行列式計算方法

1、計算行列式方法的簡單歸納摘要：行列式是線性代數的重要內容，它在計算機科學、經濟學、管理學等很多方面都有重要的應用。掌握其計算的方法是深刻了解它的關鍵，本文將簡要的概括計算它的一些常用方法。其中對于復雜的行列式，總是將其轉化為熟悉的三角行列式、低階行列式等來進行計算。關鍵詞：行列式、計算方法、轉化、三角行列式、低階行列式。1行列式的定義及相關性質1.1行列式的定義數學中的邏輯推理過程都是建立在定義之上的，要了解行列式的計算方法，掌握其定義是至關重要的。2,行列式的定義對計算有著關鍵性的作用，首先定義行列式。將n個數aij（i，j=12,n）排成n行n列,記ai1ai2a2ia22a1na2n=&

2、#39;(-1)ta1p1a2P2anPnan1an2ann其中P1，P2，Pn是1,2,n的排列,t是排列P1,P2,，Pn的逆序數，Z表不對1, 2,n所有排列（共n!個）求和。稱式上式左邊為n階行列式，右邊為n階行列式的展開式，稱aj（i，j=1,2，'，n）為n階行列式中位于第i行第j列位置上的元素。1.2行列式的性質在計算行列式時，必然會應用到行列式的性質，下面簡述行列式的一些基本性質。a.行列式的值與它的轉置的行列式的值是相等的。b.對換行列式的某兩行的位置，行列式的值變號，對換兩列也同樣變號。當行列式某兩c.行或列的對應元素相等時，行列式的值為零。d.行列式某一行或列的所

3、有元素的公因式K可以提到行列式符號外。特別地，行列式某行元素全是零時行列式的值為零，行列式某兩行成比例時，行列式的值也是零。e.若行列式某一行（列）的每一個元素都可以寫成兩個數的和時，其值等于兩個行列式的和，這兩個行列式分別以這兩組數作為其相應的行（列），其余各行（列）的元素等于原行列式。f.把行列式的某一行（列）的元素乘以相同的數加到另一行（列）上，行列式的值不變。2.計算行列式的常用方法2.1 用定義直接計算。按照行列式的定義進行計算的方法稱為定義法。按照行列式的定義，展開項數為n的階層個項，其中每一項都是取自不同行不同列的元素的乘積，求和時只要找出非零的項就行，所以，如果行列式中有較多的

4、零元素，則它的展開項中非零項就較少，這種類型的行列式通常很實用定義法的計算。解析：根據n階定義行列式的定義，上式的值是兩項a11a22和a21al2的代數和，根據定義很容易確定它們的符號分別為正和負，則行列式的值為a11a22-a12a21。例2.求四階行列式00g0解析：根據定義，行列式是0bd0i的值。f00h24項的代數和,然而這個行列式里除了acfh,bdeg,bcfg,adeh外，其余的項智商都有一個零因子，因而為零。確實這四項的符號后，則行列式的值為acfgbdeg-bcfg-adeh.。a11000例3行列式a?1a2200的值為。a31a32a330a41a42a43a44解析

5、：根據行列式的定義，此行列式是24項的代數和，但除了a11a22a33a44這一項外，其余項都含有零因子，容易確定a11a22a33a44的符號為正，則次行列式的值為&但22a33a44。像例3這種類型（主對角線以上的元素全是零）的行列式，叫做下三角行列式，同理也有上三角行列，即主對角線以下全是零的行列式。對于上三角行列式：a11a12a21a22a2n,根據行列式的定義，展開項的一般形式為an1an2ann(-1).對a2j23在行列式中，n行的元素除了ann以外全為零，因此，只要考慮jn=n的那些項。在n-1行中，除了第n-1列的元素外，其余項都為零，因此jn只能為n-1。這樣逐漸

6、的遞推下去，除了a11a223ann這一項外，其余的項都為零。又因為這一項的列下標的排列是偶排列，所以，這一項帶正號。于是a11a12a21a22aman1an2a2nann=4包2anna1100對于下三角行列式，同理有a21a220:二為閏22annan1an2ann所以，上三角行列式和下三角行列式的值都等于對角線上所有元素的乘積。00100200例4計算行列式：的值。n-1000000n解：行列式中不為零的一般項為1m2m3m父(n-1)xn,這些項中列的排列為n-1,n2,2,1,n,這個排列的反序數為,則行列式的值為(n1)(n2)(-1)2n(n-1)21。2.2 化為上下三角形行

