量子力學(xué)復(fù)習(xí)提綱

1、量子力學(xué)復(fù)習(xí)提綱一、基本假設(shè)1、（ 1）微觀粒子狀態(tài)的描述（2）波函數(shù)具有什么樣的特性（3）波函數(shù)的統(tǒng)計解釋2、態(tài)疊加原理（說明了經(jīng)典和量子的區(qū)別）3、 波函數(shù)隨時間變化所滿足的方程薛定諤方程4、量子力學(xué)中力學(xué)量與算符之間的關(guān)系5、自旋的基本假設(shè)二、三個實驗1、 康普頓散射（證明了光子具有粒子性）第一章2、 戴維遜-革末實驗（證明了電子具有波動性）第三章3、 史特恩-蓋拉赫實驗（證明了電子自旋）第七章三、證明1、粒子處于定態(tài)時幾率、幾率流密度為什么不隨時間變化；2、厄密算符的本征值為實數(shù)；3、力學(xué)量算符的本征函數(shù)在非簡并情況下正交；4、力學(xué)量算符的本征函數(shù)組成完全系；5、量子力學(xué)測不準(zhǔn)關(guān)系的證

2、明；6、常見力學(xué)量算符之間對易的證明；7、泡利算符的形成。四、表象算符在其自身的表象中的矩陣是對角矩陣。五、計算1、力學(xué)量、平均值、幾率；2、會解簡單的薛定諤方程。第一章緒論1、德布洛意假設(shè):德布洛意關(guān)系:戴維孫-革末電子衍射實驗的結(jié)果:2、德布洛意平面波:Aei(p rEt)3、光的波動性和粒子性的實驗證據(jù):4、光電效應(yīng)：5、康普頓散射: 附：（1）康普頓散射證明了光具有粒子性（2）戴維遜-革末實驗證明了電子具有波動性(3)史特恩-蓋拉赫實驗證明了電子自旋第二章波函數(shù)和薛定諤方程1 量子力學(xué)中用波函數(shù)描寫微觀體系的狀態(tài)。2 波函數(shù)統(tǒng)計解釋：若粒子的狀態(tài)用江描寫,2d 表示在t時刻，空間處體積

3、元d內(nèi)找到粒子的幾率(設(shè)是歸一化的)。3 .態(tài)疊加原理:n是體系的可能狀態(tài)，那么，這些態(tài)的線性疊加Cnn也是體系的一個可能狀態(tài)。也可以說，當(dāng)體系處于態(tài)n Cn n時，體系部分地處于態(tài)中。4. 任何一個波函數(shù)r，t都可以看做是各種不同動量的平面波的迭加。5.波函數(shù)隨時間的變化規(guī)律由薛定諤方程給出:V(r,t)當(dāng)勢場V(r )不顯含時間t時，其解是定態(tài)解n(r,t)n(r )eiEntn(r )滿足定態(tài)薛定諤方程其中V(r,t)注：定態(tài)薛定諤方程即能量算符的本征方程。6 .波函數(shù)的歸一化條件:2d 1(對整個空間積分)(全)相對幾率分布:波函數(shù)常數(shù)因子不定性;(r) c (r)波函數(shù)相位因子不定性

4、:7 波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：波函數(shù)一般應(yīng)滿足三個基本條件：連續(xù)性，有限性,i8.幾率流密 j單值性。度與幾率密度滿足連續(xù)性方程9. 定態(tài)所需的條件10. 一維無限深方勢阱0,(1 )若 V(x)本征值EnnnJa（2）若、八、0,xaV(x)xa則本征值E °11.自由粒子波函數(shù)（推導(dǎo)過程）12. 一維諧振子 V _ 本征函數(shù)n Nne廠.n x sin , x a 本征函數(shù)n a a,x 或 x a本征函數(shù)ITnjsin(x a) , n 1,2,3,.xan t a2a0,xa本征值 En n _13、可以用分離變量法求解得到（在笛卡爾坐標(biāo)中）三維各向同性諧振子的能級和波函數(shù)。能級E

5、nxnynznxnynznx, ny,nz 0,1,2,nxnynznz er22Hx)H ny ( y)Hnz( z)第三章 量子力學(xué)中的力學(xué)量1 量子力學(xué)中的力學(xué)量用線性厄米算符表示，并且要求該算符的本征函數(shù)構(gòu)成完備系。2.厄米算符A的定義：* a dr （A ）* dr此為坐標(biāo)表像中的表示式厄米算符的本征值是實數(shù)。厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)一定正交。附：力學(xué)量算符的本征函數(shù)系滿足正交、歸一、完備、封閉等條件。3 .力學(xué)量的測量值：在力學(xué)量F的本征態(tài)中測量F，有確定值，即它的本征值;在非F的本征態(tài) 中測量F ,可能值是F的本征值。將（X）用算符F的正交歸一的本征函數(shù)展開:(X)Cn

