控制系統(tǒng)的設計習題解答

1、第6章控制系統(tǒng)的設計6.1學習要點1控制系統(tǒng)校正的概念，常用的校正方法、方式;2各種校正方法、方式的特點和適用性；3各種校正方法、方式的一般步驟。6.2思考與習題祥解題6.1校正有哪些方法？各有何特點？答：控制系統(tǒng)校正有根軌跡方法和頻率特性方法。根軌跡法是一種直觀的圖解方法，它顯示了當系統(tǒng)某一參數(shù)（通常為開環(huán)放大系數(shù)） 從零變化到無窮大時，如何根據(jù)開環(huán)零極點的位置確定全部閉環(huán)極點的位置。因此， 根軌跡校正方法是根據(jù)系統(tǒng)給定的動態(tài)性能指標確定主導極點位置，通過適當配置開 環(huán)零極點，改變根軌跡走向與分布，使其通過期望的主導極點，從而滿足系統(tǒng)性能要 求。頻率特性是系統(tǒng)或元件對不同頻率正弦輸入信號的響

2、應特性。頻域特性簡明地表 示出了系統(tǒng)各參數(shù)對動態(tài)特性的影響以及系統(tǒng)對噪聲和參數(shù)變化的敏感程度。因此， 頻率特性校正方法是根據(jù)系統(tǒng)性能要求，通過適當增加校正環(huán)節(jié)改變頻率特性形狀， 使其具有合適的高頻、中頻、低頻特性和穩(wěn)定裕量，以得到滿意的閉環(huán)品質(zhì)。由于波 德圖能比較直觀的表示改變放大系數(shù)和其他參數(shù)對頻率特性的影響，所以，在用頻率 法進行校正時，常常采用波德圖方法。系統(tǒng)校正要求通常是由使用單位和被控對象的設計單位以性能指標的形式提出。 性能指標主要有時域和頻域兩種提法。針對時域性能指標，通常用根軌跡法比較方便； 針對頻域性能指標，用頻率法更為直接。根軌跡法是一種直接的方法，常以超調(diào)量6 % 和調(diào)節(jié)

3、時間ts作為指標來校正系統(tǒng)。頻域法是一種間接的方法，常以相位裕量？8c）和 速度誤差系數(shù)kv作為指標來校正系統(tǒng)。題6.2校正有哪些方式？各有何特點？答：校正有串聯(lián)校正方式和反饋校正方式。校正裝置串聯(lián)在系統(tǒng)前向通道中的連接方式稱為串聯(lián)校正。校正裝置接在系統(tǒng)的 局部反饋通道中的連接方式稱為反饋校正。如圖6.1所示。圖6.1串聯(lián)校正和反饋校正串聯(lián)校正方式因其實現(xiàn)簡單而最為常見。反饋校正除能獲得串聯(lián)校正類似的校正 效果外，還具有串聯(lián)校正所不具備的特點：(1)在局部反饋校正中，信號從高能級被 引向低能級，因此不需要經(jīng)過放大；(2)能消除外界擾動或反饋環(huán)內(nèi)部系統(tǒng)參數(shù)波動 對系統(tǒng)控制性能的影響，提供系統(tǒng)更好

4、的抗干擾能力。題6.3串聯(lián)超前、串聯(lián)滯后與串聯(lián)滯后-超前校正各有何適應條件？答：(1)串聯(lián)超前校正通常是在滿足穩(wěn)態(tài)精度的條件下，用來提高系統(tǒng)動態(tài)性能的一 種校正方法。從波德圖來看，為滿足控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度要求，往往需要增加系統(tǒng)的 開環(huán)增益，這樣就增大了幅值穿越頻率，相應地減小了相位裕量，易導致系統(tǒng)不穩(wěn)定。 因而在系統(tǒng)中加入一個相位超前的校正裝置，使之在穿越頻率處相位超前，以增加相 位裕量。這樣既能使開環(huán)增益足夠大，滿足穩(wěn)態(tài)精度的要求，又能提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。申聯(lián)超前校正適合需要附加相角位移在0-65。范圍的系統(tǒng)。超前校正的結(jié)果可以使系統(tǒng)的閉環(huán)頻帶寬度BW增加，從而使動態(tài)響應加快；不 改變低頻段對

