實(shí)驗(yàn)4應(yīng)用的DFT實(shí)現(xiàn)信號(hào)頻譜分析

1、實(shí)驗(yàn)四 應(yīng)用FFT實(shí)現(xiàn)信號(hào)頻譜分析一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?）能夠熟練掌握快速離散傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)的原理及應(yīng)用FFT進(jìn)行頻譜分析的基礎(chǔ)方法。（2）對(duì)離散傅里葉變換的主要性質(zhì)及FFT在數(shù)字信號(hào)處理中的重要作用有進(jìn)一步的了解。二、基本原理1離散傅里葉變換（DFT）及其主要性質(zhì)DFT表示離散信號(hào)的離散頻譜，DFT的主要性質(zhì)中有奇偶對(duì)稱特性虛實(shí)特性等。通過實(shí)驗(yàn)可以加深理解。實(shí)序列的DFT具有偶對(duì)稱的實(shí)部和奇對(duì)稱的虛部，這可以證明如下：由定義，可得= =-j = = = =-j所以： xk=實(shí)序列DFT的這個(gè)特性，在本實(shí)驗(yàn)中可以通過實(shí)指數(shù)序列及三角序列看出來。對(duì)于

2、單一頻率的三角序列來說，它的DFT譜線也是單一的，這個(gè)物理意義可以從實(shí)驗(yàn)中得到驗(yàn)證，在理論上可以推導(dǎo)如下：設(shè)：=sin其DFT為：=從而X(0)=0X(1)= = -jX(N-2)=0X(N-1)=以上這串式中反應(yīng)了的支流分量，是的一次諧波，又根據(jù)虛實(shí)特性而其他分量均為零。當(dāng)周期減小時(shí)顯然sinRk的譜只應(yīng)該在k=3及k=N-3才有分量，實(shí)驗(yàn)者可以通過可上述相同的步驟加以理論證明。由于及相位差，所以它的DFT只包括實(shí)部而沒有虛部，以上這些性質(zhì)可在本實(shí)驗(yàn)中得到驗(yàn)證。2利用DFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析DFT的重要應(yīng)用之一是對(duì)時(shí)域連續(xù)信號(hào)的頻譜進(jìn)行分析，稱為傅里葉分析，時(shí)域連續(xù)信號(hào)離散傅里葉分析的基本步

3、驟如圖51所示。圖51 時(shí)域連續(xù)信號(hào)離散傅里葉分析的處理步驟其中消混疊低通濾波器LPF（預(yù)濾波器）的引入，是為了消除或減少時(shí)域連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)換成序列時(shí)可能出現(xiàn)的頻譜混疊的影響。實(shí)際工作中，時(shí)域離散信號(hào)的時(shí)寬是很長(zhǎng)的甚至是無限長(zhǎng)的（例如語言或音樂信號(hào)）。由于DFT的需要，必須把限制在一定的時(shí)間間隔之內(nèi)，即進(jìn)行數(shù)據(jù)截?cái)唷?shù)據(jù)的截?cái)嘞喈?dāng)于加窗處理。因此，在計(jì)算的DFT之前，用一個(gè)時(shí)域有限的窗函數(shù) 加到上是非常必要的。Xc(t) 通過A/D變換器轉(zhuǎn)成取樣序列進(jìn)行加窗處理，即。加窗對(duì)頻域的影響，用周期卷積表示。其中或在實(shí)際應(yīng)用中，消混疊低通濾波器的阻帶不可能式無限衰減的，故由周期延拓得到的由非零混疊，即出現(xiàn)

4、混疊現(xiàn)象。由于進(jìn)行DFT的需要，必須對(duì)序列進(jìn)行加窗處理，即,加窗對(duì)頻域的影響，用周期卷積表示。=最后是進(jìn)行DFT應(yīng)算。加窗后的DFT為Vm= 0其中假設(shè)窗函數(shù)長(zhǎng)L小于或等于DFT長(zhǎng)度N。有限長(zhǎng)序列的DFT相當(dāng)于傅里葉變換的等間隔取樣。Vm= 便是Sc(t)的離散頻率函數(shù)。因?yàn)镈FT頻率間隔為，且模擬頻率和數(shù)字頻率間的關(guān)系為，所以離散頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的模擬頻率為 顯然頻率分辨率f為 利用DFT計(jì)算頻譜，只給出頻譜 或 的頻率分量，即頻率的取樣值，而不可能得到連續(xù)的頻譜函數(shù)。如果在兩個(gè)離散的譜線之間有一個(gè)特別大的頻譜分量，就無法檢測(cè)出來了。為了在保持原來頻譜形狀不變的情況下，使譜線加密，即使頻域取樣點(diǎn)數(shù)

