高中拋物線標準方程及幾何性質(zhì)

1、2021/3/91 5.4 拋物線拋物線2021/3/92第一節(jié)第一節(jié) 拋物線的拋物線的標準方程標準方程和和幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)2021/3/93平面內(nèi)與一個定點平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做的距離相等的點的軌跡叫做拋物線拋物線。定點定點F叫做拋物線的叫做拋物線的焦點焦點。定直線定直線l 叫做拋物線的叫做拋物線的準線準線。 一、定義一、定義FMlNd的軌跡是拋物線拋物線。則點e=e=MdMF, 1=新課講解2021/3/94二、標準方程二、標準方程FMlN如何建立直角如何建立直角 坐標系坐標系？2021/3/95xyoFMlNK設設KF= p則則F（ ，0），

2、），l ：x = - p2p2設點設點M的坐標為（的坐標為（x ,y），）， 由定義可由定義可 知，知，化簡得化簡得 y2 = 2px（p0）2)2(22pxypx=2021/3/96 方程方程 y2 = 2px（p0）叫做拋物線的標準方程。叫做拋物線的標準方程。其中其中p為正常數(shù)，它的幾何為正常數(shù)，它的幾何意義是意義是焦準距焦準距 xyoFMlNK2021/3/97(m,n)FMlNK若頂點在若頂點在O1(m,n)，則方程，則方程為為(y-n)2= 2p(x-m) 2021/3/98圖圖 形形方方 程程焦焦 點點準準 線線lFyxOlFyxOlFyxOlFyxO2px =2px=2py=2p

3、y =)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pFy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）2021/3/99四種拋物線標準方程的異同四種拋物線標準方程的異同:共同點共同點: (1)原點在拋物線上；原點在拋物線上； (2)對稱軸為對稱軸為X軸、軸、Y軸；軸； (3)準線與對稱軸垂直，垂足與焦點分別對稱于原點準線與對稱軸垂直，垂足與焦點分別對稱于原點,與原點的距離等于一次項前面的系數(shù)的絕對值的與原點的距離等于一次項前面的系數(shù)的絕對值的1/4；即焦點與準線的距離等于一次項系數(shù)的絕對值的一半。即焦點與準線的距離等于一次項

4、系數(shù)的絕對值的一半。不同點不同點: (1)對稱軸為對稱軸為x軸時，方程右端為軸時，方程右端為2px，左端為，左端為y2 ；對稱軸為對稱軸為y軸時，方程右端為軸時，方程右端為2py，左端為，左端為x2 。 (2)開口方向與開口方向與x軸軸(或或y軸軸)的的正正半軸相同時，焦點在半軸相同時，焦點在x軸軸(或或y軸軸)的的正正半軸上，方程的右端取半軸上，方程的右端取+號；號； 開口方向與開口方向與x軸軸(或或y軸軸)的的負負半軸相同時，焦點在半軸相同時，焦點在x軸軸(或或y軸軸)的的負負半軸上，方程的右端取半軸上，方程的右端取-號。號。2021/3/910O(0,0)ABF(p/2,0)L:x= -

5、p/2Kpy2=2pxO1(m,n)ABF(h+p/2,k)L:x=h-p/2Kp(y-n)2=2p(x-m)頂點在原點頂點在原點頂點在點頂點在點(m,n)拋物線草圖畫法：拋物線草圖畫法：2021/3/911O(0,0)ABF(0,p/2)L:y= -p/2Kpx2=2py頂點在原點頂點在原點頂點在點頂點在點(m,n)O1(m,n)ABF(h,k-p/2)Kp(x-m)2= -2p(y-n)L:y= k+p/22021/3/912 M (x , y) y x F(4,0) -4 -5 例例1 1、點、點M M與點與點F F（4 4，0 0）的距離比它到直線）的距離比它到直線l l：x x5 5

6、0 0的距離小的距離小1 1，求點，求點M M的軌跡方程的軌跡方程 如圖可知原條件等價于M點到F（4，0）和到x4距離相等，由拋物線的定義，點M的軌跡是以F（4，0）為焦點，x4為準線的拋物線所求方程是y216x分析：分析： 例題講解2021/3/913例例2 2、已知拋物線方程為、已知拋物線方程為x=ayx=ay2 2（a0)a0)，討論拋物，討論拋物線的開口方向、焦點坐標和準線方程？線的開口方向、焦點坐標和準線方程？解：拋物線的方程化為：解：拋物線的方程化為：y2= x1a即2p=1 a4a1焦點坐標是（ ，0），準線方程是： x=4a1當當a0時時, ,拋物線的開口向右拋物線的開口向右p

