部分課外平面幾何定理證明

1、部分課外平面幾何定理證明一.四點(diǎn)共圓很有用的定理，下面的定理證明中部分會(huì)用到這個(gè)，這也是我把它放在第一個(gè)的原因。這個(gè)定理根據(jù)區(qū)域的不同，在中考有的地方能直接用，有的不能，據(jù)筆者所知，北京中考是可以直接用的。其余 的還是問問老師比較好。起碼在選擇題是大有用處的。.三角形三垂線交于一點(diǎn)四點(diǎn)共圓的一次運(yùn)用。很多人都知道三垂線交于一點(diǎn)，在這里給出證明三三角形垂心是連接三垂直所得到新三角新的內(nèi)心由三角形的三垂線可得多組四點(diǎn)共圓，一般有垂心的題都離不開四點(diǎn)共圓。 估計(jì)這個(gè)結(jié)論在中考是不能直接用的，如果地區(qū)允許四點(diǎn)共圓的話稍微證一下就行了。四圓幕定理（在這里只是一部分）為割線定理、切割線定理于相交弦定理的總

2、稱。這個(gè)應(yīng)該是很多地方都允許用的，如果不能用的話也是稍微證一下就行了。五射影定理（歐幾里得定理）什么也不說了，初中幾何里應(yīng)該是比較常用的。目測(cè)考試隨便用六.三角形切線長(zhǎng)公式已知三角形三邊長(zhǎng)可求內(nèi)切圓切點(diǎn)到頂點(diǎn)距離可能是做的題比較少吧，很少見有這樣的中考題。推導(dǎo)也是很簡(jiǎn)單的。七.廣勾股定理估計(jì)中考允許用的地方不多，除非你那允許“引理”這貨八弦切角定理很簡(jiǎn)單，估計(jì)每個(gè)地方都允許的。就算不把它當(dāng)定理，自己也能發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論九燕尾定理（共邊比例定理）面積法思想，出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)可以用來證線段相等（例如下一個(gè)，重心），另外用于比例也是挺好使的。中考的時(shí)候，直接用的話估計(jì)老師會(huì)認(rèn)為你跳躍度太大，考慮的時(shí)候想到這個(gè)

3、， 證明的時(shí)候用面積法就行了。 十.海倫公式已知三角形三邊可求其面積，可用余弦定理和正弦求面積公式推導(dǎo)，但余弦定理是高中知識(shí)（在后面會(huì)放出 來）所以不用在這里。另外公式里帶根號(hào)，若三邊中有根號(hào)的配湊一下應(yīng)該可以開根。這里是海倫公式的一個(gè)探討，推廣至n邊形面積。在第五頁有海倫公式的各種變形，其中變形的個(gè)邊帶有平方，可以解決邊長(zhǎng)帶根號(hào) 的問題，缺點(diǎn)是過于冗繁。吧友可以根據(jù)自己的情況進(jìn)行探討。中考嘛，一直不是很喜歡，過多的限制，不能發(fā)揮自己的能力。這個(gè)公式就不推薦考試的時(shí)候用了。.重心三中線交于一點(diǎn)。同垂心十二.重心定理：重心把中線分為2:1兩部分?？偟膩碚f這些定理考試能用否得問老師，不能用的話，作

4、平行線把推導(dǎo)過程代進(jìn)證明過程就算是側(cè)面使用定 理了，肯定不會(huì)扣分的。十三歐拉線由重心定理簡(jiǎn)單得出估計(jì)中考題都不會(huì)考共線神馬的（起碼廣東這地方是不會(huì)考的）十四.托勒密定理很好用的一個(gè)競(jìng)賽定理。中考填空就能用這個(gè)解，作垂線設(shè)方程就得出來了，其他人還向外做了正三角形神 馬的。所以個(gè)人感覺了解多點(diǎn)知識(shí)對(duì)于考試或?qū)τ谂d趣都是挺好的卜五.余弦定理卜六.正弦定理十七.賽瓦定理(ceva定理)十八.梅涅勞斯定理(簡(jiǎn)稱梅氏定理me nelaus定理)如果一條直線與厶 ABC的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于 F、D、E點(diǎn)，那么(AF/FB) X(BD/DC)X (CE/EA)=1。十九.調(diào)和點(diǎn)列二十中線定理表

5、述了三角形三邊與中線長(zhǎng)的關(guān)系三角形一條中線兩側(cè)所對(duì)邊平方和等于底邊的一半平方與該邊中線平方和的2倍。即，對(duì)任意三角形厶 ABC，設(shè)I是線段BC的中點(diǎn)，AI為中線，則有如下關(guān)系:ABA2+ACA2=2BIA2+2AIA2或作 ABA2+ACA2=1/2BCA2+2AL2卜一角平分線定理角平分線的比例性質(zhì)二十二九點(diǎn)共園定理（歐拉圓、費(fèi)爾巴赫?qǐng)A）三角形三邊的中點(diǎn)，三條高的垂足，垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)這九點(diǎn)共圓二十三張角定理在厶 ABC 中，D 是 BC 上的一點(diǎn)，連結(jié) AD。那么 sin / BAD/AC+sin / CAD/AB=sin / BAC/AD。 逆定理：如果 sin / BAD/AC+

6、sin / CAD/AB=sin / BAC/AD，那么 B,D,C 三點(diǎn)共線。定理的推論：2cos /在定理的條件下，且/BAD= / CAD，即 AD 平分/ BAC，貝U B D C共線的充要條件是:BAD/AD=1/AB+1/AC二十四蝴蝶定理由于其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理內(nèi)容：圓0中的弦PQ的中點(diǎn)M，過點(diǎn)M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點(diǎn)。二十五清宮定理設(shè)P、Q ABC的外接圓上異于 A、B、C的兩點(diǎn)，P關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是 U、V、W, 且QU、QV、QW分別交三邊 BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線于 D、E、F,

7、貝U D、E、F在同一直線上二十六.西姆松定理(cave定理)過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線。(此線常稱為西姆松線)。西姆松定理的逆定理為：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。二十七.角元塞瓦定理設(shè) P 為平面上一點(diǎn)(不在 AB、BC、AC 三條直線上)，且(sinBAP/sinPAC ) (sinACP/sinPCB ) (sinCBP/sinPBA ) =1則AD、BE、CF三線共點(diǎn)或互相平行.推論若所引的三條線段都在 ABC內(nèi)部，則這三條直線共點(diǎn)。【暫時(shí)缺圖】二十八莫利定理將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正 三角形。這個(gè)三角形常被稱作莫利正三角形。二十九.斯坦納定理如果三角形中兩內(nèi)角平分線相等，則必為等腰三角形三十斯臺(tái)沃特定理(斯氏定理)任意三角形 ABC中，D是底邊 BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié) AD，則有：ABA2XCD+ACA2X BD=(ADA2+BDX DC)XBC 也可以有另一種表達(dá)形式：設(shè)BD=u , DC=v，則有：ADA2=(bA2X u+cA2 Xv)/a-uv三十一.笛沙格定理平面上有兩個(gè)三角形 ABC、 DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)(A和D、B和E、C和F)的連線交 于一點(diǎn)，這時(shí)如