第二章 列車運行的基本數(shù)學(xué)模型

1、第二章 列車運行的基本數(shù)學(xué)模型2.1 空氣波傳播的定性分析 在重載列車長大下坡周期性制動策略研究中，首先需要解決的難點就是長大下坡速度控制問題。由于重力的作用，列車會在長大下坡不斷加速，為了保證列車的安全行駛必須施以足夠的制動力。在此過程中，如果一直使用空氣制動，長時間制動將使閘瓦過熱，其次，由于制動缸漏泄制動力會不斷衰減。所以重載列車長大下坡時必須間斷使用空氣制動，并且掌握好制動與緩解時機。由于列車管系中氣體是不規(guī)則變化的，即無法直接預(yù)測整個列車管系中各部分壓強的壓強變化，在此將通過氣體流動理論計算制動特性來可避免各種假定壓強帶來的計算不正確。當(dāng)速度過高時采取制動措施可能會出現(xiàn)運行速度超過限

2、速；速度過低開始制動一方面可能運行速度低，線路通過能力沒有完全發(fā)揮，另一方面可能出現(xiàn)因為緩解時間過短副風(fēng)缸沒有充風(fēng)完畢，會出現(xiàn)制動力不足問題。而緩解時，如果速度過高開始緩解，則可能出現(xiàn)需要制動時副風(fēng)缸還沒有充滿，此時制動，制動缸將沒有足夠的制動力，列車可能會出現(xiàn)失控的危險；如果速度過低開始緩解，則通過線路的速度過低。2.1.1空氣制動系統(tǒng)描述首先對空氣制動系統(tǒng)的機械結(jié)構(gòu)和控制過程中的三個過程的認(rèn)知理解，我們將列車制動機械結(jié)構(gòu)簡化抽象，在此基礎(chǔ)上對降壓制動、充風(fēng)緩解和控制保壓三個過程進(jìn)行研究。圖1 空氣制動系統(tǒng)示意圖2.1.1.1制動單元車輛制動單元包括以上多個機械和空氣組成部件,由于車輛類型和

3、用途的不同,其具體的組成部件也會有所區(qū)別,但是大多數(shù)車輛制動單元的基本部件是一致的,在此我們主要簡化研究控制閥（120三通閥）、副風(fēng)缸和制動缸之間氣壓變化機理。圖2 空氣制動單元示意圖2.1.1.2制動位列車運行中準(zhǔn)備進(jìn)站停車或者減速時,通常是施行常用制動。司機施行常用制動減壓后,因副風(fēng)缸壓力空氣來不及通過滑閥和滑閥座向列車管逆流,于是在主活塞兩側(cè)產(chǎn)生了一定的壓力差,此壓力差產(chǎn)生的向上作用力克服了節(jié)制閥與滑閥背面間的摩擦阻力、橡膠膜板的變形阻力和壓縮穩(wěn)定彈簧的阻力以及主活塞重力等向下作用力的總和,使主活塞先帶動節(jié)制閥上移,然后再帶動滑閥上移,此時,由于120閥的動作,阻止了制動管的空氣流向副風(fēng)

4、缸,同時緊急閥上的放風(fēng)閥也被阻塞?？諝庵荒軓母憋L(fēng)缸流向制動社,推動活塞向左邊運動,然后通過基礎(chǔ)制動裝置作用到車輪上,如圖3所示。（該過程在常用制動和緊急制動時都會發(fā)生,它們的區(qū)別就在于常用制動時,列車管的空氣即不向車輛制動單元流動也不排向大氣,但是緊急制動時,120閥除了有上述動作,還會通過緊急放風(fēng)閥將列車管中的空氣直接排向大氣。換言之,緊急制動過程中,120閥通過緊急放風(fēng)閥的動作,會大大加快列車管的放風(fēng)動作。）圖3 制動位示意圖2.1.1.3緩解位列車管經(jīng)過減壓,使列車進(jìn)行制動后,當(dāng)再次向列車管充氣時,由于列車管壓力持續(xù)增加,破壞了主活塞兩側(cè)在制動保壓的壓力平衡狀態(tài),當(dāng)主活塞兩側(cè)的壓力差產(chǎn)生

5、的向下作用力與主活塞重力之和,超過了滑閥與滑閥座間的摩擦阻力時,主活塞便帶著滑閥一起下移至充氣及緩解位。此時,副風(fēng)缸得到充氣,副風(fēng)缸持續(xù)充氣直到壓力跟列車管壓力一致。一旦副風(fēng)缸充滿了,就可以進(jìn)行第二次制動操作了?；y的這次動作同時將副風(fēng)缸和制動缸的通路阻斷,而且制動缸排氣孔打幵向外排氣。如圖4所示。此時,制動缸內(nèi)被壓縮的緩解彈黃要恢復(fù)原狀,其復(fù)原力將活塞推回,鬧瓦也就與車輪分離了。一旦整列車的副風(fēng)缸完成充氣,列車管停止供氣。圖4 緩解位示意圖2.1.1.4保壓位實施了常用制動后,當(dāng)壓力表顯示達(dá)到所要求的列車管減壓量時,將司機制動手把移到保壓位,使列車管停止繼續(xù)減壓,制動保壓狀態(tài)被激活,此時滑閥

