第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用第二課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

1、第二課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)證實(shí)不等式考法單變量不等式的證實(shí)移項(xiàng)作差構(gòu)造法證實(shí)不等式例1函數(shù)f(x)=1ln",9(*)=等十,bx(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),假設(shè)曲線y=f(x)xex與曲線y=g(x)的一個(gè)公共點(diǎn)是A(1,1),且在點(diǎn)A處的切線互相垂直.求a,b的值；(2)求證:當(dāng)x>1時(shí),f(x)+g(x)>".xlnx解(1)由于f(x)=1丁,x.Inx1所以f(x)=v2,f(1)=-1.x.由于g(x)=al+-bx,所以g(x)=-ae-12-b.exex由于曲線y=f(x)與曲線y=g(x)的一個(gè)公共點(diǎn)是A(1,1),且在點(diǎn)A處的切線互相垂直,所以g(1)=1

2、,且f(1)g(1)=-1,即g(1)=a+1b=1,g'(1)=a1b=1,解得a=-1,b=-1.e1(2)證實(shí)：由(1)知,g(x)=-x+-+x,ex那么f(x)+g(x)>2?1乎一1+x>0.x.x.ex.令h(x)=1乎一素：+x(x>1),xex.1lnxe1Inxe那么h(x)=-x2+£+/+1=?+1+1.Inxe由于x>1,所以h(x)=22+x+1>0,所以h(x)在1,+8)上單調(diào)遞增,所以h(x)>h(1)=0,2所以當(dāng)x>1時(shí),f(x)+g(x)>-.x.解題技法待證不等式的兩邊含有同一個(gè)變量時(shí),

3、一般地,可以直接構(gòu)造“左減右的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性,借助所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性即可得證.隔離審查分析法證實(shí)不等式1例2(2021長沙模擬)函數(shù)f(x)=ex2xlnx.求證：當(dāng)x>0時(shí),f(x)vxe+-e證實(shí)要證f(x)vxex+1,只需證exlnx<ex+,即exex<Inx+-.eexex1ex1令h(x)=lnx+e(x>0),那么h(x)=ex,易知h(x)在0,e:單調(diào)遞減,在e+8J上單調(diào)遞增,那么h(x)min=h?；=0,所以ln1ex再令易知ex<0.由于x+>0.(j)(x)=exex,那么.(x)=eex,嶇)在(0,1)上單調(diào)遞增

4、,在(1,+8)上單調(diào)遞減,那么Mx)max=網(wǎng)1)=0,所以exx1h(x)與(j)(x)不同日寸為0,所以exevlnx+",故原不等式成立.解題技法假設(shè)直接求導(dǎo)比擬復(fù)雜或無從下手時(shí),可將待證式進(jìn)行變形,構(gòu)造兩個(gè)都便于求導(dǎo)的函數(shù),從而找到可以傳遞的中間量,到達(dá)證實(shí)的目標(biāo).放縮法證實(shí)不等式例3函數(shù)f(x)=axlnx1.假設(shè)f(x)>0恒成立,求a的最小值；一x-e(2)求證：1+*+lnx-1>0;(3)k(ex+x2)>xxlnx恒成立,求k的取值范圍.lnx+1解(1)f(x)>0等價(jià)于a>-.lnx+11nx令g(x)=(x>0),那么g

5、(x)=-2-,x.x.所以當(dāng)xC(0,1)時(shí),g(x)>0,當(dāng)xC(1,+8)時(shí),g(x)<0,那么g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,十°°)上單調(diào)遞減,所以g(x)max=g(1)=1,那么a>1,所以a的最小值為1.(2)證實(shí)：當(dāng)a=1時(shí),由(1)得x>lnx+1,xe令=t,那么xlnx=lnt,x.xe所以>xlnx+1,xxe即+x+lnx1>0.x(3)由于k(ex+x2)>xxlnx恒成立,即k1-lnx恒成立,xe1-lnxT+x+lnxT所以k>e十xex十xx+1,ex由(2)知+x+lnx-1&g

6、t;0恒成立,xex+x+lnx1x所以一e十xx+1W1,所以k>1.故k的取值范圍為1,+8).解題技法導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題中,最常見就是ex和lnx與其他代數(shù)式結(jié)合的難題,對(duì)于這類問題,可以先對(duì)ex和lnx進(jìn)行放縮,使問題簡化,便于化簡或判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù).常見的放縮公式如下:(1)ex>1+x,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào);(2)ex>ex,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)；1)x=0時(shí)取等號(hào);當(dāng)x>0時(shí),ex>1+x+2x2,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)x>0時(shí),ex>2x2+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào);(5)x1<lnxWx1Wx2x,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào);x(6)當(dāng)x&g

7、t;1時(shí),2,+；Llnxw：丁,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等考法二雙變量不等式的證實(shí)典例函數(shù)f(x)=lnx-2ax2+x,aCR.(1)當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)f(x)的圖象在(1,f(1)處的切線方程；一缶一1(2)假設(shè)a=2,正實(shí)數(shù)xrx2滿足f(x0+f(x2)+x1x2=0,求證：x1+x2>2.1解(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=lnx+x,那么f(1)=1,所以切點(diǎn)為(1,1),又由于f'(x)=-+x1,所以切線斜率k=f(1)=2,故切線方程為y-1=2(x-1),即2xy1=0.(2)證實(shí)：當(dāng)a=2時(shí),f(x)=lnx+x2+x(x>0).由f(x1)+f(x2)+x1

