圓錐曲線推論及證明

1、投圓影變換橢圓aXd圓錐曲線（橢圓）推論及證明引言圓錐曲線作為一類特殊圖形由丁它的靈活性而成為熱門考題。而在江蘇的試題中它往往與函數(shù)相伴而行成為解析幾何的題型。這些題目的形式大多是兩問(wèn)或三問(wèn)，前面的問(wèn)題以特殊情況來(lái)求出一種結(jié)論，最后一問(wèn)將這個(gè)結(jié)論推廣到給定條件下的任意情況，而這類題目中曲線乂多是橢圓。這次我們就來(lái)總結(jié)橢圓的一些特性。1我們都學(xué)過(guò)在圓上過(guò)圓心的直線AB交圓的兩點(diǎn)AB及圓上另一與AB不重合的點(diǎn)C形成的三角形為直角三角形，其中ZACB=90（圖1）。放在坐標(biāo)系中則得kACkBC=-10cZ那么是否在橢圓中過(guò)橢圓中心的直線AB與橢圓交丁A、B兩點(diǎn)（圖2）,其中kACkBC為定值？Bb0

2、)的左右焦點(diǎn)分別為Fi,F2,點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)ab2F1PF2=e,則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為C,2,uSpff2=btan證：設(shè)Fi(c,0),F2(c,0),P=m,PF=nF1PF2=e1則SPF1F2mnsin由余弦定理可知m2+n2-(2c2=2mncosB(m+n2-2mn=4c2+2mncosBmn=2a224a2mn=4c2mncos,2,24a-4c=2mn2mncos22b=mn1cos2b22b2b2mn=mn1cos222coscos一22-S.PFF2=mnsin12b22cos-2e2sin2.2.cos=btan22證畢小結(jié):這也是一個(gè)典型的結(jié)論，對(duì)丁做題，尤其

3、是填空題有很大幫助總結(jié)以上總結(jié)均出自我們遇過(guò)的題目或是老師講解過(guò)的題型，但是我們通過(guò)獨(dú)宜的證明將其推向了整個(gè)橢圓的題目。在此我們總結(jié)的不過(guò)是冰山一角，但也是較為典型的。圓錐曲線的題目多如牛毛，但抓住直線與橢圓方程的關(guān)系，運(yùn)用韋達(dá)定理求解（如果知道這樣的結(jié)論便丁解題的思路拓展），那么細(xì)心計(jì)算，終會(huì)把正確結(jié)果算出來(lái)的。而題目大致可總結(jié)為以下兩種模型：一是兩焦點(diǎn)與橢圓上的一點(diǎn)的關(guān)系的模型（斜率、線段長(zhǎng)之和等），二是關(guān)丁原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)與任意一點(diǎn)的關(guān)系模型。解題時(shí)從這些模型入手，會(huì)看活題目的思路，比如看到橢圓上的兩點(diǎn)與原點(diǎn)的關(guān)系就能迅速想到“點(diǎn)差法”。橢圓還有許多定理等著我們?nèi)チ私猓热鏟appus定理（如圖中六條直線的三個(gè)交點(diǎn)共線）或是Pascal定理（如果一個(gè)六邊形內(nèi)接丁橢圓，那么它的三對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)在同一條直線上），以及Brianchon定理（圓錐曲線的外切六邊形，其三條對(duì)角線共點(diǎn)）等定理。而這些就涉及到了射影幾何，在此僅是提及，不去深究。有的同學(xué)若是有興趣何以去思考一下?？傊鳛橐幻麑W(xué)生，一個(gè)求知者，我們還需要不斷探索,學(xué)無(wú)盡，知無(wú)涯。b*2bl22m-xb2證