5、正弦輸入的穩(wěn)態(tài)誤差性能；超前校正裝置所要求的時間常數(shù)是容易滿足 的。但可能帶來因閉環(huán)頻帶寬度BW加寬引入高頻噪聲，需要增加增益等問題。(2)滯后校正有兩種作用。一般地，如果穩(wěn)態(tài)性能滿足要求，而其動態(tài)性能不滿 足要求，并希望降低頻帶寬時，可用滯后校正來降低其穿越頻率，以滿足其動態(tài)性能 指標。這種滯后校正的結(jié)果可以增加系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，有利于提高系統(tǒng)放大系數(shù)以 滿足穩(wěn)態(tài)精度的要求。由于高頻段的衰減，系統(tǒng)的抗高頻擾動能力也增強了。但同時 由于頻帶寬度變窄，瞬態(tài)響應將變慢。如果一個反饋控制系統(tǒng)的動態(tài)性能是滿意的，為了改善其穩(wěn)態(tài)性能，而又不致影 響其動態(tài)性能，可以采用滯后較正。此時就要求在頻率特性低頻段

6、提高其增益，而在 幅值穿越頻率附近仍保持其相位移大小幾乎不變。這兩種作用中，前者是降低了幅值穿越頻率并衰減了高頻段，后者是提高低頻段 增益。但就滯后校正本身而言，其主要作用是在高頻段造成衰減，以使系統(tǒng)獲得充分 的相位裕量。(3)滯后-超前校正幅頻特性的前段是相位滯后部分，具有使高頻段增益衰減的 作用，所以容許在低頻段提高增益，以改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性。幅頻特性的后段是相位 超前部分，因增加了相位超前角度，從而使相位裕量增大，改善了系統(tǒng)的動態(tài)響應。 因此，滯后-超前校正常適用于系統(tǒng)對穩(wěn)態(tài)精度和動態(tài)性能都有進一步改善的情況。題6.4單位負反饋系統(tǒng)的對象傳遞函數(shù)為Gp(s)=K,設計相位滯后s(s 4)

7、(s , 5)校正使阻尼比為0.7,穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)為30。解：采用根軌跡校正方法。(1)作系統(tǒng)根軌跡如圖6.2(a)所示，并在圖中作日=cos"Z 45：的兩條射線OA 和OB ,分別與根軌跡交于-p1和-p2點。測得-p1和-p2的實部為12,因此-p1和-p2 的參數(shù)為U =0.7,*=033=1.71,即-R和-p2滿足期望主導極點的要求。用幅值 0.5條件可算出-pi點的根軌跡增益為Kg =20.6,因此系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)Kg-g- =1.03 ：二30穩(wěn)態(tài)性能指標不符合要求0“Im一；4i-1.47 iRe閉環(huán)極點14I Zc | | Pc |G(s) =Gc(s)Gp(

8、s)=1.04(s 0.03)s(s 4)( s - 5)(s 0.001)* p2(a)圖6.2 題6.4用圖(2)引入串聯(lián)滯后校正環(huán)節(jié)s Pc根據(jù)第一步的計算，應將系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)提高30倍。所引入的校正環(huán)節(jié)應滿足 | Zc |=30| Pc|,為確保校正環(huán)節(jié)對根軌跡不產(chǎn)生顯著影響，選擇 Z = -0.03, pc = -0.001,即滯后校正環(huán)節(jié)c ,、 s 0.03 Gc( s)=s 0.001校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為校正后系統(tǒng)的根軌跡如下：分離點由(s 0.03) s(s 4)(s 5)(s 0.001) -(s 0.03)s(s 4)(s 5)(s 0.001)： =0s4 5.

9、001s3 1.998s2 -57.982s - 0.02 =0用試探法解得：s1球-0.0004,s2-0.064,s2定-2.6。漸近線與實軸的交點(0 -0.001 -4 - 5) -(-0.03)4 -3：-2.99'、( -pj) - ' (-zi) j 1i 1-ff =n - m漸近線與實軸的夾角_(2k 1)二 _(2k 1)二- = - = 60'180 (k=0,1)n-m4 -1系統(tǒng)的根軌跡如圖6.2(b)所示引入開環(huán)偶極子的滯后校正對根軌跡不產(chǎn)生顯著影響，既能保證系統(tǒng)瞬態(tài)特性又 滿足了穩(wěn)態(tài)性能指標。題6.5單位負反饋系統(tǒng)的對象傳遞函數(shù)為Gp(s)

10、 = ,設計相位超前校正，s(s 4)使校正后系統(tǒng)的超調(diào)量不大于10% ,上升時間不大于2秒，單位斜坡函數(shù)的穩(wěn)態(tài)誤差 不大于0.5。解：采用根軌跡校正方法。(1)根據(jù)期望動態(tài)性能指標確定閉環(huán)主導極點的位置。為使a% £10%并留有余 地(以確保在其他極點的作用下性能指標仍能得到滿足)，選阻尼比且=返。由于2t=cos8 ,主導極點應位于如圖6.3所示白9 =45的射線上。再運用二階系統(tǒng)調(diào)節(jié)時 3間的近似公式ts =4,可選擇4 = 3 ,以保證ts w2s并留有余地。因此主導極點為 , 'n：23.2 . 3 .2一Pl,2 = 一亡8 n 土 j 缶n 41 一二=-

