學(xué)業(yè)分層測評(píng)7最大值與最小值

1、學(xué)業(yè)分層測評(píng)(七)(建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、填空題11.函數(shù)f(x)=七+x(x£1,3)的最小值是x十11x2+2x【解析】f(x)=2+1=2，x+1x+1當(dāng)xq1,3時(shí)，f(x)>0,f(x)是增函數(shù),一3.f(x)在xq1,3上的最小值為f(1)=2.3【答案】22. 函數(shù)f(x)=x3x2x+a在區(qū)間0,2上的最大值是3,則a的值為.【解析】f(x)=3x22x1,xq0,2,令f(x)=0,得x=1*=3舍去乂f(0)=a,f(1)=a-1,f(2)=a+2,.f(x)在0,2上的最大值為a+2=3,粘=1.【答案】13. 若函數(shù)f(x)=x33xa在區(qū)間0

2、,3上的最大值、最小值分別為m,n,則mn=.【解析】-f'(x)=3x23,當(dāng)x>1或x<1時(shí)，f'(x)>0,當(dāng)一1<x<1時(shí)，f'(x)<0.f(x)在0,1上單調(diào)遞減，在1,3上單調(diào)遞增.f(x)最小值=f(1)=13a=2a=n.乂.f(0)=a,«3)=18-a,.f(0)<f(3).f(x)最大值=f(3)=18a=m,.mn=18-a-(2-a)=20.【答案】204. 若對(duì)任意的x>0,包有l(wèi)nx<px1(p>0),則p的取值范圍是.【導(dǎo)學(xué)號(hào):01580018】【解析】原不等式化為l

3、nx-px+K0,令f(x)=Inxpx+1,只需f(x)最大值<0.由f'(x)=xp知f(x)在0,p“單調(diào)遞增，在p,+8“單調(diào)遞減.1,.f(x)最大值=f-!=lnp,由f(x)最大值<0,得p>1.【答案】1,+8)5. 設(shè)直線x=t與函數(shù)f(x)=x2,g(x)=lnx的圖象分別交丁點(diǎn)M,N,M當(dāng)MN達(dá)到最小時(shí)t的值為:【解析】設(shè)h(x)=x2lnx,12x21易知h'(x)=2x=-,x>0,xx2x=歹是h(x)在xq。，+8)內(nèi)惟一極小值點(diǎn)，且h號(hào)i=2-1ln2>0，則|MN|最小值=h(x)最小值，工2MN達(dá)到最小時(shí)，t=.

4、2【答案】26. 已知函數(shù)f(x)=lnx-號(hào)何£R)在區(qū)間1,e上取得最小值4,WJm=一一，1mx+m,，【解析】f(x)=x+X2=x2(x>0).當(dāng)m>0時(shí)，f(x)>0,f(x)在1,e上為增函數(shù)，f(x)最小值=f(1)=m=4,貝Um=4.與m>0矛盾.當(dāng)m<0時(shí)，若m<1,即m>1,f(x)最小值=f(1)=m=4,貝Um=4,與m>1矛盾，若一3m1,e,即一eVmV1,f(x)最小值=f(m)=ln(m)+1=4,解得m=e,與一Um<1矛盾.若一m>e.即m<e時(shí)，f(x)最小值=f(e)=1m=

5、4.解得m=e3e符合題意.【答案】一3ea已知函數(shù)f(x)=“+2lnx,若當(dāng)a>0時(shí)，f(x)»2包成立，則實(shí)數(shù)a的取值x范圍是:【解析】由?+2lnx>2包成立，得a>x22x+a2xax=【解析】f'(x)=2廠=2，當(dāng)x>ja時(shí)，f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)一Va<x<Va時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x=也時(shí)，f(x)=*=斗,Va2a3=敏<1,不合題怠.2(1Inx)包成立.令h(x)=2x2(1-lnx),WJh'(x)=2x(1-2lnx).x>0,.當(dāng)0

6、<x<je時(shí)，h'(x)>0;當(dāng)x>je時(shí)，h'(x)<0.h(x)最大值=h(寸e)=ea>e.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是e,+).【答案】e,+8)x3若函數(shù)f(x)=x(a>0)在1,+00)上的最大值為掌貝Ua的值為13-f(x)最大值=f(1)=3,a=寸31.【答案】V3-1二、解答題7. 設(shè)函數(shù)f(x)=ln(2x+3)+x2.(1) 討論f(x)的單調(diào)性；(2) 求f(x)在區(qū)間I-3,4上的最大值和最小值.【解】易知f(x)的定義域?yàn)?一言，+8一224x+6x+2f'(x)=+2x=2x+32x+32(2x+1(x

