平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律二

1、課題：平面向雖的數(shù)雖積及運(yùn)算律（二）教學(xué)目標(biāo)：1. 掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律；2. 能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問題；3. 掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，會(huì)證明兩向量垂直，以及能解決一些簡(jiǎn)單問題.教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積及運(yùn)算規(guī)律.教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析：?jiǎn)l(fā)學(xué)生在理解數(shù)量積的運(yùn)算特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運(yùn)算律，引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點(diǎn)，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì).教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1. 兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量a與b,作=a,OB=b，則ZAOB=。（OVOV

2、兀）叫a與b的夾角.平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角是0，則數(shù)量|a|b|cos叫a與b的數(shù)量積，記作ab,即有ab=|a|b|cos,（ovev兀）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0。.“投影”的概念：作圖定義：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為0;當(dāng)=0時(shí)投影為|b|;當(dāng)=180時(shí)投影為|b|。4. 向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos的乘積。5. 兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量。1ea=

3、ae=|a|cos;2abab=03當(dāng)a與b同向時(shí)，ab=|a|b|;當(dāng)a與b反向時(shí)，ab=|a|b|。特別的aa=|a|2或|a|=JOTab4cos=|a|b|；5|ab|<|a|b|7.判斷下列各題正確與否：1 若a=0,則對(duì)任一向量b,有ab=0。(V)2 若a0,則對(duì)任一非零向量b,有ab0。(X)3 若a0,ab=0,貝Ub=0。(x)4 若ab=0,貝Ua、b至少有一個(gè)為零。(x)5 若a0,ab=ac,貝Ub=c。(x)6 若ab=ac,貝Ub=c當(dāng)且僅當(dāng)a0時(shí)成立。(x)7 對(duì)任意向量a、b、c,有(ab)ca(bc)。(x)對(duì)任意向量a,有a2=|a|2。(V)二、講

4、解新課：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1.交換律：ab=ba證：設(shè)a,b夾角為，貝Uab=|a|b|cos,ba=|b|a|cosab=ba.數(shù)乘結(jié)合律：(a)b=(ab)=a(b)證：若0,(a)b=|a|b|cos,(ab)=|a|b|cos,a(b)=|a|b|cos,若0,(a)b=|a|b|cos()=|a|b|(cos)=|a|b|cos,(ab)=|a|b|cos,a(b)=|a|b|cos()=|a|b|(cos)=|a|b|cos。.分配律：(a+b)c=ac+bc在平面內(nèi)取一點(diǎn)O,作=a,AB=b,OC=c,a+b(即OB)在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和,即|a+b|

5、cos=|a|cos1+|b|cos2-1c|a+b|cos=|c|a|cos+|c|b|cos2c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc說明：(1)一般地，(a-b)c乒a(b-c)a-c=b-c,c乒0a=b有如下常用性質(zhì)：a2=IaI2,(a+b)(c+d)=a,c+a,d+b,c+b,d.22_2(a+b)=a+2a，b+b三、講解范例：7a5b垂直，a4b與7a例1已知a、b都是非零向量，且a+3b與垂直，求a與b的夾角。15b2=0a30ab+8b2=0解：由(a+3b)(7a5b)=0=7a2+16ab,、一一、-_2(a4b)(7a2b)=0n7a兩式相減：2ab=

6、b2代入或得：a2=b2設(shè)a、b的夾角為，貝Ucosb2|a|b|2|b|2=60例2求證：平行四邊形兩條對(duì)角線平方和等于四條邊的平方和。AC=ABAD解：如圖：ZZ7ABCD中，AB=DC,AD=BC,.22-1AC|2=|ABAD|=ABAD2ABAD而BD=AB-AD-1BD|2=|AB-ADI2=AB2AD2ABAD22、222222.|AC|+|BD|一2AB2AD一|AB|BC|DC|AD|例3四邊形ABC畔，AB=a,BC=b,CD=c,DA=d，且a,b=bc=cd=da，試問四邊形ABCO什么圖形？分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量.

