求數(shù)列前N項和的七種方法精編版

1、求數(shù)列前N項和的七種方法點撥:核心提示：求數(shù)列的前n項和要借助于通項公式，即先有通項公式，再在分析數(shù)列通項公式的基礎上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉化為基本數(shù)列求和。當遇到具體問題時，要注意觀察數(shù)列的特點和規(guī)律，找到適合的方法解題。1.公式法等差數(shù)列前n項和：nlnl*n(d22特別的，當前n項的個數(shù)為奇數(shù)時，S+i=(2k+1)Lak+i,即前n項和為中間項乘以項數(shù)。這個公式在很多時候可以簡化運算。等比數(shù)列前n項和：q=1時，Sn=naa11一qnr心一人q#1,Sn=,特別要汪意對公比的討論。n1-q其他公式：1、Sn=£k(n+1)2、Sn=£k2=1n(n+1)(2n

2、+1)22“63、Sn=k3=ln(n-1)2k42例1已知log3x=，求x+x2+x3+xn+，的前n項和.log23解：由log3x11log3x一-log32=x=log232由等比數(shù)列求和公式得Sn=xx2x3匚*xn(利用常用公式)11x(1xn)1-x2=1_!12n1-2例2設Sn=1+2+3+-+n,SnnCN*,求f(n)=(n32)Sn1白11，(利解：由等差數(shù)列求和公式得Snn(n1),Sn-(n1)(n2)用常用公式)f(n)=n(n32)&.1n2n34n64-,6482n34(n)50n.n1<50_8當7n=，即n=8時，f(n)maxn502.錯

3、位相減法這種方法是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an、bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3求和：Sn=1+3x+5x2+7x3+(2n_1)xn解：由題可知，(2n1)xn。的通項是等差數(shù)列2n-1的通項與等比數(shù)列xn的通項之積設xSn=1x+3x2+5x3+7x4+(2n1)xn-得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2x4+2xn*_(2nT)xn(錯位相減)1-xnn再利用等比數(shù)列的求和公式得：(1-x)Sn=12x(2n-1)x1xSn=(2n-1)xn1-(2n1)xn(1x)(1-x)2246例4求數(shù)列一，一7,-T22

4、2232n2n前n項的和.解：由題可知，|的通項是等差數(shù)列（2n的通項與等比數(shù)列?的通項之積設Sn|Sn（設制錯位）2462n=一+2_222232n462n+-+-+.+23242n12|322+T+242n2n212n（錯位相減）_2-2n-2“1Snn2=442“練習：3. 求：Sn=1+5x+9x2+(4n-3)x"2n-1解：S=1+5x+9x+(4n-3)x兩邊同乘以x,得nn+x)-(4n-3)xxSn=x+5x2+9x3+(4n-3)xn(Z-得，(1-x)S=1+4(x+x2+x3+當x=1時，S=1+5+9+(4n-3)=2n-n+1-(4n-3)xn當x豐1時，

5、Sn=十l-x4x(1-xn)1-x反序相加法求和這是推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個（arHan）.22222例5求sin1+sin2+sin3+sin88+sin89的值2225-22解：設S=sin1+sin2+sin3+sin88+sin89將式右邊反序得-22n卜222S=sin89+sin88+sin3+sin2+sin1(反序)又因為sinx=cos(90x),sin2xcos2x=1+得4. (反序相加)2S=(sin1十cos1)+(sin2十cos2)十，十(sin89+cos89)=89sinco

6、ssin乙cossincos<S=44.5分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可1,11例6求數(shù)列的刖n項和：1十1,十4,十7,；一+3n-2,aaa11.1-解：設Sn=(11)(4)(27)，(一n3n-2)aaa將其每一項拆開再重新組合得Sn=（11a（分組）當a=1時,組求和）當a#1時,1 1、2 -j)(147-3n_2)aa(3n-1)n(3n1)nSn=n十=221-4S小1工,C八a(3n-1)na-a(3n-1)nsn=+=+112a-12I-一a例7求數(shù)列n(n+1

7、)(2n+1)的前n項和.解：設ak=k(k1)(2k1)=2k33k2kSn=£k(k十1)(2k十1)=Z(2k3+3k2+k)kdkT將其每一項拆開再重新組合得Sn=2Lk3+3k2+<kkWkWkT(分組)=2(1323，n3)3(12,22，n2)(12“，n)_n2(n1)2n(n1)(2n1).n(n1)2221 (分組求和)n(n1)2(n2)11,1、練習：求數(shù)列12,24,38,（n+另）,的前n項和。1 111解：Si=123-,*,(n)482n1111=(1“2，3n)犬一,了3)1=n(n1)1-12n5.裂項法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具

