非線性微分方程

1、高階微分方程的降價技巧作者：陳思指導老師：張海摘要：一般的高階微分方程沒有普遍的解法，處理問題的基本原則是降價，利用變換把高階微分方程的求解問題化為較低階的方程來求解。因為一般說來，低價微分方程的求解比高階微分方程方便些，特別地，對于二階（變系數）齊次線性微分方程，如能知道它的一個非零特解，則可利用降價求得與它線性無關的另一特解，從而得到方程的通解，對于非齊次線性微分方程，只需運用常系數變異法求出它的一個特解，就能求通解。本文總結了一些基本的降價技巧并舉例說明。關鍵詞：方程，降階，技巧，解，特解，通解，微分方程1引言：價微分方程的求解比高階微分方程方便，通常，高階微分方程的求解方法是先進行降階

2、，將其降為低階微分方程再求其解。本文先介紹了三類基本的二階微分方程的降價技巧，然后又總結了一些更高階的微分方程的降階及求解。2形如y*=f（x理2.1 降階技巧；設y“=f（x）兩端積分，即有：y'=f（x）dx=fi（x）+Ci再積分一次，得y二fixdx=f2xCixC2函數為方程的通解2.2 例：求解二階微分方程y解：兩端積分，得：y=x=arctanxC1再積分彳導y=arctanxCidx=xarctanx-1xdxC1x,1I,2=xarctanx-In1xC1xC2總結小語：同樣的方法可以求出形如y（n）=f（x）的通解3形如y“=f(x,yj型3.1設二階微分方程為”=

3、f（x,y）,方程中不顯含未知函數y'=p,則y”小dx故原方程變?yōu)閜'=f（x,p）,設其通解為p=f1（x）+C1：的原函數為f2x則原方程的通解為：y=f2xGxC22.3 求解xy"+y'=Inx解：令p=y則原方程變形為：p：R=xInx此方程為一階線性微分方程:x11dxexdx十C1=Inx-1C1x所以原方程的通解為：y=Inx-1C1dxx=xInx。2廠C1xC24形如y"=f（y,y，）型對于y*=f（y,y）這種類型的方程，不顯含x,做變換：y=p則：dpdpdydpy二二二pdxdydxdy則原方程變?yōu)椋簆dp=fy,pdy

4、從而化為一階微分方程例：求二階微分方程y“十二-曠2=01-y解：令y=p,則原方程變?yōu)椋簆dp=乂pdyy-1消去：p即：曳=3,p即曳=2.dydyy-1py12二p=C1y-1故原方程的通解為：=C1XC2-y5形如F（x,y（n）=0型（3）3）等價的參對于F（x,y（n）=0的n階方程，將x,y（n）表示為參數的t函數，得到與（x=：t數方程«,、（4）yn=1't積分（4）的第二個方程：dyD=y（nXx=V（tF'（t）dt,yfL4（t，G）繼續(xù)下去，求得：y='、t,C1,.Cn于是，方程的解為:X=；ty='-nt,Ci,(5)Cn

5、例;解x=ey+y"解：令y*=p,則x=ep+p則，dy'=y'dx=p(ep+1)dp12_y'=：ip-1e2PCiy=ydx=p-1e2p1p22+p1+C1ep+1p2+C1dpJ222p<2一p13一一-1+C1e十p十C1P+C2若將視為參數，則上式與x=ep十p一起給出原方程的解。6形如F（y（n）y（n,）=0型對于F（yC）y（n,）=0（6）,若可以解出yf）=f（y"）,令z=y(nA),彳#z=f(z),積分可得：xC1=若解得：znxC）即：y（n"）=（x，G）積分可得：y=.:x,C1dx.dxC2xn