7、2=14a2021/3/914例例3 3、求拋物線的焦點坐標和準線方程：、求拋物線的焦點坐標和準線方程：(1) y(1) y2 2 = 6x= 6x(2) y = (2) y = 6x6x2 2(4)(4)已知拋物線的焦點坐標是已知拋物線的焦點坐標是F F（0 0，-2-2），求它的），求它的標準方程。標準方程。(3) y = x(3) y = x2 2-4x+3-4x+3(5)y(5)y2 2-mx-2y+4m+1=0-mx-2y+4m+1=0的準線為的準線為x=3x=3，求，求m m。2021/3/915例例4 4、拋物線、拋物線 的焦點為的焦點為F F(1)(1)若斜率為若斜率為1 1的

8、直線經(jīng)過點的直線經(jīng)過點F F，與拋物線交于，與拋物線交于A A、B B兩點，求線段兩點，求線段ABAB的長。的長。(2)(2)拋物線上有三點拋物線上有三點A,B,CA,B,C，且，且FA+FB+FCFA+FB+FC =0=0，求，求|FA|+|FB|+|FC|FA|+|FB|+|FC|。xy42=2021/3/9161 1、求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：、求下列拋物線的焦點坐標和準線方程： （1 1）y y2 2 = -20 x = -20 x （2 2）y=2xy=2x2 2（3 3）2y2y2 2 +5x =0 +5x =0 （4 4）x x2 2 +8y =0 +8y =0焦點坐標焦

9、點坐標準線方程準線方程（1）（2）（3）（4）（-5，0）x= 5（0，）18y= - 188x= 5（- ，0）58（0，-2）y=2注意：求拋物線的焦點注意：求拋物線的焦點一定要先把拋物線化為一定要先把拋物線化為標準形式標準形式跟蹤練習2021/3/9172 2、根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標準方程：、根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標準方程：（1 1）焦點是）焦點是F F（3 3，0 0）（2 2）準線方程）準線方程 是是x = x = 41（3 3）焦點到準線的距離是）焦點到準線的距離是2 2解：解：y2 =12x解：解：y2 =x解：解：y2 =4x或或y2 = -4x 或或x2 =4y或或

10、x2 = -4y2021/3/918例例5 5、求過點、求過點A A（-3-3，2 2）的拋物線的標準方程。）的拋物線的標準方程。AOyx解：解：1）設拋物線的標準方程為）設拋物線的標準方程為 x2 =2py，把，把A（-3，2）代入，）代入， 得得p= 49 2）設拋物線的標準方程為）設拋物線的標準方程為 y2 = -2px，把，把A（-3，2）代入，）代入， 得得p= 32拋物線的標準方程為拋物線的標準方程為x2 = y或或y2 = x 。29342021/3/919 1. 1.已知拋物線經(jīng)過點已知拋物線經(jīng)過點P(4,P(4,2)2)，求拋物線，求拋物線的標準方程。的標準方程。 提示：注意

11、到提示：注意到P為第四象限的點，所以可以設拋物為第四象限的點，所以可以設拋物線的標準方程為線的標準方程為y2=2px或或x2=-2pyyxxyppyxypxxpyP8, 4,212, 422)2, 4(22212212 = = = = = = = = = = = 或或所求為所求為可得可得代入，代入，將，將或或方程為方程為位于第四象限，設所求位于第四象限，設所求點點解：解： 跟蹤練習2021/3/920)2, 1 ( O4=x2. 求頂點在求頂點在，準線，準線為為的拋物線方程和焦點坐標。的拋物線方程和焦點坐標。2021/3/921例例6 6、已知拋物線形古城門底部寬、已知拋物線形古城門底部寬12

12、m,12m,高高6m6m，建立適當?shù)淖鴺讼?，求出它的標準方程。建立適當?shù)淖鴺讼担蟪鏊臉藴史匠?。引申引?(1):(1)一輛貨車寬一輛貨車寬4m,4m,高高4m4m，問能否通，問能否通過此城門過此城門? ?(2)(2)若城門為雙向行道，那么該貨車能否若城門為雙向行道，那么該貨車能否通過呢？通過呢？2021/3/922三、拋物線的幾何性質(zhì)三、拋物線的幾何性質(zhì)xFMlNKyO對于y2=2px(p0)1、范圍：Ryx), 02、對稱性：關于x軸對稱3、頂點：O(0,0)頂準距=頂焦距=p/2，焦準距=p4、離心率e=12021/3/923xFA(x1,y1)lA1KyO5、焦點弦性質(zhì)：B(x2,y2)B1三個定值：一個最值：通徑|AB|=2p最短4,221221pxxpy