平面向量經(jīng)典習(xí)題-提高篇

1、平面向量：1. 已知向量a=(1,2),b=(2,0),若向量泊+b與向量c=(1,-2)共線，則實(shí)數(shù)入等于()1A.2B.32C.1D.3答案C解析冶+b=(入2/)+(2,0)=(2+入2如泊+b與c共線，.，一2(2+/)20,71.2. (文)已知向量a=(g1),b=(0,1),c=(k,寸3),若a+2b與c垂直，貝Uk=()A.-1B.一也C.-3D.1答案C解析a+2b=(g1)+(0,2)=(g3),.a+2b與c垂直，.(a+2b)c=V3k+3仍=0,.k=3.(理)已知a=(1,2),b=(3,-1),且a+b與a?b互相垂直，則實(shí)數(shù)入的值為()A-161C11B.一p

2、6611C.11D.6答案C解析a+b=(4,1),a-h=(1-3入2+a,.a+b與a/b垂直，(a+b)(a2b)=4(13?)+1x(2+)=6110,.3. 設(shè)非岑向量a、b、c滿足|a|=|b|=|c|,a+b=c,則向量a、b間的夾角為()A.150B.120C.60D.30答案B解析如圖，在?ABCD中，.|a|=|b|=|c|,c=a+b,.么BD為正三角形，.zBAD=60,.a,b>=120,故選B.(理)向量a,b滿足|a|=1,|ab|=乎,a與b的夾角為60°,則|b|=()11A2B.§1JC4D5答案A3解析v|a-b|=2,*|a|2

3、+|b|2-2ab=,.|a|=1,a,b>=60,設(shè)|b|=x,貝U1+x2-1-2-.X4. 若屈阪+屈2=o,則abC必定是（A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形答案B解析aBbC+aB2=aB（bC+aB）=aBaC=0,.aBlaC,.ab±ac,叢bc為直角三角形.5. (文)若向量a=(1,1),b=(1,1),c=(-2,4),則用a,b表示c為()A.a+3bB.a3bC.3abD.3a+b答案B解析設(shè)c=沿+也，貝!J(2,4)=(濟(jì)山入一M-(1=2口1,.c=a3b,故選B.X串=43（理）在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于O

4、,E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長2,1B.§a+3b12D.ga+3b線與CD交于點(diǎn)F,若AC=a,BD=b,則AF等于（）A.；a+1bC.；a+4b答案B解析/E為OD的中點(diǎn),.能=3ED,|AB|EB|DFAB，tdf|=|DEp.|DF|=1|AB|,.|CF|=|AB|=2|CD|,333AF=AC+CF=AC+2CD=a+|(OD-OC)111I1=a+|(|b|a)=|a+|b.6. 若/ABC的三邊長分別為AB=7,BC=5,CA=6,則ABBC的值為()A.19B.14C.-18D.-19答案D一一一一_72+516219'，一工一.工.解析據(jù)已知得cosB

5、=I*7X5=35，故ABBC=|AB|x|BC|x(cosB)=19一7X5X35=19.7. 若向量a=(x1,2),b=(4,y)相互垂直，貝U9x+3y的最小值為()A.12B.2女C.3求D.6答案D解析ab=4(x-1)+2y=0,公+y=2,.9x+3y=32x+3yA32=6,等號一1在x=2，y=1時(shí)成，.8. 若A,B,C是直線l上不同的三個(gè)點(diǎn)，若。不在l上，存在實(shí)數(shù)x使得x2OA+xOB+BC=0,實(shí)數(shù)x為()A.-1B.0C.-15D®答案A解析/OA+xOfe+OCofe=o,./辦+(x-1)OB+OC=o,由向量共線的充要條件及A、B、C共線知，1xx2

6、=1,/.x=0或1,當(dāng)x=0時(shí)，BC=0,與條件矛盾，-x=-1.9. (文)已知P是邊長為2的正zABC邊BC上的動點(diǎn)，則AP(AB+AC)()A.最大值為8B.最小值為2C.是定值6D.與P的位置有關(guān)答案C解析以BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線BC為x軸建立如圖坐標(biāo)系，貝UB(1,0),C(1,0),A(0,a/3),aB+AC=(1,寸3)+(1,a/3)=(0,2寸3),設(shè)P(x,0),-kx<1,則AP=(x,V3),AP(AB+AC)=(x,V3)(0,-2/3)=6,故選C.3B.2D2(理)在/ABC中，D為BC邊中點(diǎn)，若/A=120°,ABAC=1,則|AD|的最小

