第八章靜電場中的導體和電介質(zhì)(精)

1、第八章 靜電場中的導體和電介質(zhì)一、基本要求1 .理解導體的靜電平衡，能分析簡單問題中導體靜電平衡時的電荷分布、場強 分布和電勢分布的特點。2 . 了解兩種電介質(zhì)極化的微觀機制，了解各向同性電介質(zhì)中的電位移和場強的 關(guān)系，了解各向同性電介質(zhì)中的高斯定理。3 .理解電容的概念，能計算簡單幾何形狀電容器的電容。4 . 了解電場能量、電場能量密度的概念。二、本章要點1 .導體靜電平衡導體內(nèi)部場強等于零，導體表面場強與表面垂直；導體是等勢體，導體表面是等 勢面。在靜電平衡時，導體所帶的電荷只能分布在導體的表面上，導體內(nèi)沒有凈 電荷。2 .電位移矢量在均勻各向同性介質(zhì)中D=£ E=£

2、0 e rE介質(zhì)中的高斯定理D? ds=EQi自si3 .電容器的電容C=電容器的能量Q ?U1Q2W= 2C4 .電場的能量電場能量密度w=電場能量1 E? D 2W=? VwdV三、例題8-1下列敘述正確的有(B)(A)若閉合曲面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零，則曲面上任一點場強一定為零。(B)若閉合曲面上任一點場強為零，則曲面內(nèi)的電荷代數(shù)和一定為零。103(C)若閉合曲面內(nèi)的點電荷的位置變化，則曲面上任一點的場強一定會改變。(D)若閉合曲面上任一點的場強改變，則曲面內(nèi)的點電荷的位置一定有改變。(E)若閉合曲面內(nèi)任一點場強不為零，則閉合曲面內(nèi)一定有電荷。i解：選(B)。由高斯定理E?ds=Eqi/ ,

3、c由Eq=0?小=0但場強則 不一定為零，如上題。(C)不一定，受靜電屏蔽的導體內(nèi)部電荷的變動不影響外部場強。(D)曲面上場強由空間所有電荷產(chǎn)生，改變原因也可能在外部。(E)只要通過閉曲面電通量為0,面內(nèi)就可能無電荷。8-2如圖所示，一半徑為R的導體薄球殼，帶電量為 -Q1,在球殼的正上方距球 心O距離為3 R的B點放置一點電荷，帶電量為+Q2。令8處電勢為零，則薄球殼上電荷-Q1在球心處產(chǎn)生的電勢等于 , + Q 2在球心處產(chǎn)生的電勢等于,由疊加原理可得球心處的電勢U 0等于;球殼上最高點A處的電勢為 解：由電勢疊加原理可得，球殼上電荷-Q1在。點的電勢為U1=-點電荷Q 2在球心的電勢為

4、Q14t £ 0RU2=所以,O點的總電勢為 Q2Q2 =41e?3R12兀£ 0RU0=U1+U2=由于整個導體球殼為等勢體，則 Q2-3Q1 12 e 0RUA=U0=Q2-3Q1 12 & 0R8-3兩帶電金屬球，一個是半徑為2 R的中空球，一個是半徑為R的實心球，兩 球心間距離r ( >>R),因而可以認為兩球所帶電荷都是均勻分布的，空心球電 勢為U1,實心球電勢為U 2,則空心球所帶電量Q 1=,實心球所帶電Q2=o若用導線將它們連接起來，則空心球所帶電量為2兩球電勢為o解：連接前，空心球電勢 U1=Q1,所以帶電量為4兀 e 02R 104Q