7、列式進行計算。這種方法即是：在計算行列式時，運用行列式的性質將行列式化為三角形的行列式進行計算。例5.計算行列式11的值。解:1得到0=1x0x6=00例6計算行列式的值。解：交換第一和第四行得:1日一，,第一行乘以1-1加到二和三行得:-1-1,又將第二和三行加到第四行得-1-11=-31將行列式的第一行乘以(一3)加到第二行，將第一行乘以(一1)加到第三行，則例7計n階行列式a解：觀察可知道這個行列式的每一行根據行列式的性質,把行列式的后面n-1列全部加到第一列得:a(n-1)bbbba(n-1)babba(n_1)bbab(列)的元素之和都是相等的,a(n-1)bbbaa(n-1)ba(

8、n-1)b1a+(n-1)b】(a-b)12.3按行列展開法。般來說，低階的行列式比高階的行列式容易記算，此法本質上是將高階的行列式展開為低階的行列式進行計算。依行依列展開時，用的到元素代數余子式。元素式Aj是化掉該元素所在的行和列多得的行列式在乘以（-1）-jai1A1，ai2A2+anAn=D，按j列展開的公式是a1jA1j5。行列式a2j%馬的代數余子d按i行展開的公式+anjAnj=D。例8計算行列式解：依第一列展開得:a100b10a2b200b3a30b400a4=1239=27的值。例9計算行列式23解：此行列式有較多的零,按第一列展開得a10b4a2b30b2a30=a1a2b

9、30b2a30a4一bib4a2b30b2a30=a1a4a?b3b2a3(ad-bA)=(a1a4a10例10求行列式bnb1b4a2b3bi0a4a2b3b2a3b2a3-b1b4)(a2a3-b2b3)bia2b2的值。bn二an解析：設該行列式為D這個行列式中有很多零元素,觀察到按第一列展開后可以得到兩個三角型行列式，所以按第一例展開后可得a2b2bia3b30bnjL+bn(-1產a2b2=a1a2anan+(-1)n+bib2.-bn上述的三種方法是計算行列式的基本方法，的滲透。在計算行列式時往往都會總會各種方法,他們之間不是孤立存在的，相互之間有一定選擇比較簡單的方法來進行計算。

10、在選擇方法時，一定要仔細的觀察行列式的特點，根據它的特點來選擇。有些高階較復雜的行列式，運用上述的三種方法不易計算，這時需要用到較復雜些的方法，如遞推法、歸納法等。用遞推法進行計算。這種方法的即是：利用行列式的相關性質定理，將行列式展開降階后，得到與它具有相同結構的行列式的線性關系，然后反復的用這種線性關系將行列式進行降階，直到二階，再將二階行列式的結果代入所得的線性關系式中計算原行列式。解析：通過觀察可知，按照第一行展開這個n階行列式后，可以得到Dn與Dn,Dn/的遞a+bab001ab01a+b000a+b0Dn=(a+b)mmmm-abmmm00a+bab00a+b001a+b001=(

11、a+b)Dn-abDno于是DnaDn=b(Dn-)=b2(Dnq-aDn二”推關系式，則可以使用遞推法來計算。按第一行展開得:00aaba+ba+bab0001a+bab0001a+b00-a-000a+bab0001a+b的值。例11計算Dn(1)(2)d21a1a121a2a2例12.計算n階范德蒙行列式Vn=mmm21an4ani21anann-1列的每一列乘以解析：觀察可知，將第前面的a1n1n1a2nan4n-1an的值。-an加到它的后一列，就可使最后一行=bn，(D2-aD1)=bn'(a2b2ab)-ab-a21=bn同理得Dn-bDn4=ann1n1由(1)和(2)

12、解得Dn=aa-b除了第一列的元素外，其余元素都為零。所以，將第n-1列乘以an加到第n列上，再將第n2列乘以an加到第n-1列上，如此這樣的一直做下，直到第一列乘以-an加到第二列為止。則得到Vn=a1-ana-an2a1一a©on"2a1n_3aana；nNaana?-ana2a2-a2an-on-2a2nU-a2anaa；nN-a2anaan-an2an一ananon"2anJ.n_3一a。a。an二nN一anan00呼-00a1(a1an)nJ3,a1(a1一an)a1(a1一an)a2(a2-an)n-2a2(a2-an)n-3a2(a2-an)=(1)