6、處于中間位置。因為副風(fēng)缸持續(xù)向制動缸供氣,副風(fēng)缸的壓力逐漸減小直到跟列車管壓力一致,此時滑閥移到保壓位如圖5所示。三通閥在該位置時,切斷了所有列車管、副風(fēng)缸和制動缸之間的通路,而且本身還處于制動模式,制動的排氣孔也是關(guān)閉的,因此,制動缸壓力保持恒定,達(dá)到了一個持續(xù)的制動狀態(tài)。圖5 保壓位示意圖2.2 長大列車空氣管系二維充氣特性模型及算法長大列車空氣管系二維充氣特性模型應(yīng)用了現(xiàn)代計算流體動力學(xué)數(shù)值方法，從理論上論證了二維模型的合理性及其處理支管的有效性，即它沒有使用類似一維模型引進(jìn)經(jīng)驗公式幫助求解，并提出了一種改進(jìn)的算子分裂算法求解壓力速度耦合方程。在該論文的結(jié)尾處，論文編寫者將計算結(jié)果和國內(nèi)

7、外長大列車充氣特性的有關(guān)試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行對比分析，驗證了所提出的理論和算法的正確性。研究了列車編組輛數(shù)、管系組成、管系泄漏以及支管長度和直徑大小等因素對列車管充氣壓力的影響。2.2.1二維數(shù)學(xué)模型的建立一般說來，鐵道列車空氣制動系統(tǒng)可分為兩個子系統(tǒng)，即列車制動系統(tǒng)和車輛制動系統(tǒng)。其中列車制動系統(tǒng)包括安裝在機車上的司機制動閥和沿列車長度方向的列車管系。為能有效地數(shù)值模擬充氣過程，假設(shè)每節(jié)車輛的列車管僅由一根主管和一根支管組成，只需要通過調(diào)整管內(nèi)壁的摩擦系數(shù)來等效模擬彎管，軟管和折角塞門對列車管內(nèi)空氣流動狀態(tài)的影響。列車管簡化示意圖如下圖：圖6 列車管簡化示意圖管內(nèi)氣體隨時間變化十分劇烈，是典型的非定

8、常流動。在假定管壁是剛性的，主管無逆流，并不計空氣重力的條件下，二維模型的控制方程可由以下狀態(tài)方程，連續(xù)性方程和動量方程組成。上式中，分別表示梯度算子和散度算子，在本模型中可以表示為：上述方程分別為密度、壓力、時間、泄漏量和速度。假定管內(nèi)空氣為滿足相同狀態(tài)方程的理想氣體，則,分別為氣體常數(shù)和絕地溫度；為多變過程指數(shù)；，為管壁摩擦系數(shù)與等效阻尼系數(shù)的乘積，。2.2.2二維數(shù)學(xué)合理性論證在實際生活中，列車管的空氣流動模型應(yīng)當(dāng)是一個三維模型，其軸向幾何尺寸比徑向尺寸大得多，可以假定在主管的橫截面上的壓力場和速度場相等，將二維模型看成三維方形橫截面模型的縱截面模型。首先所在圓柱型的控制容積上進(jìn)行積分，

9、再利用散度定理將部分體積分轉(zhuǎn)化為面積分后可得：由于控制容積的長度相同，控制容積所導(dǎo)致的誤差由橫截面的面積差決定，示意圖如下：圖7 列車管橫截面改變示意圖表示主管直徑，由兩個橫截面的周長相等可以得到，計算可得兩個橫截面積之差為。表示支管的接口寬度，類似的我們可以將支管的圓形橫截面等效成方形橫截面，在保證寬度一致的條件下修正支管直徑為：在該論文中取定2.2.3基于算子分裂法的改進(jìn)算法該論文所使用的改進(jìn)算法與傳統(tǒng)算子分裂法的不同之處是將壓力與速度耦合的雙曲型方程變換成關(guān)于壓力的拋物型方程，保證了算法的穩(wěn)定性和強健性。改進(jìn)的算法中假定了相變指數(shù)在每個時間步壓力場和速度場的求解分兩步進(jìn)行，但不需要進(jìn)行交