7、值是()1A.2C.2解析.小=120,ABaC=1,/.|A§|At|cos120=1,.屆|時(shí)|=2,.廂|2+咬|2»2廂|成|=4,1.D為BC邊的中點(diǎn)，/.At)=2(Afe+At),.|局|2=打(|屈|2+|鳳|2+2扇At)=|Afe|2+|At|2-2)>|(4-2)=.,.應(yīng)|A乎.10. 如圖所示，點(diǎn)P是函數(shù)y=2sin(cox+(t»)(xR,w>0)的圖象的最高點(diǎn)，M,N是該圖答案B解析.司I司=0,.PM1PN,又P為函數(shù)圖象的最高點(diǎn)，M、N是該圖象與2Jt兀x軸的交點(diǎn)，PM=PN,yp=2,.MN=4,.丁=/=8,.3=

8、】11. 如圖，一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB,AD分別交于E、F兩點(diǎn)，且交其對角線于K,其中恁=爭&就=如，Ak=定，貝U入的值為（）11A-5B-411C-3D-2答案A解析如圖，取CD的三等分點(diǎn)M、N,BC的中點(diǎn)Q,則EF/DG/BM/NQ,易知AK=5AC,.燈5.12. 已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b與a-2b共線，貝Um的值為().1一八AB.21C.-2D.2答案C解析ma+4b=(2m4,3m+8),a2b=(4,1),由條件知(2m-4)(-1)-(3m+8)x4=0,«m=2,故選C.13. 在ABC中，C=90,且CA=

9、CB=3,點(diǎn)M滿足BMl=2MA,則CMCB等于()A.2B.3C.4答案b解析CMCB=（CA+AM）CB=（CA+3屈）CB=CACB+1ABCB31=日屈|CB|cos453=1x3瞻x3X¥=3.14. 在正三角形ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AB=3,BD=1,則ABAD=.答案15解析由條件知，|AB|=|At|=|BC|=3,屈，Ab=60°,AB,CB=60°,CD3X3Xcos6042x3X3xcos60=3.ABAD=aB（AC+CD）=ABAC+aB1515. 已知向量a=(3,4),b=(-2,1),貝Ua在b方向上的投影等于.答案-誓解析a在

10、b方向上的投影為背=蕓=一誓.一，一.，一2兀一_.16. 已知向也a與b的夾角為甘，且|a|=1,|b|=4,右(2a+h)±a,則頭數(shù)入=.答案1解析.a,b=爭|a|=1,|b|=4,.ab=|a|b|cosa,b>=1x4XcoS=2,v(2+h)上a,.a(2a+?b)=2|a|2+?ab=2-2燈0,.燈1.17. 已知：|OA|=1,|OB|=寸3,OAOB=0,點(diǎn)c在aob內(nèi)，且zaoc=30,設(shè)OC=mOA+nOB(m,nR+)，則，=.答案3解析設(shè)mOA=OF,nOB=OE,則OC=OF+OE,.zAOC=30,.|OC|cos30=|OF|=m|OA|=m

11、,|OC|sin30=|OE|=n|Ofe|=寸3n,*人/口m|0C|cos301仄m八兩式相除得：了-=區(qū)商-V3.-=3.V3n|OC|sin30tan30n18. （文）設(shè)i、j是平面直角坐標(biāo)系（坐標(biāo)原點(diǎn)為O）內(nèi)分別與x軸、y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，且OA=2i+j,Ofe=4i+3j,則zOAB的面積等于.答案5解析由條件知，i2=1,j2=1,ij=0,.OAOB=(2i+j)(4i+3j)=-8+3=一5,又OAOB=|OA|OB|cosOA,Ob>=5%/5cosOA,OB,.cosOA,OB=一普，.sinOA,OB=255,1qft1275.S8AB=2|OA|O