6、.CnxCn若從（6）中解不出y（n）,用參數t表示y（n）,y（n"）y（n）=巴t）,y（n）3（t）Cn經過積分可得（6）的參數形式的解為：x=4（t）+C1,y=中（t,C2,.Cn3'22例2解萬程：ayy=1+by33dp22apdp解：令p=y,得至kap一=V1+bp，即dx=（dx1b2p231積分可得：x=%1b2p22-C1b所以：y,=pdx二32,apdp11b2p2dp=a31221b21bp2bbdp,1b2p2喉.Edp*.dp1b2p2,：p1b2p2-1lnbp1b2p2C2所以:y=ydx=6石bp2-=p221nbp_1b2p2C2dx

7、1b2p2f!bp2-,p22ln(bp+71+b2p2Jdp+aCj_j1+bppdp11b2p2又因:pdp1b2p2Inbp,1b2pMp=J+b2p2ln(bp+j1+b2p2bb3.aC2pdp1b2p2*C21b2P"故：y2p6ba3C2b2；1b2p26a2b5.1b2p2Inbp,1b2p2C33上式與表達式：x=-2b21-b2p2-G一起為原方程參數形式的解，其中p為參數。若從它們中消去參數p,得到顯示解:1y:33.56abb4(x+G2-a6I2-6a2b3(x+C1)lnib2(x+C1)+b4(x+C1"a63a2b54xC12-a6C2xC3

8、3其中C2=C2+-arlna3,2b3C3=GC2+C3+a-C-lna3)2b36形如F(x,y(k)yW).y(n)=0型對于F（x,y（k）y"）.y（n）=0（8）白n階方程，在令y（k）=z以后，將（8）化成（n-k）階的方程F(x,z,z：.z(n")=0若方程(9)可以積分，求得：z-7x,C1,.CnJ,即：yk=x,Cd連續(xù)積分k次，可求得(8)的解：y=g(x,C1,.Cn)例3:求方程5dt5tdt4=0的解解：令d4xr=y,則方程化為:dtdy1y=0dtt、一*、一，一dx這是一階方程，積分可得：y=ct,即工x=ctdt4于是：x=Gt5+C

9、2t3+C3F+C2t+C(其中G,C2,C5為任意常數)，這就是原方程的通解。形如F(y,y：.yC)=0型若令y'=z,并以它為新未知函數，而視y為新自變量，則方程可以降低一階。對于：F（y,y：y（n）=0（10）的n階方程(12)令y'=z（11）dydzdzy=z-dxdxdyd2zJdz）yzdy9yJjy（n）=wz/dz1dy1n、dz,n1dyJJ將(11)(12)代入(10),得到一個關于函數z和自變量y的n-1階方程，若此方程可以積分，最后可得到關于y的一階方程例：解方程2yy,=y2,y2解：令：y'=p,yIr=p-dp化原方程為2ypdp=p

10、2+y2,dydy再令：p2=z得y包二zy2dy解得：z=C1yy2即：p2=C1y+y2,y，=土Jgy+y2積分可得：InyC+Jc1y+y2=±x+C22y用y除兩邊，假定y#0；另一方面，驗算知y=0為一特解形如F(x,y,y：.y(n)=0型，對于F(x,y,y：.y(n)=0(13)的n階方程，若左端關于yy'y(n)是m次的齊次函數即：F(x,ky,ky.ky(n)=kmF(x,y,y：yC)zdxy=ze2.zdx令：yzdxy=zze(14)e,(13)則：y(n)=w(z,z：.z(n，)e'將(4),(5)代入(13),得到關于未知函數z的n1

11、階方程F(x,1,z,z2+z：.,w(z,z：.zD)=0若求得(16)的通解z=：x,C1,CnF即y=x,1,.Cn4y積分(17),得到y=Cne陟G"C1dx2卜.2例5：解萬程：xyy=(,y-xyzdxzdx2zdx解：令y=e-,y'=ze,y"=(z+z')e化原方程為x2z：2xz=1解得：zCxx,Cl.-Cizdxln|x-lnCi-則：y=e=exC2xex當約去因子e*dx時，假定y#0,經核驗，y=0仍為一特解，但此解可以包含在通解之中。9形如F(x,y,dx,dy,d2y,.,dny)=0型的方程對于F(x,y,dx,dy,d