11、77; j 。22(2)畫出未校正系統(tǒng)的根軌跡圖，如圖6.3中的實線所示。由圖可見，根軌跡不 通過期望主導極點，因此不能通過調(diào)節(jié)開環(huán)放大系數(shù)來滿足動態(tài)性能指標。圖6.3 題6.5用圖(3)為了使系統(tǒng)根軌跡向左偏移，進行相位超前校正。校正裝置環(huán)節(jié)為- s zcGc(s) = |Zc 卜：| Pc |s Pc校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s) =Gc(s)Gp(s)=Kg(s Zc)s(s 4)(sPc)為了使期望主導極點位于根軌跡上，根據(jù)相角條件應有(Pi Zc) - Pi - (Pi 4)- (Pi Pc) -(2k 1)二由圖可知，/r =135"/(P1+4) =48.4 ,代入

12、上式，并取k=1可得：(Pi 4) -(r Pc)=3.4"由此可見，只要從圖中的-R點作夾角為3.4°的兩條射線，它們和實軸相交的兩點 即是所求的校正環(huán)節(jié)的零點zc和極點-Pc。這樣的作圖不是惟一的，可按如下方法作 圖：從-Pi點作平行于實軸的射線RA,再作NArB的角平分線p£,然后作pQ和 RE ,它們和PiC的夾角均為口 /2 =i.7°, RD和RE與實軸的交點即為所求的極點 -pc和零點-zc。如圖6.3所示，-zc =-6,-pc = 3.5 ,校正環(huán)節(jié)為Gc(s)=s 6s 7.5(4)檢驗穩(wěn)態(tài)指標。由幅值條件可知求得Kg =ii.i,由

13、此得開環(huán)放大系數(shù)ii.i 64 7.5= 2.22單位斜坡函數(shù)的穩(wěn)態(tài)誤差e(°°) =i/ K ' = 0.45 <0.5 ,因此滿足穩(wěn)態(tài)性能指標。校正后系統(tǒng)的根軌跡圖示于圖6.4中Im圖6.4 題6.5校正后系統(tǒng)的根軌跡圖題6.6單位負反饋系統(tǒng)的對象傳遞函數(shù)為Gp(s),若使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度 p s(s 2)誤差系數(shù)為20,相位裕量不小于50°,增益裕量不小于10dB試確定系統(tǒng)的串聯(lián)校正 裝置傳遞函數(shù)。解：(1)根據(jù)要求，系統(tǒng)應設計為I型系統(tǒng)。由穩(wěn)態(tài)指標的要求，開環(huán)放大系數(shù) 一.202K =kv=20,取K=10,作Gp(s)=1的波德圖如圖6.5所

14、小。s(2s 1)(2)計算未校正系統(tǒng)相位裕量，估計需要附加的相角位移。由z 22020.A( c) =1- =10c女c)2+1%于c計算出校正前幅值穿越頻率忠«0 = 6.32 ,校正前相位裕量 c(c) =180,( c) =180,-90'-arctang c) =90，-72.5 =17.5 ： 50,相位裕量不滿足要求。為不影響低頻特性并改善動態(tài)響應性能，可采用超前校正。(3)根據(jù)相位裕量")之50"的要求，超前校正電路最大相位移應為max 一 50：-17.5： =32.5；考慮超前校正后。c' 嘰，會使原系統(tǒng)相角位移更負些，故邛ma

15、x應相應地加大。??；max -40：,根據(jù)max =arcsin( d 一 1)/( d 1) = 40,解得'd =4.6。(4)設計系統(tǒng)校正后的增益穿越頻率為校正裝置(0/+1/0特性)兩交接頻率 叫和叫的幾何中點(考慮到最大超前相位移中max是在兩交接頻率孫和缶2的幾何中 點)，即因為在。二亂時A©c')=1 ,如認為與7眄11, %'/。2口 1,則得I c20 A(c') 1 =1.七' c'c 2 c代入'=叫。，解得叫=4.32, ©2 =18.86, %' = 9.27。校正后系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性

16、如圖6.5所示，其傳遞函數(shù)為Gc(s)Gp(s)s20(1)4.32s(-s 1)( 1)218.86圖6.5題6.6校正前后系統(tǒng)的波德圖(5)校驗校正后相位裕量，9.279.27('c) =180 -90、 arctan -arctan4.322二 90 65"-77.80-26.2： =51 50：，9.27-arctan18.86由于相位中(%)=1800時，相位穿越頻率叫TCO,故增益裕量為汨，所得結(jié)果滿足了系統(tǒng)的要求。(6)串聯(lián)超前校正裝置傳遞函數(shù)為Gc(s)=- (4-32 1)18s86 1)可以用相位超前校正電路和放大器來實現(xiàn)。放大器的放大系數(shù)等于兀=4.6。