12、B|sinOA,Ob>=Xgx5X25-=5.（理）三角形ABC中，a,b,c分別是角A,B,C所對的邊，能得出三角形ABC一定是銳角三角形的條件是貝寫序號）1sinA+cosA=1ABBC<0b=3,c=3gB=30tanA+tanB+tanC>0.5答案1解析右A為銳角，則sinA+cosA>1,.，sinA+cosA=,A為鈍角，lABBC<0,5.BABC>0,出為銳角，由/B為銳角得不出zABC為銳角三角形；由正弦定理杰=s得，亮=3nC，/sinC=亭，-c=60或120:-csinB=孕，3<3乎<3根AABC有兩解，故都不能得出A

13、BC為銳角二角形.由tanA+tanB+tanC=tan(A+B)(1tanAtanB)+tanC=tanC(1tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC>0,及A、B、C(0,兀)A+B+C=兀知A、B、C均為銳角,zABC為銳角二角形.19. 已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x).(1) 若aLb,求x的值.(2) 若a/b,求|a-b|.解析若a±b,貝Uab=(1,x)(2x+3,-x)=1X(2x+3)+x(x)=0,整理得x22x3=0,解得x=1或x=3.(2)若a/b,則有1X(-x)-x(2x+3)=0,貝!Jx(2x+4)=0,解得

14、x=0或x=2,當(dāng)x=0時(shí)，a=(1,0),b=(3,0),.|ab|=|(1,0)-(3,0)|=|(-2,0)|=寸-22+02=2,當(dāng)x=-2時(shí)，a=(1,2),b=(1,2),.|ab|=|(1,2)(1,2)|=|(2,-4)|=寸22+-42=2柝120. 已知向也a=(sinx,1),b=(寸3cosx,2)，函數(shù)f(x)=(a+b)a2.(1) 求函數(shù)f(x)的最小正周期T;(2) 將函數(shù)f(x)的圖象向左平移6個(gè)單位后，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的解析式及其對稱中心坐標(biāo).解析(1)f(x)=(a+b)a2=a2+ab-

15、2=sin2x+1+V3sinxcosx+121-cos2xJ31J31=2+2sin2x2=2sin2x2cos2x=sin(2x3,向左平移M單位得，y=sin2(x+3sin(2x+6)，橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍得,g(x)=sin(3x+人2兀8一、,3k兀兀令§x+6=k兀得對稱中心為頃-4，0),kZ.21. (文)三角形的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c,設(shè)向量m=(ca,ba),n=(a+b,c),若mIIn.(1)求角B的大小;若sinA+sinC的取值范圍.caba解析(1)由m/n知=一廠,a+bc即得b2=a2+c2ac,據(jù)余弦定理知_1/玉cosB

16、=2，得B=3.(2)sinA+sinC=sinA+sin(A+B)=sinA+sin(A+7)3=sinA+；sinA+%osA=2sinA+乎cosA項(xiàng)=3sin(A+6)，_2八2.B=3,.A+C=3,(0,3),A+*(咨胃柘泌+郭(21,.sinA+sinC的取值范圍為(寫，媚.(理)在鈍角三角形ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，m=(2b-c,cosC),n=(a,cosA),且mIIn.(1) 求角A的大?。?2) 求函數(shù)y=2sin2B+cosfc2B)的值域.3解析(1)由m/n得(2bc)cosAacosC=0,由正弦定理得2sinBcosAsinCcosAs

17、inAcosC=0,.sin(A+C)=sinB,.2sinBcosAsinB=0,.B、AC(0,兀、一一"兀).sinB乒0,.A=3.13.(2)y=1cos2B+cos2B+2sin2B=1cos2B+3sin2B=sin(2B1,項(xiàng)_2<B<兀當(dāng)角B為鈍角時(shí)，角C為銳角，則兀2兀Du?2<B虧°<gB<2春2B-事$-sin(2B-(-12),13、ye(2,2)-當(dāng)角B為銳角時(shí)，角C為鈍角，則c-兀?0<b<$0<b<22奪B<u,一6<2B一事客.sin(2B-部(-；,；),.3、弈(2，2)

