高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)常見習(xí)題種類及解法

1、高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)常見習(xí)題類型及解法高考試題中的三角函數(shù)題相對比較傳統(tǒng)，難度較低，位置靠前，重點(diǎn)突出。因此，在復(fù)習(xí)過程中既要注重三角知識的基礎(chǔ)性，突出三角函數(shù)的圖象、周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等性質(zhì)。以及化簡、求值和最值等重點(diǎn)內(nèi)容的復(fù)習(xí)，乂要注重三角知識的工具性，突出三角與代數(shù)、幾何、向量的綜合聯(lián)系，以及三角知識的應(yīng)用意識。一、知識整合1.熟練掌握三角變換的所有公式，理解每個(gè)公式的意義，應(yīng)用特點(diǎn)，常規(guī)使用方法等；熟悉三角變換常用的方法一一化弦法，降籍法，角的變換法等；并能應(yīng)用這些方法進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡、證明；掌握三角變換公式在三角形中應(yīng)用的特點(diǎn)，并能結(jié)合三角形的公式解決一些實(shí)際問題.

2、2.熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的性質(zhì)，并能用它研究復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)；熟練掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)圖象的形狀、特點(diǎn)，并會用五點(diǎn)畫出函數(shù)y=Asin(x+8)的圖象；理解圖象平移變換、伸縮變換的意義，并會用這兩種變換研究函數(shù)圖象的變化.二、局考考點(diǎn)分析20XX年各地高考中本部分所占分值在1722分，主要以選擇題和解答題的形式出現(xiàn)。主要考察內(nèi)容按綜合難度分，我認(rèn)為有以下幾個(gè)層次：第一層次：通過誘導(dǎo)公式和倍角公式的簡單運(yùn)用，解決有關(guān)三角函數(shù)基本性質(zhì)的問題。如判斷符號、求值、求周期、判斷奇偶性等。第二層次：三角函數(shù)公式變形中的某些常用技巧的運(yùn)用。如輔助角公式、平方公式

3、逆用、切弦互化等。第三層次：充分利用三角函數(shù)作為一種特殊函數(shù)的圖象及周期性、奇偶性、單調(diào)性、有界性等特殊性質(zhì)，解決較復(fù)雜的函數(shù)問題。如分段函數(shù)值，求復(fù)合函數(shù)值域等。、方法技巧1.三角函數(shù)包等變形的基本策略。(1)常值代換:特別是用“T的代換,如1=cos20+sin20=tanx-cotx=tan45項(xiàng)的分拆與角的配2 2CCCCCCCCCCsinx+2cosx=(sinx+cosx)+cosx=1+cosx；酉己痰角:2(3)降次與升次。(4)化弦(切)法湊。如分拆項(xiàng)：-0(+Ea=(a+6)0,0=(4)弓I入輔助角。asin9+bcos9=/a2+b2sin(9+中)，這里輔助角中所在象

4、限由a、b的符號確定，平角的值由tanP=b b確定。a2.證明三角等式的思路和方法。(1)思路：利用三角公式進(jìn)行化名，化角，改變運(yùn)算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。(2)證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學(xué)歸納法。3.證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。4.解答三角高考題的策略。(1)發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算問的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”。(2)尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。(3)合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓?，促使差異的轉(zhuǎn)化。四、例題分析例1.已知tan8=72，

5、求(1)coscos s s；(2)sin2esine.cos+2cos2 2 COST-sin的值.1(1)cose+sin=cos。_1+tan0_1+_32揚(yáng).cosusinsiH1-tann1-.2I -cos22sin-sincosn2cos2B(2)sin-sincos2cos=22sincosusin2口sin2=cos2cos=2-22_4-2一sin2一21一3.1cos說明：利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(如果不具備，通過構(gòu)造的辦法得到)切互化，就會使解題過程簡化。例2.求函數(shù)y=1+sinx+cosx+(sinx+cosx)2的值域。解:角車：設(shè)t=sinx十cosx=J2sin(

6、x+己)亡J2,J2J2,J2M M 原函數(shù)可化為4y=t2+t+1=(t+1)2+3，因?yàn)橛?也，插,所以24當(dāng)1=阪時(shí)，ymax=3+V2,當(dāng)t=-時(shí)，ymin=,24買I哭 M 功k主牛臾址呸所以，函數(shù)的值域?yàn)閥w,3+構(gòu)。4例3.已知函數(shù)f(x)=4sin2x+2sin2x-2,xR。(1)求f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及此時(shí)x的集合;(2)證明：函數(shù)f(x)的圖像關(guān)丁直線x=-己對稱。8解：f(x)=4sin2x2sin2x-2=2sinx-2(1-2sin2x)=2sinx2-2cxs=2、22xsn(2)4所以f(x)的最小正周期T=兀，因?yàn)閤亡R,所以，當(dāng)2x-=2k

7、兀十二即x=k兀+登時(shí)，f(x)最大值為2很；428TT._、-(2)證明：欲證明函數(shù)f(x)的圖像關(guān)丁直線x=-甘對稱，只要證明對任意xR,有f(一一一x)=f(-一+為成立，88因?yàn)閒(_己_x)=272sin2(_-x)_=272sin(-2x)=22cos2x,8842f(-x)=2.2sin2(-x)-=2、2sin(-2x)-2、2cos2x,8842所以f(-x)=f(-+x)成立，從而函數(shù)f(x)的圖像關(guān)丁直線x=-M對稱。888例4.已知函數(shù)y=cos2x+七3 3sinx-cosx+1(xR),22(1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；(2)該函數(shù)的圖像可由y=si