6、 n(X) C (X)dXn則在（x）態(tài)中測量力學(xué)量F得到結(jié)果為n的幾率為Cn，得到結(jié)果在d范圍內(nèi)的幾率為力學(xué)量的平均值是CnF? nn(X)F?(X)dX ,*(X)(X)dX(x)F (X)dX附：本書中五個基本原理(1)量子力學(xué)中態(tài)的表示波函數(shù)r ,t(2)態(tài)疊加原理:(3)定態(tài)薛定諤方程:(4)力學(xué)量與算符的關(guān)系:(5)自旋:4.連續(xù)譜的本征函數(shù)可以歸一化為函數(shù)。5 簡并：屬于算符的某一個本征值的線性無關(guān)的本征函數(shù)有若干個，這種現(xiàn)象稱為簡并。簡并度：F?算符的屬于本征值n的線性無關(guān)的本征函數(shù)有f個，我們稱F的第n個本征值n是f度簡并。6 動量算符p的本征函數(shù)（即自由粒子波函數(shù)）戸（）e

7、ipr正交歸一性p(r) p(r)d(p p)7 角動量Z分量Lzi本征函數(shù)m().im e,m,Lz的本征值Lzm8 平面轉(zhuǎn)子（設(shè)繞z軸旋轉(zhuǎn)）課本P101 3.5題HL；2 d2哈密頓量2121 d 2能量本征態(tài)m()ime , m,9 . L , Lz有共同的本征函數(shù)一 球諧函數(shù)YmYm()mNimPm(cosim)eNlmlm! l!1 lm!YlmL Yml(l )LzYmm Ym中心力場中，勢場V(r) V(r),，角動量L為守恒量。10. 中心力場中，定態(tài)薛定諤方程r V(r)r rr,Lz為體系的守恒量完全集，其共同的本征函數(shù)為11 .氫原子(r,l,)R(r)Ym(,),m l

8、 , lEn能級簡并度e2（玻爾半徑）nlm ( r,Rnl(r)Ym(,軌道磁矩Bm ,- Bohr c為玻爾磁子）旋磁比M zLz類氫離子En12.守恒力學(xué)量的定義：若（即力學(xué)dFdt量F的平均值不隨時間變化），則稱F為守恒量。力學(xué)量F的平均值隨時間的變化滿足因而力學(xué)量F為守恒量的條件為:F , H 13 宇稱算符宇稱算符的定義：P (r)( r)本征值本征函數(shù)。注：宇稱出現(xiàn)在一維無限深勢阱、自旋中。14.對易式定義：A,BabBA15.對易式滿足的基本恒等式：A, B CA,BA,CA, BC BA,BA,BCAB,C AB ,CA,CBA, B,CB , C,AC,A,B（Jacobi

9、 恒等式）16.一些重要的對易關(guān)系：x , x0, P,P0,x , pixxL , piPLLLx, L yi Lz ,Sx, Syi Sz,J x, J yi J zL2, L0, s2,s0, J2, J0附：要會證明對易關(guān)系注：量子力學(xué)證明題多關(guān)于算符和自旋。17若算符A、B對易，即A,B0，則A和B有共同的本征函數(shù)系。在 A和B的共同的本征函數(shù)表示的態(tài)中測量A、B，都有確定值。1|a,bi A B - A,B簡記為2特別地，x px2第四章態(tài)和力學(xué)量的表象1 . Q表象是以Q的本征函數(shù)系 Un x 為基底的表象，在這個表象中，有QUn X Qn Un Xan t Un Xa ta t

10、*,a (t), a (t), an(t)an t算符F對應(yīng)一個矩陣（方陣），矩陣元是Fnmu；FUmdx選定表象后，算符和量子態(tài)都用矩陣表示。平均值公式是F F ,歸一化條件是1 ,本征值方程是F。附：在自身表象中表示算符的矩陣為對角矩陣。2. 幺正變換：在量子力學(xué)中，兩個表象之間的變換是幺正變換，滿足S S態(tài)的變換是b Sa ；算符的變換是F S FS。幺正變換不改變算符的本征值。附：證明某個算符勢厄密算符坐標(biāo)表像中用厄密算符的性質(zhì)A dr (A )* dr來證明。任意表象中則用幺正變換(即：表示算符的矩陣的轉(zhuǎn)置共厄等于算符本身)1S S來證明。3.量子態(tài)可用狄拉克符號右矢A)或左矢(A表

11、示。狄拉克符號的最大好處是它可以不依賴于表象來闡述量子力學(xué)理論，而且使用十分方便?；傅耐陚湫裕合蚝蜪 , dxx)(x| In坐標(biāo)表象狄拉克符號(1)F (x,t)(x,t)F)(2)i t (x，t)H (x,t)itH(3)HUn(x) EnUn(x)HEnn：(4) U；(X)Un(X)dXmn(mmn(5) (x)CnUn(x)!Cnn)nn(6) Cnu；(x) (x)dxCn (n '(7) F*(x)F (x)dxF ( |F(8) *(x) (x)dx 1(|)1第五章微擾理論1 .定態(tài)微擾理論適用范圍：求分立能級及所屬波函數(shù)的修正。適用條件是：一方面要求H。的本征值