13、a2一an將上式的中的每一行公因子提出行列式外后,行列式，記為Vn。則有：n3an（an-an）就得到一個n-2/an（an-an）a1，a2,，an的n-1階的范德蒙a1Vn=(-1)(a1-an)(a2-an)(anda2nJ3a1nJ3a2n_2a1n_2a2ann-3ann-2an是一116169164二(一1)(a1-an)(a2-an)(an一an)VnJ于是得到遞推公式Vn=(ana1)(ana2)(anan)Vn，利用遞推公式反復的遞推下去,則得到Vn=(ana1)(an-%)(anan_L),(an'a1)(an'一%)(an/一4_2)(a3-a1)(a31

14、a2)(a2-a1)=|1(ai-aj)1：£個很實用典型的行列式，可以利用它的結果去計算其他相關行列式的值。例如行列式=(21)(31)(41)(32)(42)(43)=12。有些情況下可以構造范德蒙行列式來計算，所以記住范德蒙行列式的結果是非常有用的。運用數學歸納法進行計算。數學歸納法在計算行列式中,也有一定的應用,-1可以對階數0n進行歸納法。-1例13.計算n階行列式的值。-1a。a1a2anT解析：當n=2時，行列式-1=x2a1xa0-1當n=3時，行列式-1-1-1a。xa2a1xa2,a0-132=xa2x由n=2和n=3的情形，猜測a1xa0n階行列式的值為xn+a

15、n,xn"ax-a0假設對n_1階行列式，猜想成立，則對n階行列式降階后得-1-1-1-1aOa1a2anN-1x+an0a1a2an_2x+an-1-1n=x(xanAxn_2ax船+%(-1尸(-1尸nxan=xn,an/+a2x2a1xa0所以猜想成立，由歸納法的原理知原行列式的值為對于有很多給出結果的行列式，證明它的結果時，通常情況下都可以應用到歸納法，例如，可以用歸納法證明范德蒙行列式的結果。.運用拉普拉斯定理進行計算。拉普拉斯定理在理論方面用重要的運用。運用拉普拉斯定理，可以將高階的行列式降低般情況下，雖然需要計算大量的為低階的行列式進行計算。用拉普拉斯法計算行列式時,低

16、階行列式，但對一些特殊的行列式，運用此法卻是非常方便的。拉普拉斯定理：在n（n之2）階行列式D中，任取定k行（列），由這k行（列）構成的元素構成的一切k階子式與它對應的代數余子式乘積之和等于行列式設在D中，取定k行（列）后的一切k階子式為M1，M2,，Mt，它們對應的代數余子式分別為A，A2,A，則D=M1A1+M2A2+MtAt其中t=c：。的值。例14計算行列式解：按第一第四行張開得1.41.4(一1)=(ah-gb)(cf-de)=acfg-adehbedg-bcfg利用拉普拉斯定理來計算行列式，一般選定的k行上k階子式的元素為盡量多的零時，計算才會簡便。例15計算行列式D=ala2a3

17、a4a5blb2b3b4b5clc2did2eie2e3解：運用拉普拉斯定理計算，按4,5列展開得a%b4a5b52.7升階加邊法CidiC2d2=(a4b5a5b4)a(Gd2-'Czdi)d3有些行列式通過升高它的階數，會容易化簡些。升階法就是通過給行列式加上一行和一列（保證行列式的值不變化）角線元不同的行列式。在進行化簡計算的方法。升階法一般適用于各列中只有對bi例16計算D=aia2b2a3a2aia2a3解：給D加上一行一列得-i-i-i-iananbnaibiaiaiai=1,2,，n)a2a2b2a2a2aibi-ai0-ia3a3a3b3a3a20b2-a20aib11alianananbna30an0b3-a3a2b2-a20bn一ana3b3-a30anbn-an0n=11(bi-a。-in=II(bi-ai)i4b-ai000aa2a3bi-aib2a2b3-'a3100010001anbn-an00000nna=|(bi-ai)(1)ii4P-ai3.計算行列式的心得。行列式的計算方法有很多種，這些方法如果要深入的討論，可以說是一門很深的