7、解：四邊形ABCO矩形，這是因?yàn)椋阂环矫妫篴+b+c+d=0,-，一、.-、2,一、2.a+b=(c+d),-(a+b)=(c+d)即Ia|2+2ab+|b|2=|c|2+2c-d+|d|2由于ab=cd,Ia|+|b|=|c|+|d|同理有IaI2+IdI2=Ic|2+|bI2由可得Ia|=|c|,且|b|=|d|即四邊形ABCtM組對(duì)邊分別相等.四邊形ABCO平行四邊形另一方面，由ab=bc,有b(ac)=0,而由平行四邊形ABCD可得a=c，代入上式得b,(2a)=0即ab=0,a±b也即ABLBC綜上所述，四邊形ABCO矩形.評(píng)述：(1)在四邊形中，AB,BC,CD,DA是順

8、次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即a+b+c+d=0,應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系.四、課堂練習(xí)：1. 下列敘述不正確的是()A.|汀呈1勺數(shù)旦積淺足.史佳律B舟主白數(shù)豆枳泮足肝.律2. C.向星的數(shù)晝積淌足始合律D.ab是一個(gè)實(shí)數(shù)已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為60°,貝U(a+2b)-(a-3b)等于()A.72B.-72C.36D.-363.|a|=3,|b|=4,，一3.3.、一一向重a+b與ab的位置關(guān)系為(44:)A.平行B.玉直C.夾角為-3D.不平行也不垂直4. 已知|a|=

9、3,|b|=4,且a與b的夾角為150°,貝(a+b)2=.5. 已知|a|=2,|b|=5,a-b=-3,則|a+b|=,|a-b|=.6. 設(shè)|a|=3,|b|=5,且a+入b與a-入b垂直，貝U入=.3參考答案：1.C2.B3.B4.25.-1+25.23寸356.±-5五、小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律，掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)解決相關(guān)問題.1. 六、課后作業(yè)已知|a|=1,|b|=,且(a-b)與a垂直，貝Ua與b的夾角是()A.60：B30：C.135：iD.45°2. 一，一、.一兀一，一已

10、知|a|=2,|b|=1,a與bN間的夾角為&，那么向重m=a-4b的模為()3. A.2B2C.6D.12已知a、b是非零向量，貝U|a|=|b|是(a+b)與(a-b)垂直的()A.充分但不必要條件B.必要們不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4. 一，一“一兀一已知向重a、b的夾角為,|a|=2,|b|=1,則|a+b|-|a-b|=.5. 已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么a-b=.6. 已知a±b、c與a、b的夾角均為60°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,則(a+2b

11、-c)已知|a|=1,|b|=,(1)若allb,求a-b;(2)若a、b的夾角為60°,求|a+b|；(3)若a-b與a垂直，求a與b的夾角.7. 設(shè)m、n是兩個(gè)單位向量，其夾角為60°,求向量a=2m+n與b=2n-3m的夾角.8. 對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b,求使a+tb|最小時(shí)的t值，并求此時(shí)b與a+tb的夾角.參考答案：1.D2.B3.C4.而5.-636.117.(1)-(2)J3+V2(3)45；8.120°9.90七、板書設(shè)計(jì)(略)八、課后記及備用資料：1. 常用數(shù)量積運(yùn)算公式在數(shù)量積運(yùn)算律中，有兩個(gè)形似實(shí)數(shù)的完全平方和(差)公式在解題中的應(yīng)用較為廣泛.即(a+b)2=a2+2a-b+b2,(ab)2=a2-2a-b+b2上述兩公式以及(a+b)(a-b)=a2-質(zhì)這一類似于實(shí)數(shù)平方差的公式在解題過程中可以直接應(yīng)用.2. 應(yīng)用舉例例1已知|a|=2,|b|=5,ab=3，求Ia+b|,|a-b|.解：|a+bI2=(a+b)2=a2+2ab+b2=22+2x(3)+52=23.Ia+bI=<23(Ia-b|)2=(ab)2=