17、題6.7設單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為Gp(s) =s(2s 1)(0.2s 1)，要求校正后系統(tǒng)具有穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)不小于10,相位裕量不小于30,并且在頻率大于50的 高頻段具有銳截止-3特性，試確定校正裝置。解：(1)首先確定放大系數(shù)。根據(jù)要求，系統(tǒng)應設計為系統(tǒng)。由穩(wěn)態(tài)指標的要 求，開環(huán)放大系數(shù)K =ka >10 , MK =10 ,作Gp(s)=10s(2s 1)(0.2s 1)的波德圖如圖6.6所示。校正前幅值穿越頻率根據(jù)A( c)=1010山(2 %)2 "(0.2) 1'c'解得丹=卡%2.24 o相位裕量(c) =180" -90&#

18、39; -arctan(2 c) - arctan(0.2 c) = 180 -9。0 -77.4： -24.1 = -11.5表明系統(tǒng)不穩(wěn)定?？紤]高頻抗擾要求，采用串聯(lián)滯后校正。L(©)"圖6.6 題6.7校正前后系統(tǒng)的波德圖(2)按相位裕量的要求，計算未校正系統(tǒng)在新的幅值穿越頻率c'處的相角為:Gp(s) = 780； 30" 15 =-135；即/Gp(s) = -90 -arctan(2 '')-arctan(0.2 c') = -1351解得禮飛0.43。c(3)在牝定0.43處未校正系統(tǒng)的幅值為：L( c') ：

19、 201g10 -20lg(2 c') =21.3dB由 L®c')=201g X,可確定工=11.6(4)選擇"c/(1/T T/5 ,確定交接頻率嗎=1/T =0.1 , H=1/(ZT) =0.009得到校正環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為Gc=s/0.1 1s/0.009 1將校正環(huán)節(jié)Gc(s)的對數(shù)頻率特性繪制在圖6.6中，并與原系統(tǒng)Gp(s)的對數(shù)頻率 特性代數(shù)相加，即得出校正后系統(tǒng)Gc(s)Gp(s)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線和相頻特性曲 線。校正后開環(huán)傳遞函數(shù)Gc(s)Gp(s)=10(10s 1)s(2s 1)(0.2s 1)(111s 1)(5)校正后系統(tǒng)的

20、相位裕量(c) =180； -90,arctan(10 c') arctan(2 -c') 一 arctan(0.2 c') - arctan(111c')= 90： 77 J 40.70-4.9 -88.80 =32.6題6.8單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=并且在頻率大于50的高頻段具有銳截止-3特性，滿足要求。s(0.02s 1)(0.5s 1)具有穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)不小于100,相位裕量不小于40,幅值穿越頻率等于10弧度/ 秒的性能指標，試確定串聯(lián)校正方法和校正裝置傳遞函數(shù)。解：(1)根據(jù)穩(wěn)態(tài)性能要求，可得K=kv100,取K=100,繪制未校正

21、系統(tǒng)的波德圖如圖6.7所示。校正前幅值穿越頻率根據(jù)A( c)=10100，c , (0.02 c)2 1 . (0.5 c)2 1 c 0.5解得 =72oo圜4.1。相位裕量(-c) =180：；90；-arctan0.02 c -arctan0.5 c =90" -15.7 -81.9 - -7.6 令相位(j) = -901-arctan0.02 j -arctan0.5 j - -180190" -arctan0.02 j = arctan0.5 j兩邊取正切:tan90" -arctan0.02 j = tanarctan0.5 j1”= 0.5 j0.

22、02 j j.10100100二 50j 0.02 j代入幅頻特性，得A( j):22j . (0.02 j)2 1 .,.(0.5)2 - 1則增益裕量GM -20logA( ) - -20log50 =34 dB。不滿足要求。采用滯后一超前校正如下。(2)確定滯后一超前校正電路相位滯后部分。按照系統(tǒng)動態(tài)特性要求，設校正后 的穿越頻率R'=10。 c校正前系統(tǒng)在穿越頻率6c' =10處的相角(c ) = -90 -arctan 0.02，J。arctan 0.5 c ： 0'因此校正所需的相位最大超前角約400 +15 =55°。設交接頻率叫=1/1為新的穿越頻率' = 10的1/5處，即以=2 , Ti =1/叫=0.5?？紤]所需的相位