8、nx(xR)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？23 3sinx-cosx+1=l(2cos2x1)+登(2sinxcosx)444+155=(cos2x-sin蘭+sin2x-cos蘭)+#42664解：(1)y=1 1cosx+2213.=-cos2x+一sin2x+=1sin(2x+一)+5264立身以立學(xué)為先，立學(xué)以讀書為本所以y取最大值時(shí)，只需2x+；=；+2k兀，(kZ),即x=：+k兀，(kZ)。TT所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時(shí)，自變量x的集合為x|x=言+k兀,kZ(2)將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換：(i)把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移：，得到函數(shù)y=sin(x+：)的圖像；

9、(ii)把得到的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的1 1倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函2數(shù)y=sin(2x+)的圖像；61.、(iii)把得到的圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的-倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函2數(shù)y=1sin(2x+蘭)的圖像；26(iv)把得到的圖像向上平移5 5個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=1sin(2x+蘭)+的4264圖像。綜上得到y(tǒng)=1cos2x+*sinxcosx+1的圖像。說明：本題是2000年全國高考試題，屆中檔偏容易題，主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。這類題一般有兩種解法：一是化成關(guān)丁sinx,cosx的齊次式，降籍后最終化成y=Ja2+b2sin(3x)+k的形式，二是化成某一個(gè)三角函數(shù)

10、的二次三項(xiàng)式。本題(1)還可以解法如下：當(dāng)cosx=0時(shí)，y=1;當(dāng)cosx豐0時(shí)，12、3_13,_cosxsinxcosxtanxy=2廠工+1=222+1sinxcosx1tanx化簡得：2(y1)tan2xJ3tanx+2y3=0-tanxR,二=38(y1)(2y3)A0,解之得：vyv44-ymaF7 7，此時(shí)對應(yīng)自變量x的值集為x|x=k兀+蘭,kZ46例5.已知函數(shù)f(xsincos+V3cos2.333(I)將f(x)寫成Asin(x+8)的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標(biāo)；(皿)如果ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac,且邊b所對的角為x,試求x的范圍及此時(shí)函數(shù)f(x)的值

11、域.1.2x32x1.2x.32x.32x3f(x)=sin(1cos)=-smcos=sin()一232323232332立身以立學(xué)為先，立學(xué)以讀書為本JT二31.sin3.2x二、:sin()-1,2x二.3、,3.sin(一)_1，即f(x)的值域?yàn)?,1+電.2綜上所述，x(0,3f(x)值域?yàn)?3,1奇.說明：本題綜合運(yùn)用了三角函數(shù)、余弦定理、基本不等式等知識，還需要利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決函數(shù)值域的問題，有利丁培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，對知識進(jìn)行整合的能力。例6.在LJABC中，a、(1)求sinB的值；b、c分別是角A、B、C的對邊，且cosC3a-ccosBb若b=4T2，且a=c，

12、求LABC的面積解：(1)由正弦定理及竺C=M，有竺2=3sinA由cosBbcosBsinB即sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，所以sin(B+C)=3sinAcosB,乂因?yàn)锳+B+C=兀，sin(B+C)=sinA，所以sinA=3sinAcosB，因?yàn)閟inA。，所以cosB=l,乂0B兀，所以sinB=。1cos2B=之龍。33在UABC中，由余弦定理可得a2+c2-2ac=32,乂a=c,所以有4a2=32,即a2=24，所以UABC的面積為3S=【acsinB=a2sinB=8血。22一 T 一、(I)由sin(竺+邕=0即竺+蘭=k;r(kwz)得x=七兀

13、kwz33332即對稱中心的橫坐標(biāo)為七1兀,k亡z2(U)由已知b2=aca2c2-b2a2c2-ac2ac-ac1cosx=2ac2ac2ac2:2x二5:+33391.一-cosx:1,2Tb3)TX立身以立學(xué)為先，立學(xué)以讀書為本(1)求函數(shù)k=f(t)的表達(dá)式;(2)若t1,3,求f(t)的最大值與最小值。解：(1)a=4,b=1,ab=0，乂xy=0,所以：,了=；+仕23)b!(k?十疽=kM2+仕2_3)；2十t_02_3)*：=0,1c31c3所以k=t一一t,即k=f(t)=t一一t;4444求cos(a8)的值;一一兀兀一一一(2)右0劣，一虧80，且sin8=解：(1)因?yàn)閍=(cos%sin認(rèn)b=(cos&sing),所以ab=(cosa-cos6,sina-sin隊(duì)一一、，4-2.5o52.5乂因?yàn)閨a-b|=，所以J(cosa-cos國+(sina-sin8)=,554543即2-2cos(0C-8)=一，cos(0C-國=;55一，求sina的值。立身以立學(xué)為先，立學(xué)以讀書為本一348)=,所以sin(a-8)=,55sinp=，所以cosp=，所以sina=sln(a8)+印例9.平面直角坐標(biāo)系有點(diǎn)P(1,cosx),Q(cosx,1),x亡一二邕44(1)求向量OP和OQ的火角a的余弦用x表示