8、x2=0,即Inx1+x2+x1+Inx2+x2+x2+x1x2=0,從而(x1+x2)2+(x1+x2)=x1x2ln(x1x2),令t=x*設(shè)Mt)=tlnt(t>0),1t1那么8(t)=1-=,易知Mt)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增,所以Mt)>M1)=1,2所以(x1+x2)+(x1+x2)>1,y51由于x1>0,x2>0,所以x1+x2>2一成立.解題技法破解含雙參不等式的證實(shí)的關(guān)鍵一是轉(zhuǎn)化,即由條件入手,尋找雙參所滿足的關(guān)系式,并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式；二是巧構(gòu)造函數(shù),再借用導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性,從

9、而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證實(shí),把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式,即可證得結(jié)果.過關(guān)練習(xí)函數(shù)f(x)=lnx+a.(1)求f(x)的最小值；(2)假設(shè)方程£q)=2有兩個(gè)根x1,x2(x1<x2),求證：x1+x2>2a.1ax一a解：(1)由于f(X)=-2=-2-(x>0),XXX所以當(dāng)aW0時(shí),f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,函數(shù)無最小值.當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+00)上單調(diào)遞增.函數(shù)f(x)在x=a處取最小值f(a)=lna+1.(2)證實(shí)：假設(shè)函數(shù)y=f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為xi,x2(xivx2),由(1)可得0vx

10、ivavx2.令g(x)=f(x)f(2ax)(0vxva),"114a(xaj貝仃(x)=(層-(2axjIx2(2ax“所以g(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,g(x)>g(a)=0,即f(x)>f(2a-x).令x=x1a,那么f(x1)>f(2ax1),所以f(x2)=f(x1)>f(2ax1),由(1)可得f(x)在(a,+°°)上單調(diào)遞增,所以x2>2a-x1,故x1+x2>2a.考法三證實(shí)與數(shù)列有關(guān)的不等式典例函數(shù)f(x)=ln(x+1)+x-2.(1)假設(shè)x>0時(shí),f(x)>1恒成立,求a的取值范圍；1,

11、1,1,1廠*(2)求證：ln(n+1)>3+g+7+2(nCN).a一解(1)由ln(x+1)+>1,得x+2a>(x+2)(x+2)ln(x+1).令g(x)=(x+2)1-ln(x+1),那么g(x)=1ln(x+1)=ln(x+1).x+1x+1當(dāng)x>0時(shí),g(x)<0,所以g(x)在(0,+00)上單調(diào)遞減.所以g(x)<g(0)=2,故a的取值范圍為2,+8).2(2)證實(shí)：由(1)知ln(x+1)+>1(x>0),x+2所以ln(x+1)>xx+21令x=/k>0),得ln1i>17十2kk+1即1n12k+123

12、所以ln1+ln+In4n+111113+lnk>3+5+7+,1111*即ln(n+1)>-+-+z+-+(nCN).3572n+1解題技法證實(shí)與數(shù)列有關(guān)的不等式的策略(1)證實(shí)此類問題時(shí)常根據(jù)的函數(shù)不等式,用關(guān)于正整數(shù)n的不等式替代函數(shù)不等式中的自變量.通過屢次求和到達(dá)證實(shí)的目的.此類問題一般至少有兩問,的不等式常由第一問根據(jù)待證式的特征而得到.(2)函數(shù)式為指數(shù)不等式(或?qū)?shù)不等式),而待證不等式為與對(duì)數(shù)有關(guān)的不等式(或與指數(shù)有關(guān)的不等式),還要注意指、對(duì)數(shù)式的互化,如ex>x+1可化為ln(x+1)vx等.過關(guān)練習(xí)(2021長春質(zhì)檢)函數(shù)f(x)=ex,g(x)=ln

13、(x+a)+b.(1)假設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在點(diǎn)(0,1)處有相同的切線,求a,b的值；(2)當(dāng)b=0時(shí),f(x)g(x)>0恒成立,求整數(shù)a的最大值；(3)求證：ln2+(ln3ln2)2+(ln4-ln3)3+ln(n+1)-lnnn<e-(nN*).e1解：(1)由于函數(shù)f(x)和g(x)的圖象在點(diǎn)(0,1)處有相同的切線,所以f(0)=g(0)且f(0)=g(0),又由于f(x)=ex,g(x)=,所以1=lna+b,1=,x+aa解得a=1,b=1.(2)現(xiàn)證實(shí)ex>x+1,設(shè)F(x)=exx1,那么F'(x)=ex-1,當(dāng)xC(0,十)時(shí),f(x)>0,當(dāng)xC(oo,0)時(shí),F(x)<0,所以F(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,在(oo,0)上單調(diào)遞減,所以F(x)min=F(0)=0,即F(x)>0恒成立,即ex>x+1.同理可得ln(x+2)Wx+1,即ex>ln(x+2),當(dāng)aw2時(shí),ln(x+a)<ln(x+2)<ex,所以當(dāng)aW2時(shí),f(x)g(x)>0恒成立.當(dāng)a>3時(shí),e0<lna,即exln(x+a)>0不恒成立.故整數(shù)a的最大值為2.n+