5、1=8兀£ 0RU®心球電勢 U2=Q24九£ 0所以帶電量為Q2=4兀 & 0RU2連接后，兩球電勢相等，但總電量不變。有'=U2'=U'或 U1Q1'8 兀 £ 0R='Q24九 e 0RQ'1+Q'2=Q1+Q2聯(lián)立解得Q1'=8 兀 £ 0R2U1+U2(2U1+U2 U'= 338-4 一不帶電的導體殼，殼內(nèi)有一個點電荷 q0,殼外有點電荷q1和q2。導體殼 不接(A) q1與q2的電量改變后，殼內(nèi)場強分布不變。(B) q1與q2在殼外的位置改變后，殼內(nèi)的

6、場強分布不變。(C) q0的電量改變后，殼外的場強分布不變。(D) q0在殼內(nèi)的位置改變后，殼外的場強分布不變。8-5如圖，半徑為R的不帶電的金屬球內(nèi)有兩個球形空腔，在兩個空腔中分別放 點電荷q1和q2,在金屬球外放一點電荷q3,它們所帶電荷均為q。若q1和q2 到球心距離都是地，下列說法中正確的是(A、B、D);若導體殼接地，下列說 法中正確的是(A、B、C、D) 。 R/2, q3到球心距離r>>R,則q1受力為 , q2受力為, q3受力約為。解：q1、q2受力為0o球為等勢體，球外表面感應電荷均勻分布，電場在球外也呈徑向?qū)ΨQ分布。由高斯定理球外場強為E=所以，q3受力約為q

7、1+q2 4兀£ 0r2q3(q1+q2)2q2F=224 兀 £ 0r4 tt £ 0r8-6半徑分別為R 1和R2 (RKR2 )互相絕緣的兩個同心導 體球殼，內(nèi)球帶電+Q。取地球與無限遠的電勢均為零。求(1)外球的電荷和電勢。105(2)將外球接地后再重新絕緣，此時外球的電荷和電勢。(3)再將內(nèi)球接地，此時內(nèi)球的電荷。解：(1)由于內(nèi)球帶電+Q,由靜電平衡條件和高斯定理知，外球殼內(nèi)表面帶 電-Q,外表面帶電+Q。因為外球殼外面的場強為E=所以，外球的電勢為 Q4冗£ 0r2(r>R2)U=?ooR2 87 dr=? Q4兀 & 0r2

8、R2dr=Q4 兀 8 0R2(2)外球接地，內(nèi)表面電量不變，外表面電量變?yōu)榱?，電勢為零?3)將內(nèi)球接地后，內(nèi)球電勢為零。設內(nèi)球電量變?yōu)閝,則U=q4 九 & 0RQ4兀 & 0R2=0 q=R1Q R28-7在半徑為R 1的均勻帶電Q的金屬球外有一層相對介電常數(shù)為&均勻電介質(zhì)，外半徑為R 2,畫出電勢Ur關(guān)系曲線和場強Er關(guān)系曲線（r是球心到場 點之間的距離）。解：利用高斯定理2D? ds=D? 4 兀 r=Qft 自 sD=Q內(nèi)自4兀r曲于D=e E,且? 0? Q 內(nèi)自=? Q?Q?所以，場強分布為r<R1R1<r<R2 r>R2? 0?

9、 Q? E=? 2? 4 兀 e0 £ rrQ? 4兀 e r20? r<R1R1<r<R2 r>R2106下面求電勢分布：r>R2 時U=?0°rooE? dr=?RQ4九 & 0r2dr=Q4兀 £ 0rR1<r&R2寸U=? = oo rR2E? dr=? rQ4 兀 £ 0 £ rrQ +2 dr+?Q ooQ4兀 £ 0r2R2drQ4 兀 £ 0 £ rr -4 九 e 0 e rR24 兀 & 0R2 r &R時U=?OOR1R2E?