7、+1)=.2x+3，3當(dāng)一2<x<1時(shí),f(x)>0;當(dāng)一1<x<2時(shí)，f(x)<0;當(dāng)x>-1時(shí)，f'(x)>0,從而f(x)在區(qū)間"一3-1,"2，+8“單調(diào)遞增，在區(qū)間：1,2ji單調(diào)遞減.(1) 由(1)知f(x)在區(qū)間I-3,1上的最小值為2)=ln2+1又因?yàn)閒c3)-f3=ln3+W-ln7*=ln3+1=北-滿<0,/22仲91311所以f(x)在區(qū)間4,4上的最大值為弓j=iVln2-8. 已知函數(shù)f(x)=x3+3x2+9x+a.(1) 求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2) 若f(x)>20

8、17對(duì)丁？x£2,2包成立，求a的取值范圍.【解】(1)f，(x)=-3x2+6x+9.由f'(x)<0，得x<1或x>3,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一00,-1),(3,+8).(2)由f(x)=0,-2<xV2,得x=1.因?yàn)閒(2)=2+a,f(2)=22+a,f(1)=5+a,故當(dāng)一2Vxw2時(shí)，f(x)最小值=5+a.要使f(x)>2017對(duì)?。縳q2,2包成立，只需f(x)最小值=5+a>2017,解得a>2022.能力提升1. 已知函數(shù)f(x)=lnxx+1,x(0,+oo),函數(shù)f(x)的最大值是.1.一【解析

9、】f(x)的正義域(0,+8)，且f(x)=1.令f(x)=0,得x=1.x當(dāng)x變化時(shí)，f'(x)與f(x)的變化情況如下：x(0,1)1(1,+°°)f'(x)+0一f(x)極大值從上表可知，函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值0.乂f(x)在(0,+8)上有惟一極大值.x=1時(shí)，f(x)有最大值為0.【答案】02. 若關(guān)丁x的不等式x2+X>m對(duì)任意x£8,一1恒成立，貝Um的取值范圍是【解析】設(shè)y=x2+X，貝Uy'=2x-x2=,當(dāng)x<-2時(shí)，y'<0,所以y=x2+1在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，cx,1,7.當(dāng)乂=2時(shí)

10、，y取得取小值為4.21x+_>m怛成業(yè),x.7mW4.743. 已知f(x)=xex,g(x)=(x+1)2+a,若存在x,R,使得f(x2)<g(xi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【解析】f'(x)=ex+xex=(1+x)ex，當(dāng)x>1時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x<-1時(shí)，f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取得極小值，即最小值為f(1)=一£.函數(shù)g(x)的最大值為a,若存在x1,x2(R,使得ef(x?)<g(x)成立.則有g(shù)(x)的最大值大丁或等丁f(x)的最小值，即

11、a>-£e【答案】Ie，+°°j4. 已知函數(shù)f(x)=ex2x+a有零點(diǎn)，Ma的取值范圍是.【導(dǎo)學(xué)號(hào):01580019【解析】函數(shù)f(x)=ex2x+a有零點(diǎn)，即方程ex2x+a=0有實(shí)根，即函數(shù)g(x)=2x-ex與y=a有交點(diǎn)，而g'(x)=2-ex,易知函數(shù)g(x)=2x-ex在(-8,in2)上遞增，在(ln2,)上遞減，因而g(x)=2x-ex的值域?yàn)?8,2ln2一2,所以要使函數(shù)g(x)=2x-ex與y=a有交點(diǎn)，只需a<2ln2-2即可.【答案】(一8,2ln2-25. 設(shè)函數(shù)f(x)=exGx,若對(duì)所有x>0都有f(x)>ax,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解】令g(x)=f(x)ax,由g(x)=f'(x)a=S+e_xa,.vVV1由丁e+e_=e+-x>2(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等虧成立,)e所以當(dāng)a<2時(shí)，g'(x)=e+e-xa>2a>0,故g(x)在(0,+00)上為增函數(shù).所以當(dāng)x&