1.1.2弧度制和弧度制與角度制的換算

1、1.1.2 弧度制弧度制 在平面幾何中研究角的度量，當(dāng)時是用在平面幾何中研究角的度量，當(dāng)時是用度做單位來度量角，度做單位來度量角，1的角是如何定義的？的角是如何定義的？ 規(guī)定周角的規(guī)定周角的1360為為 1 度的角度的角 .這種用度做單位來度量角的制度叫做這種用度做單位來度量角的制度叫做角度制角度制 .在數(shù)學(xué)和其他科學(xué)研究中還經(jīng)常用到另一種在數(shù)學(xué)和其他科學(xué)研究中還經(jīng)常用到另一種度量角的制度度量角的制度 弧度制弧度制，它是如何定義呢？，它是如何定義呢？ 一、復(fù)習(xí)角度制一、復(fù)習(xí)角度制二、弧度制定義二、弧度制定義 我們我們把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做做 1弧

2、度的角弧度的角，若弧若弧 AB 的長等于半徑的長等于半徑 r ,則則AOB= 1 rad.若弧若弧 AB 的長等于的長等于 2r ,則則AOB= 2 rad. 即用弧度制度量時，這樣的即用弧度制度量時，這樣的圓心角等于圓心角等于1 rad.問題問題1：若弧是一個半圓，則其圓心角的弧度數(shù)是多若弧是一個半圓，則其圓心角的弧度數(shù)是多少？若弧是一個整圓呢？少？若弧是一個整圓呢？答：答：若弧是一個半圓，則弧長若弧是一個半圓，則弧長,lr 所以圓心角的弧度數(shù)是所以圓心角的弧度數(shù)是.lrrr 若弧是一個整圓，則弧長若弧是一個整圓，則弧長2,lr所以圓心角的弧度數(shù)是所以圓心角的弧度數(shù)是22.lrrr 由此可知

3、，任一由此可知，任一0360 的角的弧度數(shù)的角的弧度數(shù)弧弧概念也隨之推廣，任一概念也隨之推廣，任一正角正角的弧度數(shù)都是的弧度數(shù)都是一個一個正數(shù)正數(shù)；任一；任一負(fù)角負(fù)角的弧度數(shù)都是一個的弧度數(shù)都是一個負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)；零角零角的弧度數(shù)是的弧度數(shù)是 0 .lxr 必然適合不等式必然適合不等式 0 x2.例如，若圓心角例如，若圓心角AOB表示一個負(fù)角，且它表示一個負(fù)角，且它所對的弧長為所對的弧長為4r，則，則44.rAOBr 角的概念推廣后，角的概念推廣后， 一般地，正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)一般地，正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.|.l

4、r 這種以弧度為單位來度量角的單位制叫這種以弧度為單位來度量角的單位制叫做做弧度制弧度制. .那么角那么角的弧度數(shù)的絕對值是的弧度數(shù)的絕對值是如果半徑為如果半徑為r的的圓的圓心角圓的圓心角所對弧的長為所對弧的長為l，這里這里的正負(fù)由的正負(fù)由終邊旋轉(zhuǎn)方向決定終邊旋轉(zhuǎn)方向決定. .弧長公式：弧長公式：|.lr (:)180n rl 采采用用角角度度制制的的弧弧長長公公式式 注意注意: 用角度制和弧度制來度量零角，用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但量數(shù)相同（都是單位不同，但量數(shù)相同（都是0）；）； 用用角度制和弧度制度量任一非零角，角度制和弧度制度量任一非零角， 單位不同，量數(shù)也不同單位不同，

5、量數(shù)也不同. 問題問題2：一定大小的圓心角一定大小的圓心角 所對應(yīng)的弧長與所對應(yīng)的弧長與半徑的比值是否是確定的？與圓的半徑大小有關(guān)嗎？半徑的比值是否是確定的？與圓的半徑大小有關(guān)嗎？提示：提示：初中所學(xué)的弧長公式初中所學(xué)的弧長公式180rnl 180 nrl 上式表明，以角上式表明，以角為圓心角所對的弧長與其半徑的比為圓心角所對的弧長與其半徑的比值，由值，由的大小來確定，與所取的半徑大小無關(guān)，僅的大小來確定，與所取的半徑大小無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)與角的大小有關(guān)三、三、 角度制與弧度制的換算角度制與弧度制的換算 用用“弧度弧度”與與“度度”去度量每一個角時，除了零角以去度量每一個角時，除了零角以外

6、，所得到的量數(shù)都是不同的，但它們既然是度量同外，所得到的量數(shù)都是不同的，但它們既然是度量同一個角的結(jié)果，二者就可以相互換算一個角的結(jié)果，二者就可以相互換算 我們已經(jīng)知識若弧是一個整圓，它的圓心角是周角，我們已經(jīng)知識若弧是一個整圓，它的圓心角是周角，其弧度數(shù)是其弧度數(shù)是2，而在角度制里它是，而在角度制里它是360， 因此因此 3602rad ，180rad ，1rad180 0.01745 rad . 2 rad360 ，rad180 1801rad() 57.3057 18 . （1） 把把 6730化成弧度化成弧度.（2） 把把 弧度化成度弧度化成度.53例例11(1)67 30(67)2解

