內(nèi)切球與外接球常見解法

1、內(nèi)切與外接1球與柱體1.1球與正方體如圖1所示，正方體既CZ）-日設(shè)正方體的棱長為口，AH圖1ERH&為棱的中點，O為球的球心.常見組合方式有三美，一是球為正方體的內(nèi)切球截面圖為正方形EFGW和其內(nèi)切匾則pJ|=r=|；二是與正方休各桂相切的球，截面圖為正方形次牡和其外接圓，貝lJ|OT|=fl；三是球為正方恢的外接琳截面圖為長方形ACA.C,和其9.則Afi二妨二通過這三種類型可以例1棱長為1的正方體ABCDAB1C1D1的8個頂點都在球。的表面上，E,F分別是棱AA,DD1的中點，則直線EF被球O截得的線段長為（）A乎B.1C.1gD.421.2球與長方體長方體各頂點可在一個球面上，故長方

2、體存在外切球.但是不一定存在內(nèi)切球.設(shè)長方體的棱長為a,b,c,其體對角線為l.當(dāng)球為長方體的外接球時，截面圖為長方體的對角面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑R-b一.22例2在長、寬、高分別為2,2,4的長方體內(nèi)有一個半徑為1的球，任意擺動此長方體，則球經(jīng)過的空間部分的體積為（）10兀8兀7兀3331.3球與正棱柱球與一般的正棱柱的迥舍體，掌以外捶形態(tài)居多.下面以正三棱柱為例，介紹本類題目的解法構(gòu)造宜的三角形法.設(shè)正三棱柱朋的高為丸底面迫長為小如圖？所示，刀和口分別為上下底面的中心,根據(jù)幾何旅的持點，球心必落在高DD的中點。，0D二生q二RAD二也。，借助直角三角形AO

3、D的勾股定珥可23求尺二巴例3正四棱柱ABCDA1B1C1D1的各頂點都在半徑為R的球面上，則正四棱柱的側(cè)面積有2球與錐體規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進行結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題2.1球與正四面體圖4正四面師作為一個規(guī)則的幾何儂它既存在外接球,也有在內(nèi)切域,并且兩心合一，刑聞這點可順利解決球的半徑與正四面障的梗長的關(guān)系.如圖4i設(shè)正四面S-ABC的棱長為g內(nèi)切球半徑為廣，外接球的半徑為代取招月的中點為歸，占為S在底面的射新謠援至咫為正四面休的高.在截面三角形SX,作一個與邊

4、和LC相切，圓心在高毗上的虱即為內(nèi)切球的裁面.因為正四面體塞身的對稱性可知”卜接球和內(nèi)切嫁曲球心同為。.此時,CO=O=R,OE=r,占=籍=爭,貝V有RrJ2a,R2r2CE2=，解得：Ra,ra.-33412例4將半徑都為1的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為（）扼2媚B2+延C4+匝D點276A.33332.2球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐法，即把三棱錐補形成正方體或者長方儂.常見兩種形式;一是三棱錐的三條惻棱互相垂直井且相等，則可以補形為一個正方翊它的外摟球的域心就是三槌錐盼潞球的瑛心.如圈5-三棱錐4一艮弓的外接球的域心和正方體施色）am%以的外捂球的球

5、心重合.沒孫=廿，財r=,二是如果三棱錐的三條側(cè)棱互相垂直并且不相等，則可以補形2為一個長方體，它的外接球的碰心就是三棱錐的外接球的球2.2jj心.、+十=項為長方儂的恢對角綻長）.44例5在正三棱錐SABC中，M、N分別是棱SC、BC的中點，且AMMN，若側(cè)棱SA2J3,則正三棱錐S-ABC外接球的表面積是2.3球與正棱錐球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球為三棱錐的外接球，此時三棱錐的各個頂點在球面上，根據(jù)截面圖的特點，可以構(gòu)造直角三角形進行求解.二是球為正棱錐的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個面相切，球心到四個面的距離相等，都為球半徑R.這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱

6、錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積例6在三棱錐PABCP,P4PB=PC=/3，側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60,則該三棱錐外接球的體積為（B.C.44D,3SC接球的球心，則R2例7矩形ABCD中，AB4,BC3,沿AC將矩形ABCD折成個直二面角BACD,則四面體ABCD的外接球的體積是（）A.竺B.竺C.竺D.竺129633球與球?qū)Χ鄠€小球結(jié)合在一起，組合成復(fù)雜的幾何體問題，要求有豐富的空間想象能力，解決本類問題需掌握恰當(dāng)?shù)奶幚硎侄?，如?zhǔn)確確定各個小球的球心的位置關(guān)系，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化平面問題求解例7在半徑為R的球內(nèi)放入大小相等的4個小球，則小球半徑r的最大值為（）A（正一1試5（協(xié)一二溟D.-rJ?V4球與幾何體的各條棱相切球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達到明確球心的位置為目的，然后通過構(gòu)造直角三角形進行轉(zhuǎn)換和求解例：與正四面體各棱都相切的球的半徑為