10、dr=? 0dr+? rR1Q4 兀 £ 0 £ rrQ2 dr+?Q ooQ4兀 £ 0r2R2 drQ4 兀 £ 0 £ rR1 -4 九 e 0 e rR24九 e 0R2Ur曲線和Er曲線如圖所示：8-8如圖，一無限大均勻帶電介質(zhì)平板A ,電荷面密度為 (7 1,將介質(zhì)板移近導體 B后，B導體外表面上靠近P點處的電荷面密度為6工P點是B導體表面外靠近導體的一點，則P點的電場強度大小為 o解：僅知P點附近電荷面密度，其它地方不知，不能用場強疊加方法。做如圖所示的高斯面，其底 面面積s很小，可認為s面上各點場強相等。由于導體表面是等勢面，所

11、以 s面 上各點場強垂直于導體表面。P點在底面上，另一底面在導體內(nèi)部，面上各點場 強為零。由高斯定理，得EPs=(r 2s/ £ 0 EP=(T 2/ £ 08-9107A兩側(cè)的面電荷密度分別為(H和6%則B的面電荷密度 繇于將一帶電導體平板A和一電介質(zhì)平面B平行放置，如圖所示。在真空中平衡后,解：在導體平板內(nèi)任找一點 P,則(T(T(T EP=E1-E3=0=1-2-3=0 2 8 02g 02 e 0所以3 3= C- IcT 28-10半徑為R、相對介電常數(shù)為 e均勻電介質(zhì)球中心放一點電荷Q,球外是真空，在距中心r>R的P點場強大小為 解：利用高斯 定理容易求得

12、P點場強E=Q4九 e 0r2 8-11平行板電容器中充滿某種均勻電介質(zhì)，電容器與一個電源相連，然后將介質(zhì) 取出，則電容器的電容量C、電量Q、電位移 D、電場強度E、板間電壓U與取 出介質(zhì)前相比，增大的有 ,減小的有,不變的有 解：介質(zhì)取出前，有E=Ue Ue s £ s D= e E= C= Q=U dddd 介質(zhì)取出后，有E=£ Ue s £ sU D=0 C=0 Q=0U dddd所以，各量均無增大，減小的有 C、Q、D,不變有E、U。8-12 一球形電容器由半徑為R的導體球殼和與它同心的半徑為4 R的導體球殼所 組成，R到2 R為相對電容率為er=2勺電介

13、質(zhì)，2 R到4 R為真空。若將電容器兩極板接在電壓為U的電源上，求(1)電容器中場強的分布；(2)電容器的電容。-Q,由高斯定理容易求得場強分布 解：不妨先設內(nèi)外球殼電量分別為+Q、Q? 4 兀 e 0 e rr2E=? Q? 2? 4 兀 e 0rR<r<2R2R<r>4R電容器兩極板之間的電壓為4R 2R4RQ QQ =U=? E? dr=? dr+dr? 2R4兀 6 0r2RR4 兀 & r r28 兀 e 0R0r所以Q二8 九 6 0RU108(1)電容器中場強的分布?RU?2E=?r2RU?2?r(2)電容器的電容 R<r<2R 2R&

14、lt;r>4RQ=8兀 & 0R UC=8-13半徑分別為R 1和R 2的同軸導體圓筒間充滿相對電容率為e的均勻電介質(zhì)。現(xiàn)使圓筒帶電，單位長度電荷 各為+入1（內(nèi)筒）和十入2（外筒），如圖所示。（1）求兩筒間的電壓；（2）設軸線上電勢為零，分別求P點和Q點的電勢。（P和Q與軸分別相距rP和rQ）解：（1）場強分布為? 0? E=?入 1? 2 兀 e 0 £ rr兩筒間電壓r<R1R1<r<R2U=? R2R1 R2E? dr=? R1 入 1 入 1dr=lnR2/R1 2 兀 e 0 e rr2 兀 e 0 e rUP=0 （2）設軸線上電勢為零，則UR1-UQ=? Edr=? RlrQrQRI入 1 入 1dr=lnrQ/R1 2 兀 e 0 e rr2 兀 e 0 e rUQ=-入 1lnrQ/R1 2 tt £ 0 £ r8-14將一空氣平行板電容