12、2y,.,dny)=0(18)的n階方程，若左端關于x,y,dx,dy,d2y,.,dny是m次的齊次函數，即；Fkx,ky,kdx,kdy,kd2y,.,kdny=kmFx,y,dx,dy,d2y,.,dnydx=ed,dy=eduud；._LU*T七T令x=ey=ue-；(19)則：d2y=e(d2u+dud-),d3y=e_(d3u-dud-2(20)將(19)(20)代入(18),由齊次性得知：F(1,u,dUdu+ud"d2u+dud匕.，dnu+.)=0方程(21)不顯含自變數的階方程，可用6的方法求解。例6解方程：x4y"x3y3+3x2yy'2-(3

13、xy2+2x3)y，+2x2y+y3=0_2d2u+du解：這是左端關于x,y,dx,dy,d2y的三次齊次函數代入原方程，消去公因子e3得到:令x=e：y=ue'則:/=當+u,y"=edd2ududTdu<d-用入dp/曰dpd2再令：u(t)=p,u=p，得：p1-1-pdudu由曲=1+p2,得出dudu-p=F=tg(u+C1)再積分得:dsin(u+C1尸C2e-；即：y=xarcsinC2x)C1x由p=0得：u=C,y=Cx,但此解不包含在通解中。10形如F(x,y,dx,dy,d2y,.,dny)=0型的方程對于F（xydxdd,y.n,dy（02）的

14、n階方程，若將x,dx算作一次，y,dy,d2y,.dny算作m次，即y'為m1次，y"為m2次，y（n）為mn次時，（22）的左端是齊次函數。令x=e.y=uem"（23）亞=em4曳+mu±=ebM曲+m；dxdUdx'd七(24)Jdu小”、du,丁T2+(2m-1)+m<m-1)u品2d)ndydxn=e3前(u,u：.,u(n)將（23）和（24）代入（22）,得到一個不顯含自變量的方程，可用4的方法求解。例7解方程x4y"（x3+2xy）y'+4y2=02解：將x,dx算作一次，y,dy,dy算作兩次時，所給方程

15、的左端為四次齊次函數令x=ey=ue2：貝Uy'+2u,y*=Jd2udu232ud2dd2udu代入原方程，消去因子e4-后，得出二4+2（1u）”=0d2d人dud2udp令p=-=p-Pd,d2pdu上式化為：pdp21-u=0_du由dp=2(1u)。得p=u2-2u+C,即=d-duu-1C-1當C>1時，由du=d：,得出u=1+C1tg(C/+C2)u-1C-1即：y=x2|1C1tgC11nxC2當C<1時，同理由p=0,可得：y=Cx211恰當導數方程定義：假如方程F（x,y,y；.y2）=0（1.8）的左端恰為某一函數網x,y,y',.y（n,）

16、對x的導數，即（1.8）可化為：_d"x,y,y：.yL）=0dx則（1.8）稱為恰當導數方程。降階技巧：這類方程的解法與全微分方程的解法相類似，顯然可降低一階，成為：x,y,y；.ynl=C之后再設法求解這個方程。例5求解yy"+y”=0d-解：易知可將方程寫為yy'；=0dx故有yy'=G:即：ydy=C1dx積分后即得通解y2=C1xC2：例6求解yy"-ya=01vvM-v*2dv*解：先將兩端同乘不為0的因子-2,則有：W2V=一上=0yydxkyJ故y'=Cy,從而通解為y=C1eCx評析：這一段解法的技巧性較高，關鍵是配導數的

17、方法。12形如F（x,y,y；.y（n）=0型對于F（x,y,y：.y（n）=0（25）的n階方程，若F（x,y,y：.y（n）=旦"x,y,y：.y（n/）,dx則欠x,y,y；.yL）=C1（26）為方程（25）的首次積分。這樣就把方程降低一階。有時方程（25）的左端雖不是恰當導數，但乘以因子U（x,y,y；.y（n，）后求得首次積分例8解方程L=工%y1y解：因為匕_22y_=iny-ln1y2y1y-所以iny-in1y2=C1,y=C11y2積分可得y=tgC1x-C213齊次線性微分方程:dnxdnxn-+21（t）H+.+an（t）X=0（4.2）萬程（4.2）的求解問