18、，一13綜上，所求函數(shù)的值域?yàn)?2，2).22. 設(shè)函數(shù)f(x)=ab,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,V3sin2x),xR.(1) 若f(x)=1-“且x$2,求x；(2) 若函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=(m,n)(|m|<2)平移后得到函數(shù)y=f(x)的圖象,求實(shí)數(shù)m、n的值.解析(1)依題設(shè)，f(x)=2coS2x+V3sin2x=1+2sin(2x+g).由1+2sin(2x+g)=1一/3，得sin(2x+g)=一,3<x；W2x+gv普兀兀iTt-2x+6=3,即x=4(2)函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=(m,n)平移后得到函數(shù)y=2si

19、n2(xm)+n的圖象，即函數(shù)y=f(x)的圖象.由得f(x)=2sin2(x+方)+1.一一.項(xiàng)一，.|m|<2，m=12，n=1.23. 已知向量OP=(2cosx+1,cos2xsinx+1),OQ=(cosx,1),f(x)=OPoQ.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；當(dāng)xC0,項(xiàng)時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時(shí)的x值.解析(1).OP=(2cosx+1,cos2xsinx+1),OQ=(cosx,1),f(x)=OPOQ=(2cosx+1)cosx(cos2xsinx+1)=2cos2x+cosxcos2x+sinx1=cosx+sinx=>/2sin(x+4),

20、.函數(shù)f(x)最小正周期T=2兀.-x0,3，.x+；e4，4,二當(dāng)x+4=2，即x=W,f(x)=V2sin(x+4)取到最大值艘.24. ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,向量m=(-1,1),n=(cosBcosC,3一sinBsinC2),且m±n.(1) 求A的大??；(2) 現(xiàn)在給出下列三個(gè)條件：a=1;2c(V3+1)b=0;B=45°,試從中選擇兩個(gè)條件以確定ABC，求出所確定的ABC的面積.(注：只需要選擇一種方案答題，如果用多種方案答題，則按第一方案給分).解析(1)因?yàn)閙±n,所以一cosBcosC+sinBsinC=0,m3

21、.3即cosBcosCsinBsinC=2，所以cos(B+C)=2,因?yàn)锳+B+C=兀，所以cos(B+C)=cosA,所以cosA=2,A=30.（2）方案一：選擇，可確定ABC,因?yàn)锳=30,a=1,2c(伯+1)b=0,V3+1a/3+1y3由余弦定理得，12=b2+(-2b)22b=2b-2W'6+.'2解得b=皿，所以c=2一，11廠媚+也1V3+1所以S今bc=2bcsinA=方寸222=4,方案二：選擇，可確定ABC,因?yàn)锳=30,a=1,B=45,C=105；6+y2又sin105=sin(45+60)=sin45cOs60-Fcos45sin60=4,工十a(chǎn)

22、sinC1sin105V6+匝由正弦正理c=麻=頑k=一虧，11媚+睡成V3+1所以S今bc=2acsinB=1"一22=一廠（注意：選擇不能確定三角形）（理）如圖，。方程為x2+y2=4,點(diǎn)P在圓上，點(diǎn)D在x軸上，點(diǎn)M在DP延長線上，OO交y軸于點(diǎn)N,DP/ON,且DM=3dP.求點(diǎn)M的軌跡C的方程；(2)設(shè)Fi(0,g)、F2(0,g),若過Fi的直線交(1)中曲線C于A、B兩點(diǎn)，求FAFB的取值范圍.2y0=3X0=X解析(1)設(shè)P(x0,y。)，M(x,y),3r30y=2y。.DM=2DP,x=X0X2y2代入X0+y0=4得，4+9=1.當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，顯然或旋=一4,當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)AB的方程為：y=kx+寸5,y=kx+V5由x2y2得，(9+4k2)x2+8*kx16=0,4+9=1不妨設(shè)A(X1,y),B(X2,y2),則8WkX1+X2=r9+4k2一16xg=:9+4k2FAFfe=(X1,y+V5)(X2,y2+V5)=(如kx"2*)(X2,kx2+2訴)=(1+k2)x1X2+2gk(x1+X2)+20161+k280k296k216=9+9+20=+209+4k29+4k29+4k2200=-4+9+