8、體應用.裂項法的實質是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項,最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如:(3)(5)(6)ananan=f(n1)n(n-1)-f(n)(2)sin1cosncos(n1)tan(n1)-tannn(n-1)(n2)ann(n1)例9求數(shù)列(2n)2an(2n-1)(2n1)2n(n1)(n1)(n2)12(n1)-n2nn(n1)2nn2n(n1)2n1 11=1()2n-12n11,則Sn=1(n1)2n,L/，一的前n項和.nVn1an一一n1-.n.n51（裂項）Sn（裂項求和）=(.2-1)(.3-2)(n1-、n)例10在數(shù)列an中

9、,an12+1n1，又b12一，求數(shù)列bn的前anan1解:anbn2n（裂項）數(shù)列bn的前n項和-1111Sn=8(1)()(一223311)，(4土)（裂項求和）1、8n=8(1)=n1n1例11求證:cos1解：設S（裂項）cos0cos1cos1cos2cos0cos1cos1cos2+*+cos88cos89cos88cos89sin1cosncos(n1)S=cos0cos1cos1cos2.2sin1=tan(n1)Tanncos88cos89（裂項求和）1-，-一、，一一一、.一一(tan1-tan0)(tan2-tan1)(tan3-tan2)tan89-tan88sin11

10、1"cos1(tan89-tan0)=:cot1=2""sin1sin1sin1原等式成立練習：求13,115,135163之和。初11111111解：-=153563133557795727111111111=(1_)(-_)(_)-232352-"12111)(一一)77911111一_)-(_一_)(-6. 3551=(1)9合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.例12求cos1°+cos2°+cos3°+cos178

11、6;+cos179°的值.解：設Sn=cos1°+cos2°+cos3°+-+cos178°+cos179°cosn°=-cos(180n)(找特殊性質項)Sn=(cos1°+cos179°)+(cos2°+cos178°)+(cos3°+cos177°)+(cos89°+cos91°)+cos90°(合并求和)=0例13數(shù)列an:a1=1,a2=3,a3=2,an=an*an,求S2002.解：設S2002=aa2'a3a20

12、02由a=1,a?=3,a3=2,an42=an*a”可得a4-T,a5=-3,a&=-2,a7=1,a8=3,a9=2,ao=T,a=一3,a2=一2,.a6k1=1，a6k2-3,a6k3-2,a6k4=一1，a6k5=一3,a6k6=一2'a6k*a6k龐*a6k乜*a6k也*a6k書*a6k書=0(找特殊性質項)S2002=務*a2*a3*''a2002（合并求和）(aia2,a3a6),(a?,a8.812)=.;：(a6ki-a6k2:;：a6k-6)卜"(ai993'ai994'"ai998),1999'

13、a2000a200ia2002=ai999a2000'a200l'a2002=a6k1'a6k2a6k3a6k4例14在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6=9,求log3a+log3a2+log3a0的值.解：設Sn=log381log3a2Tog3810由等比數(shù)列的性質m+n=p+qnaman=apaq(找特殊性質項)和對數(shù)的運算性質logaM+logaN=logaMN得Sn=(log3a1log3a0)(log3a?log3a)，(log3a5log3a&)7. (合并求和)=(log3aam)(log3a2a。)(log3a5a&)=log39l

14、og39匚-log39=10利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結構及特征進行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法.例15求1+11+111+U二1之和.11，-解：由于111二1=一區(qū)迎.二9=一(10k1)(找通k個19©9項及特征)-111111""11111n個1=1(1011)1(102-1)】(103一1)1(10n-1)9999(分組求和)1123n1(101010，T0)(111，”1)99尋1=110(10n1)n910-191(10n1_10_9n)81例16已知數(shù)列（an:8二an=（n+1）（n+3），求匕（巾腥*的值-解：(ng")*1)(n.1)(n.3)一(n2)(n4)（找通項及特征）8(n2)(n4)(n3)(n4)（設制分組）4(n148(E上）（裂項）一二一二1-(n1)(an-an)=4、(（分組、QO)8(n2n4ndn3n4裂項求和）111=4(