以下的人數(shù)有47人，在39.5分以下的人數(shù)還有25人，等等。累積次數(shù)分布表還分成以下”累積次數(shù)分布表與以上”累積次數(shù)分布表兩種。本例闡述的是以下”累積次數(shù)分布表，其目的在于反映位于某個(gè)分?jǐn)?shù)以下”的累積次數(shù)共有多少。故在編制以下”累積次數(shù)分布表時(shí)，我們是從表1-4中下面最低組往最高組方向依次累積。同樣，讀者可以想一想如何編制以上”累積次數(shù)分布表，以及為什么要編制以上”累積次數(shù)分布表等問題。（四）累積相對(duì)次數(shù)分布表和累積百分?jǐn)?shù)分布表前面介紹的累積次數(shù)分布是對(duì)簡單次數(shù)進(jìn)行累積的結(jié)果。與此相對(duì)應(yīng)的是，還可對(duì)相對(duì)次數(shù)進(jìn)行累積。如表1-4第7欄里的數(shù)值，便可看成是從最

15、低組往最高組的方向依次把有關(guān)各組的相對(duì)次數(shù)進(jìn)行累加的結(jié)果，而把表1-4中的第1欄、第2欄和第7欄拼在一起，就構(gòu)成一個(gè)累積相對(duì)次數(shù)分布表。由于累積相對(duì)次數(shù)仍然是小數(shù)（但累加到最后一組的結(jié)果必然為1）;因此把這些小數(shù)乘上100,便得到百分?jǐn)?shù)”，從而可把累積相對(duì)次數(shù)分布表等價(jià)地轉(zhuǎn)換為累積百分?jǐn)?shù)分布表”。若把表1-4中的第1欄、第2欄和第8欄拼在一起，便編制成了一個(gè)累積百分?jǐn)?shù)分布表。累積相對(duì)次數(shù)分布和累積百分?jǐn)?shù)分布在心理與教育測量研究中有廣泛而又重要的應(yīng)用。值得一提的是，累積相對(duì)次數(shù)分布和累積百分?jǐn)?shù)分布均有以下”分布和以上”分布兩種，在應(yīng)用時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體情況決定選用其中的一種。三、次數(shù)分布表閱讀理解在

16、現(xiàn)代信息社會(huì)中，大量的信息往往是用統(tǒng)計(jì)資料來反映的。教育工作者要提高綜合分析和開發(fā)利用統(tǒng)計(jì)資料的能力，不僅要懂得如何編制各種次數(shù)分布表，而且要提高對(duì)各種次數(shù)分布表的閱讀技能和理解能力。下面結(jié)合一個(gè)具體例子來說明閱讀理解次數(shù)分布表的一般要求。例1某區(qū)甲、乙兩所中學(xué)的高二學(xué)生參加一項(xiàng)語言閱讀能力測驗(yàn)，其次數(shù)分布統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1-5所示，請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，逐項(xiàng)回答下列各個(gè)問題：（1）甲校參加測驗(yàn)的學(xué)生人數(shù)比乙校參加測驗(yàn)的人數(shù)多幾個(gè)人？分析解答從表1-5最下面的管計(jì)”一行可知，甲校學(xué)生人數(shù)為160人，乙校為120人，故甲校比乙校多40人。（2）在分組歸類統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中，甲、乙兩校學(xué)生測驗(yàn)數(shù)據(jù)各劃分成幾組？分析

17、解答從表1-5第1欄中看，共有8組,但是，由于該表數(shù)據(jù)是兩個(gè)次數(shù)分布放在同一張表格上，注意到甲校數(shù)據(jù)在最高分的一組上次數(shù)為0,而乙校數(shù)據(jù)在最低分一組上次數(shù)為0,因此，甲乙兩校數(shù)據(jù)實(shí)際上各分成7組。表1-5甲、乙兩校學(xué)生測驗(yàn)成績次數(shù)分布表原分?jǐn)?shù)組中值次數(shù)相對(duì)次數(shù)（）甲乙甲乙808582012010.07580779205.616.770757212327.526.6657067322420.020.0606562481830.015.055605727816.96.750555220612.55.04550471207.50合計(jì)160120100.0100.0（3）在數(shù)據(jù)分組歸類時(shí)，各組的實(shí)際組限是怎樣確定的？各組的組距是多少？分析解答根據(jù)本章前面有關(guān)組限表達(dá)方面的特別規(guī)定，表1-5中各組的表達(dá)組限和實(shí)際組限是基本一致的，如“7075”這組的實(shí)際下限是70,實(shí)際上限是75,其區(qū)間是一個(gè)左閉右開的區(qū)間，即包含70這個(gè)點(diǎn)但不包含75這個(gè)點(diǎn)。該但若用代數(shù)區(qū)間來表示，則為70,75）。故各組的組距是5。當(dāng)然，針對(duì)表1-5中的次數(shù)分布統(tǒng)計(jì)資料，我們可以提出和了解一些更深入的問題，而要回答和認(rèn)識(shí)這些問題一方面有賴于后續(xù)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)的增加，另方面則需基于對(duì)次數(shù)分布表數(shù)據(jù)資料的閱讀理解。為達(dá)到這一目的，主要應(yīng)掌握如下幾個(gè)方面：第一，認(rèn)清和明確本章對(duì)組限表達(dá)方法的規(guī)定，特別注意