18、題dtndtn可歸結為尋求方程的n個線性無關的特解思路：若知道方程的k個線性無關的特解，則可通過一系列同類型的變換，使方程降低k階，并且新得到的階方程，也是齊次線性的。降階技巧：設X1,X2,.,Xk是方程（4.2）的k個線性無關解，（x#0,i=1,2,.,k玲x=xkyx'=Xky'+xyxIr=xky'*+2xy+xy直接解得：«（*）xp）=xky（n）+nxk'yC）+'11xk*y（n_2）+xk（n%22（*）式代入（4.2）,得到xkyC）十px/十a（t）xklyC，）+-xk（n）十31人）+十anxkIy=0令，用除方程各

19、項，得到：-1階齊次線性微分方程由知方程（4.67）有n-1階齊次線性微分方程由z=y'=|,即x=xkjzdt<xk）方程（4.67）有k-1個線性無關解zi='上，（i=1,2,.,k1）<XkJ令".二2Z2.+Sk4Zk=三0,即«1上+«2fX21Xk<Xk+其中1,與，：k.a常數。那么，就有：0fl二十也至十.十隊迎=7k<xkJ<xk）即：-iXi12X2二kXk二kXk=0又因：x1,.xk線性無關，所以：%=a2=.=ak=0從而乙，Z2,.,zk線性無關對方程（4.67）仿以上做法，令z=zkju

20、dt,可將方程化為關于u的n2階齊次線性微分方程ul）+C1（t）u（n"）+.+CnN（t）u=0評析：由此討論知：利用k個線性無關特解當中的一個解xk,可以把方程（4.2）降低一階，成為階齊次線性微分方程（4.67）,并且知道它的k-1個線性無關解，而利用兩個線性無關解，則可把方程（4.2）降低兩階，成為n-2階齊次線性微分方程（4.68）,同時知道它的k-2個線性無關解4.2）降低了k階依此類推，繼續(xù)上面的做法，若利用了方程的k個線性無關解x1,x2.xko則最后我們就得到一個n-k階的齊次線性微分方程，這就是說把方程（d2xdx14二階齊次線性彳分萬程7F+p(tq+q(t)

21、x=0(4.69)降階技巧：只要知道方程的一個非零特解，則利用變換，可將方程降一階,作此變換：xxiydt方程化為：x1包十一：dt-2x1+p（t）x1ly=0（一階線性微分方程）解得:y=Ce.ptdtxi因而x=x1GC這里C,&為任意常數檢驗：取Ci=0,C=1,得方程（4.69）的一個特解：x=x/1-Ptdt-e2xi出，顯然它與x1線性無關所以（4.70）為（4.69）的通解，包含了方程（4.69）的所有解例4已知x=Sint是方程x*+2x'+x=0的解，試求方程的通解tt一、一2解：這里pt=-t1,.dtt2Jsint八八1八八GCcott=-C1sintCcostsintt2由（4.70）得到：x=sC1+Ctsin2t其中是g,c任意常數，這就是方程的通解非齊次線性微分方程：設有線性n階方程：x）+PixC，）+.+pnx'+pnx=q（t）（39）其中p,p2，pn,q都是t在某一區(qū)間（a,b）中的連續(xù)函數方程：x）+px（n,）+.+pn/x'+pnx=0（40）稱為與（39）對應的線性齊次方程，而（39）稱為齊次的。定理2設x（t）42。）,.,xn（t）是方程（40）的n個線性無關解，稱為基本解組，則（40）n的通解是CCixi（t）其中Ci,C2,.,Cn為任意常數i4定理3。如果已知方程（40）的k個線性無關