5、增加，從而使原來看不到的頻譜分量變得可以看到，可以通過在信號(hào)數(shù)據(jù)的末端補(bǔ)加一些零值點(diǎn)，使DFT計(jì)算周期內(nèi)點(diǎn)數(shù)增加，但又不改變?cè)械挠涗洈?shù)據(jù)的方法來實(shí)現(xiàn)。3快速離散傅里葉變換（FFT）快速離散傅里葉變換是計(jì)算離散傅立葉變換的一種快速算法，為了提高應(yīng)算速度，F(xiàn)FT將DFT的計(jì)算逐次分解成較小點(diǎn)數(shù)的DFT。按時(shí)間抽取（Decimation-In-Time,DIT）FFT算法把輸入序列 按起值為偶數(shù)或是奇數(shù)分解成越來越短的序列。按頻域抽取（Decimation-In-Time,DIT）FFT算法是把輸出序列按其值是偶數(shù)或是奇數(shù)來分解成越來越短的序列。具體推導(dǎo)過程及原理可參見數(shù)字信號(hào)處理教科書。三、實(shí)驗(yàn)

6、內(nèi)容及要求（1）實(shí)驗(yàn)前學(xué)生應(yīng)認(rèn)真學(xué)習(xí)數(shù)字信號(hào)處理中有關(guān)章節(jié)的內(nèi)容，掌握DFT的基本理論和應(yīng)用FFT計(jì)算信號(hào)頻譜的原理與方法。（2）編寫一個(gè)調(diào)用FFT函數(shù)的通用程序，可計(jì)算下列三種序列的離散頻譜。指數(shù)序列： 周期為N的余弦序列：,且復(fù)合函數(shù)序列：（3）計(jì)算實(shí)指數(shù)序列的N點(diǎn)離散頻譜，記錄N為不同的2的冪次方時(shí)的值，并與理論值進(jìn)行分析比較。（4）計(jì)算周期為N的余弦序列的N點(diǎn)FFT，2N點(diǎn)FFT及（N+2）點(diǎn)FFT，記錄結(jié)果并作分析說明。(5)已知信號(hào)x(t)=0.15sin(2(，其中f1=1Hzk,f2=2Hzk,f3=3Hz,取樣頻率為32Hz。編程實(shí)現(xiàn)：32點(diǎn)FFT，畫出其幅度譜。64點(diǎn)FFT

7、，畫出其幅度譜，比較兩者間的差異，思考實(shí)際頻率與離散頻譜圖中橫坐標(biāo)m的對(duì)應(yīng)關(guān)系。四、實(shí)驗(yàn)報(bào)告要求簡(jiǎn)述實(shí)驗(yàn)原理，畫出程序框圖，列出實(shí)驗(yàn)程序清單，并附上必要的程序說明。記錄調(diào)運(yùn)行情況及所遇問題的解決辦法。記錄實(shí)驗(yàn)結(jié)果，對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。闡述分析信號(hào)頻譜的意義。思考：利用DFT對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行傅里葉分析可能造成哪些誤差及造成這些誤差原因？五、實(shí)驗(yàn)用MATLAB函數(shù)簡(jiǎn)介MATLAB中計(jì)算序列的離散傅里葉變換和逆變換是采用快速算法，利用fft和ifft函數(shù)實(shí)現(xiàn)。1. 求序列的DFT函數(shù)fftx=fft(x, N)輸入?yún)?shù)：為待計(jì)算DFT的序列，N為序列 的長(zhǎng)度。輸出參數(shù)： 為序列 的IDFT。2. 求IDF

8、T函數(shù)ifft輸入?yún)?shù)：x為待計(jì)算IDFT的序列，N為序列x 的長(zhǎng)度。輸出參數(shù)：X 為序列x的IDFT。例5.1已知序列x(n)=2sin(0.48 pi n)+ cos(0.52pi*n),試?yán)L制x(n)及它的離散傅里葉變換|X（k）|圖。MATLAB實(shí)現(xiàn)程序：clear allN=100;n=0:N-1;xn=2*sin(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);XK=fft(xn,N);magXK=abs(XK);phaXK=angle(XK);subplot(1,2,1)plot(n,xn)xlabel('n');ylabel('x(n)');title('x(n)N=100')subplot(1,2,2)k=0:length(magXK)-1;k=k*(2/100)stem