實驗4應用的DFT實現信號頻譜分析

1、實驗四 應用FFT實現信號頻譜分析一、實驗目的（1）能夠熟練掌握快速離散傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)的原理及應用FFT進行頻譜分析的基礎方法。（2）對離散傅里葉變換的主要性質及FFT在數字信號處理中的重要作用有進一步的了解。二、基本原理1離散傅里葉變換（DFT）及其主要性質DFT表示離散信號的離散頻譜，DFT的主要性質中有奇偶對稱特性虛實特性等。通過實驗可以加深理解。實序列的DFT具有偶對稱的實部和奇對稱的虛部，這可以證明如下：由定義，可得= =-j = = = =-j所以： xk=實序列DFT的這個特性，在本實驗中可以通過實指數序列及三角序列看出來。對于

2、單一頻率的三角序列來說，它的DFT譜線也是單一的，這個物理意義可以從實驗中得到驗證，在理論上可以推導如下：設：=sin其DFT為：=從而X(0)=0X(1)= = -jX(N-2)=0X(N-1)=以上這串式中反應了的支流分量，是的一次諧波，又根據虛實特性而其他分量均為零。當周期減小時顯然sinRk的譜只應該在k=3及k=N-3才有分量，實驗者可以通過可上述相同的步驟加以理論證明。由于及相位差，所以它的DFT只包括實部而沒有虛部，以上這些性質可在本實驗中得到驗證。2利用DFT對信號進行頻譜分析DFT的重要應用之一是對時域連續(xù)信號的頻譜進行分析，稱為傅里葉分析，時域連續(xù)信號離散傅里葉分析的基本步

3、驟如圖51所示。圖51 時域連續(xù)信號離散傅里葉分析的處理步驟其中消混疊低通濾波器LPF（預濾波器）的引入，是為了消除或減少時域連續(xù)信號轉換成序列時可能出現的頻譜混疊的影響。實際工作中，時域離散信號的時寬是很長的甚至是無限長的（例如語言或音樂信號）。由于DFT的需要，必須把限制在一定的時間間隔之內，即進行數據截斷。數據的截斷相當于加窗處理。因此，在計算的DFT之前，用一個時域有限的窗函數 加到上是非常必要的。Xc(t) 通過A/D變換器轉成取樣序列進行加窗處理，即。加窗對頻域的影響，用周期卷積表示。其中或在實際應用中，消混疊低通濾波器的阻帶不可能式無限衰減的，故由周期延拓得到的由非零混疊，即出現

4、混疊現象。由于進行DFT的需要，必須對序列進行加窗處理，即,加窗對頻域的影響，用周期卷積表示。=最后是進行DFT應算。加窗后的DFT為Vm= 0其中假設窗函數長L小于或等于DFT長度N。有限長序列的DFT相當于傅里葉變換的等間隔取樣。Vm= 便是Sc(t)的離散頻率函數。因為DFT頻率間隔為，且模擬頻率和數字頻率間的關系為，所以離散頻率點對應的模擬頻率為 顯然頻率分辨率f為 利用DFT計算頻譜，只給出頻譜 或 的頻率分量，即頻率的取樣值，而不可能得到連續(xù)的頻譜函數。如果在兩個離散的譜線之間有一個特別大的頻譜分量，就無法檢測出來了。為了在保持原來頻譜形狀不變的情況下，使譜線加密，即使頻域取樣點數

5、增加，從而使原來看不到的頻譜分量變得可以看到，可以通過在信號數據的末端補加一些零值點，使DFT計算周期內點數增加，但又不改變原有的記錄數據的方法來實現。3快速離散傅里葉變換（FFT）快速離散傅里葉變換是計算離散傅立葉變換的一種快速算法，為了提高應算速度，FFT將DFT的計算逐次分解成較小點數的DFT。按時間抽?。―ecimation-In-Time,DIT）FFT算法把輸入序列 按起值為偶數或是奇數分解成越來越短的序列。按頻域抽?。―ecimation-In-Time,DIT）FFT算法是把輸出序列按其值是偶數或是奇數來分解成越來越短的序列。具體推導過程及原理可參見數字信號處理教科書。三、實驗

6、內容及要求（1）實驗前學生應認真學習數字信號處理中有關章節(jié)的內容，掌握DFT的基本理論和應用FFT計算信號頻譜的原理與方法。（2）編寫一個調用FFT函數的通用程序，可計算下列三種序列的離散頻譜。指數序列： 周期為N的余弦序列：,且復合函數序列：（3）計算實指數序列的N點離散頻譜，記錄N為不同的2的冪次方時的值，并與理論值進行分析比較。（4）計算周期為N的余弦序列的N點FFT，2N點FFT及（N+2）點FFT，記錄結果并作分析說明。(5)已知信號x(t)=0.15sin(2(，其中f1=1Hzk,f2=2Hzk,f3=3Hz,取樣頻率為32Hz。編程實現：32點FFT，畫出其幅度譜。64點FFT

7、，畫出其幅度譜，比較兩者間的差異，思考實際頻率與離散頻譜圖中橫坐標m的對應關系。四、實驗報告要求簡述實驗原理，畫出程序框圖，列出實驗程序清單，并附上必要的程序說明。記錄調運行情況及所遇問題的解決辦法。記錄實驗結果，對結果進行分析。闡述分析信號頻譜的意義。思考：利用DFT對連續(xù)信號進行傅里葉分析可能造成哪些誤差及造成這些誤差原因？五、實驗用MATLAB函數簡介MATLAB中計算序列的離散傅里葉變換和逆變換是采用快速算法，利用fft和ifft函數實現。1. 求序列的DFT函數fftx=fft(x, N)輸入參數：為待計算DFT的序列，N為序列 的長度。輸出參數： 為序列 的IDFT。2. 求IDF

8、T函數ifft輸入參數：x為待計算IDFT的序列，N為序列x 的長度。輸出參數：X 為序列x的IDFT。例5.1已知序列x(n)=2sin(0.48 pi n)+ cos(0.52pi*n),試繪制x(n)及它的離散傅里葉變換|X（k）|圖。MATLAB實現程序：clear allN=100;n=0:N-1;xn=2*sin(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);XK=fft(xn,N);magXK=abs(XK);phaXK=angle(XK);subplot(1,2,1)plot(n,xn)xlabel('n');ylabel('x(n)');title('x(n)N=100')subplot(1,2,2)k=0:length(magXK)-1;k=k*(2/100)stem