冪函數(shù)的典型例題

1、學(xué)無(wú)止境 最全文檔整理 經(jīng)典例題透析 類型一、求函數(shù)解析式 2 例 1.已知幕函數(shù)y = (m2 m1)xm ，當(dāng)(0,，)時(shí)為減函數(shù)，則幕函數(shù) y= _ . 2 解析：由于y =(m2m -1)xm，m為幕函數(shù)， 2 所以 m -m -1 =1，解得 m = 2，或 m = -1 . 當(dāng) m =2 時(shí)，m2-2m-3-3 , y=x在(0, )上為減函數(shù)； 當(dāng)m=-1時(shí)，m2-2m-3=0, y = x0 =1(x0)在(0, )上為常數(shù)函數(shù)，不合題意，舍去. 故所求幕函數(shù)為y=x. 總結(jié)升華：求幕函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，弄明白幕函數(shù)的定義是關(guān)鍵. 類型二、比較幕函數(shù)值大小 例 2.

2、比較下列各組數(shù)的大小. 4 4 3 3 _ - _ - _ _ (1) 3.14 3 與二 3 ; (2) (一、2) 5 與(-、.3) 5. 4 4 4 解： 由于幕函數(shù)y =一3&0)單調(diào)遞減且3.14 ：，. 3.14一3 二一3. 3 (2) 由于 y=x這個(gè)幕函數(shù)是奇函數(shù). f(-x)=-f(x) 3 3 3 3 3 因此，(- .2) 一5 = -( . 2) 5 , (_、3) 一5 二-C 3) _5，而 y = 5 (x0)單調(diào)遞減，且.2 八 3 , 3 3 3 3 3 3 - ( . 2) _5 (、3)一5= -(、2)一5 ： -(、.3)一5 .即(一2)

3、一5 ： (-.3)一5. 總結(jié)升華： (1) 各題中的兩個(gè)數(shù)都是“同指數(shù)”的幕，因此可看作是同一個(gè)幕函數(shù)的兩個(gè)不同的函數(shù)值，從而可根 據(jù)幕函數(shù)的單調(diào)性做出判斷. (2) 題(2)中，我們是利用幕函數(shù)的奇偶性，先把底數(shù)化為正數(shù)的幕解決的問(wèn)題 當(dāng)然，若直接利用 x0 上幕函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題也是可以的 舉一反三 【變式一】比較0.8.5, 0.90.5, 0.9亠5的大小. 思路點(diǎn)撥：先利用幕函數(shù)y=x0.5的增減性比較0.80.5與0.90.5的大小，再根據(jù)幕函數(shù)的圖象比較 0.90.5與 0.9 亠5的大小. 解：；y =x0.5在(0, )上單調(diào)遞增，且 0.8： 0.9 , 0.80.5

4、 ：0.901 作出函數(shù)y =x0.5與y二x在第一象限內(nèi)的圖象， 易知0.90.5 99心學(xué)無(wú)止境 最全文檔整理 0.5 0.5 0.5 故 0.8 0.9 0.9-. 例 3.已知幕函數(shù)y=x , y = xn2 , y = xn3, y = xn4在第一象限內(nèi)的圖象 分別是 Ci, G, C3, C4,（如圖），貝U ni, n2, n3, n4, 0, 1 的大小關(guān)系？ 解：應(yīng)為 nin20n31(3 2a廠, 即0，得 m3 或 m0 , 得到 x3 或 x3 時(shí)，/ u=(x-1) 2-4, 隨著 x的增大 u增大， 3 32a 0 (1) 0 (2) 3 -2a a a +1 3

5、 2a : 0 *a+1c0 (3) 3 -2a 0 (3 _2a) a a +1 學(xué)無(wú)止境 最全文檔整理 又 y = u 4在定義域內(nèi)為減函數(shù)， y 隨著 u的增大而減小， 3 即X3, 二時(shí)，y =(X2 -2x-3)一4是減函數(shù)，而 x -二，-1時(shí)，原函數(shù)為增函數(shù) 總結(jié)升華： 1. 復(fù)合函數(shù)的討論一定要理清 x , u , y 三個(gè)變量的關(guān)系. 2. 對(duì)于這樣的幕函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合，要先考慮幕函數(shù)的定義域?qū)ψ宰兞?舉一反三 1 【變式一】討論函數(shù) f(X)=xm2 m (m N )的定義域、奇偶性和單調(diào)性. 解：(1) ； m2 m = m(m 1)(m N )是正偶數(shù)， 2 .m m 1是正奇數(shù). .函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镽 . (2) ； m2 m 1是正奇數(shù)， 1 1 2 2 .f(-x) =(-x)m m 1二-xm m -f(x)，且定義域關(guān)