7、：解：167 30671802rad 3.8rad33(2)18055rad108 .（1）用弧度為單位表示角的大小時，）用弧度為單位表示角的大小時， “弧度弧度”二字或二字或“rad”通常省略不寫，而只寫這個角所通常省略不寫，而只寫這個角所對應(yīng)的弧度數(shù)對應(yīng)的弧度數(shù) .但用但用“度度”或或“”為單位不能為單位不能省省.（2）用弧度為單位表示角時，通常寫成）用弧度為單位表示角時，通常寫成 “多少多少”的形式的形式.注注 意：意：角角度度弧弧度度060 1201352704265230例例2. 寫出下列特殊角的度數(shù)或弧度數(shù)：寫出下列特殊角的度數(shù)或弧度數(shù)： 645 39032431501802336

8、002=180:360n rln rS 角角度度制制的的扇扇形形弧弧長長公公式式： 面面積積公公式式扇形周長、面積公式扇形周長、面積公式=;:1.(0)2lRSlRlR 利利用用弧弧度度制制證證明明扇扇形形弧弧長長公公式式：面面積積公公式式，其其中中 是是扇扇形形的的弧弧長長， 是是圓圓的的半半徑徑3.例例證證明明：1rad 圓圓心心角角為為的的扇扇形形面面積積為為212R l又又 弧弧長長為為 的的扇扇形形的的圓圓心心角角是是lradR 扇扇形形的的面面積積212lSRR 1.2lR 說明：說明：扇形面積公式還可以表示為扇形面積公式還可以表示為21|2SR 例例4. （1）已知扇形）已知扇形

9、OAB的圓心角的圓心角為為120，半徑為，半徑為6cm，求扇形弧長及所含弓形的面積，求扇形弧長及所含弓形的面積.（2）已知扇形周長為）已知扇形周長為20cm，當(dāng)扇形的圓心角為多大，當(dāng)扇形的圓心角為多大時，它有最大面積？最大面積是多少？時，它有最大面積？最大面積是多少？lr解：解： 1201 ）（,32 6 ,r 2|63lr 4. OAB26sin60AB 又又6 3 , HAB邊上的高邊上的高6cos60OH 3 . 116 3322AOBSABOH 9 3 . 114622Slr 扇扇形形12,AOBSSS弓弓形形扇扇形形129 3. lr解解：rlS 設(shè)設(shè)扇扇形形的的半半徑徑為為 ， 圓

10、圓心心角角為為 ，弧弧長長為為 ， 扇扇形形面面積積為為， 則則202lr，12Slr 1(202 )2rr210rr 2(5)25r 2max525rcmScm當(dāng)當(dāng)時時，102 .5lr 此此時時，例例4. （1）已知扇形）已知扇形OAB的圓心角的圓心角為為120，半徑為，半徑為6cm，求扇形弧長及所含弓形的面積，求扇形弧長及所含弓形的面積.（2）已知扇形周長為）已知扇形周長為20cm，當(dāng)扇形的圓心角為多大，當(dāng)扇形的圓心角為多大時，它有最大面積？最大面積是多少？時，它有最大面積？最大面積是多少？課后作業(yè)課后作業(yè)1. 習(xí)題習(xí)題1.1 6 10及及B組組132.樂學(xué)樂學(xué)1.1.2練習(xí)練習(xí)1. 如

11、圖，用弧度制表示下列終邊落在陰影部分的角的如圖，用弧度制表示下列終邊落在陰影部分的角的集合（不包括邊界）集合（不包括邊界）分析：分析：首先找出陰影圖形的邊界表示的角，然后再選擇適當(dāng)?shù)慕鞘紫日页鲫幱皥D形的邊界表示的角，然后再選擇適當(dāng)?shù)慕堑男问奖硎娟幱安糠秩魞刹糠株幱皡^(qū)域能合并盡量合并的形式表示陰影部分若兩部分陰影區(qū)域能合并盡量合并ZkkkS，）（6123221ZkkkS，）（242ZkkkkkS，或）（23223223練習(xí)練習(xí)2. 已知扇形的面積是已知扇形的面積是4cm2，它的周長是，它的周長是8cm，求它的中心角和弦的長求它的中心角和弦的長解：解：設(shè)扇形的弧長為設(shè)扇形的弧長為 l，半徑為，半徑

12、為 r，則，則42182lrrl. 2, 4rl所以中心角為所以中心角為 .224rl2sin2rAB 弦長為弦長為 .1sin4lrABO練習(xí)練習(xí)3. 已知圓上的一段弧長等于該圓的內(nèi)接正方已知圓上的一段弧長等于該圓的內(nèi)接正方形的邊長，求這段弧所對的圓周角的弧度數(shù)。形的邊長，求這段弧所對的圓周角的弧度數(shù)。a.Oal BAa22解：角所以這段弧所對的圓心則，長為設(shè)此圓內(nèi)接正方形的邊a，此段弧，圓的半徑為ala22aaAOB222.22的弧度數(shù)為故這段弧所對的圓周角練習(xí)練習(xí)4. 已知已知是第二象限角是第二象限角.（1）指出）指出 所在的象限，并用圖形表示其變化范圍所在的象限，并用圖形表示其變化范圍.2 （2）若）若同時滿足條件同時滿足條件|+2|4,求求的取值區(qū)間的取值區(qū)間.解：解：由題意得，由題意得，（1）()422kkkZ，是第一象限或第三象限的角是第一象限或第三象限的角.2 （2） |+2|4 ,62 ,又又是第二象限角，是第二象限角，22()2kkkZ， 22 6 , 2 ()2kkkZ （，）， 故故的取值區(qū)間的取值區(qū)間3(, 2.22（-