12、和本征函數(shù)已知或較易計算，另一方面又要求 Ho把h的主要部分盡可能包括進(jìn)去,使剩下的微擾H比較小，以保證微擾計算收斂較快，即(1)非簡并情況Hnk匚(0)匚(0)EkEn(2)簡并情況EkH。Ek0)(0) kkk能級的一級修正由久期方程det HEk1)H11 Ek1)H21Hfk1給出。eP有fk個實根，記為Ek1)分別把每一個根代入方程零級波函數(shù)相應(yīng)能量為EkEk0)2 .變分法選擇嘗試波函數(shù)Hnk(0)E knk(0) (0) E k EnH221,2,fkEk。E (0)E n(0)n，計算H12Ek1)fk2Ek1)H的平均值H.出0，求出H( o).，它表示基態(tài)能量的上限。3 由

13、k m的躍遷幾率是Wk m(t)a(t)m此公式適用的條件是H1fkH 2fkffffEk1)0，即可求得相應(yīng)的解，記為a ，于是得出新的它是變分參量的函數(shù)，由極值條件i mktmk e dtWk m(t)1,對于 m k4 周期性微擾：光的吸收和發(fā)射，選擇定則等。第七章 自旋與全同粒子1 自旋基本假設(shè)的內(nèi)容：2. 自旋實驗基礎(chǔ)：3. 自選角動量、軌道角動量及相應(yīng)磁矩:4. 自旋角動量算符5. 自選波函數(shù)的形成及當(dāng)自旋與軌道作用可忽略時的波函數(shù)6. 什么情況有奇宇稱、偶宇稱?(b)7. 電子自旋假設(shè)的兩個要點:(a);內(nèi)稟磁矩的值即玻爾磁子的值:Be cg因子(回轉(zhuǎn)磁比值)： gs8 旋量波函

14、數(shù)r, 2r,2gL的意義及其歸一化。9.自旋與軌道無耦合時:r ,SzSzSz的本征態(tài)：ss,ss一般自旋態(tài)：Ss10自旋算符與泡利矩陣a babs Si ss -?21x?2y?2z1(單位算符)X yyX2izx yy xy zzy2iXy zz yz XXz2iyz XX zX5yiizSX -01Sy -0 i1 0Sz2 10y 2i 02 0 1S23 21040 1附：會證明泡利矩陣11 .總角動量在中心力場V(r)(例如Coulomb場)中運動的電子的相對論波動方程( Dirac方程)，在非相對論極限 下，Hamilton量中將出現(xiàn)一項自旋軌道耦合作用(r)sL(r)11 d

15、Vr22.2 c r dr2 2電子的能量本征態(tài)可選為( H丄，J , Jz)的共同本征態(tài)，而空間角度部分與自旋部分的波函數(shù)則可取為 (L , J ,J z )的共同本征態(tài)：j l /ljmj ( ,Sz)j l(l )本征值分別為 l(l ) ,j(j ) ,mj (mjj,j , , j)12. 堿金屬原子光譜的雙線結(jié)構(gòu)由于(r)s L項的存在，使得Enj丨1/2 Enj丨1/2。例如3p1/23S|/2 (5896 A)Na:3p3/23s1/2(5890A)還可以解釋反常塞曼效應(yīng)。附：只有考慮了電子的自旋光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)才能得到解釋。13. 兩個電子的自旋單態(tài)與三重態(tài)(S ,Sz )的

16、共同本征函數(shù)SMSSM s()()r()()()()()()(三重態(tài))()()()()00(單態(tài))14. 兩個角動量的耦合若J , J是兩個獨立的角動量，則J J J也是角動量。2 2 2J1J2】,Jz2 2J 1 ,J1z,J2,J2zj 1 j2jm ,耦合表象基矢人口/口？)無耦合表象基矢jjjm ,j1mm2j2m2m2m mhjzm? j1 j2 jmC G系數(shù)C-G系數(shù)的性質(zhì)：m g m2,j的取值：j1j2 , j1j2h J1j22,j1j2,15. 全同粒子(1) 量子力學(xué)中，把內(nèi)稟屬性(靜質(zhì)量、電荷、自旋、磁矩、壽命等)相同的粒子稱為全同粒子。（2）全同性原理：由于全同粒子的不可區(qū)分性，使得全同粒子所組成的體系中，二全同粒子相互代換 不引起物理狀態(tài)的改變。全同性原理或表述為交換對稱性：任何可觀測量，特別是Hamilton量，對于任何兩個粒子交換是不變的。這就給描述全同粒子系的波函數(shù)帶來很強的限制，即要求全同粒子體系的波函數(shù)具有交換對稱性P SS或者交換反對稱性P A A。（3）全同粒子系的波函數(shù)的交換對稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系。玻色子：自旋為 整數(shù)倍（S 0,1,2,）的粒子，波函數(shù)對于兩個粒子交換總是對稱的，例如 介子（S 0 ），光子（S 1）。它們遵守 Bose統(tǒng)計，稱為Bose子。費米子：自旋為半奇數(shù)倍（s 1 2,3 2,）的粒子，波函數(shù)對