10、替迭代。第一步：假定密度和質(zhì)量流已知，并不考慮壓力算子，求解速度場如下：第二步：求解新的壓力和速度場，不考慮對流和速度場的源項：考慮了泄露的連續(xù)性方程：動量方程： 對動量方程向后歐拉差分離散得到：再將差分處理前后的兩個方程進(jìn)行代入整理可得：計算過程中先使用此方程求解壓力，在利用初始狀態(tài)方程修正密度，最后使用差分處理之后的方程修正質(zhì)量流和速度。2.2.4基于有限體積法的離散方程求解方程上述方程時，首先需要對其進(jìn)行離散，包括時間離散和空間離散，因此該論文選擇有限體積法，因為有限體積法推廣到任意非規(guī)則的區(qū)域時比其他幾種方法更容易。此處不再對過程進(jìn)行贅述，僅給出有用的信息與結(jié)論。列車管初始端的壓力可由

11、試驗數(shù)據(jù)按如下的指數(shù)函數(shù)形式擬合得到：本文利用初始端壓力給定，列車管終端的速度為，0并在初始端壓力控制容積上對連續(xù)性方程積分可得：由于計算能力和相應(yīng)數(shù)據(jù)的欠缺，我們暫時無法做出相應(yīng)的仿真數(shù)據(jù)和圖像。因此我們暫時先對論文結(jié)果進(jìn)行分析。2.3現(xiàn)有論文結(jié)果1、隨著泄漏量的增加，列車管的增壓速度減慢，而且沿列車管長度方向離入口處越遠(yuǎn)的車輛其增壓速度減慢得越多。圖8 泄漏量不同時的充氣特性曲線2、隨主管長度增加，主管增壓速度變慢，在同樣充氣時間下，充氣壓力隨編組輛數(shù)的增加而減少。圖9 編組不同時的充氣特性曲線3、管內(nèi)壁的粗糙度對充氣特性的影響較大，隨管內(nèi)壁摩擦系數(shù)的增大，主管的增壓速度變慢。圖10 管壁

12、粗糙度不同時的充氣特性曲線4、越長或支管的直徑越大，充氣時間會有所延長，但它們的影響不是很大。圖11 支管長度和直徑不同時的充氣特性曲線2.2 牽引計算系統(tǒng)模型根據(jù)牽引計算采用的列車模型,一般分為兩類:一類是單質(zhì)點模型,另一類是多質(zhì)點模型。兩者的區(qū)別在于,單質(zhì)點把整列車看成一個沒有尺寸、大小的質(zhì)點,所有的受力都作用在一個點上，這樣的好處在于受力分析比較簡單,牽引計算容易實現(xiàn)。牽規(guī)就是以單質(zhì)點模型為編寫依據(jù)的，而多質(zhì)點模型把整列車看成一條有長度的質(zhì)點鏈,由于有了長度,一所以每個機車和車廂的受力情況不是時刻處于同一線路段中,由于位置的不同,各個機車和車廂的受力情況也不同,所以進(jìn)行受力分析就更復(fù)雜。

13、與單質(zhì)點相比,多質(zhì)點模型描述的牽引情況更接近實際,在有計算機輔助的情況下,越來越被人們采用。單質(zhì)點模型傳統(tǒng)牽引計算模型采用單質(zhì)點列車模型,將列車簡化為單個無尺寸的質(zhì)點,考慮列車的受力變化時,將列車的受力變化放到質(zhì)點上進(jìn)行計算,而不考慮列車內(nèi)部車輛與車輛之間的受力情況。單質(zhì)點的列車模型如圖所示:列車單質(zhì)點模型 列車受到外力全部作用在質(zhì)點上,主要包括:牽引力基本阻力由于曲線和坡道等產(chǎn)生的附加阻力制動力列車自身的重力mg以及線路對列車的支持力N等。牽引計算中,前四種力是影響列車運行的基本力,由他們矢量疊加產(chǎn)生的合力,即列車的合力是推動列車運動狀態(tài)不斷變化的根源。列車的重力的一部分構(gòu)成了坡道附加阻力,

14、另一部分通過輪軌之間的形變轉(zhuǎn)化為列車的基本阻力,而線路支持力則與列車重力以及列車運行時的豎向沖擊力構(gòu)成一對力的平衡,使列車在水平面上運動的同時,在豎直方向上,以很小的幅度震動。列車豎向的力量變化不是單質(zhì)點牽引計算的研究范圍,但列車的重力仍然是驗證牽引重量的必要參數(shù),這是牽引計算的目標(biāo)之一。 單質(zhì)點模型以手工計算的分析算法為基礎(chǔ)進(jìn)行構(gòu)造,將列車簡化成一個剛性質(zhì)點,受力分析計算簡便,編程實現(xiàn)比較容易,相比手工計算,無論從精度還是速度都要好得多。但是,單質(zhì)點的牽引電算模型也有其固有的缺點,首先,由于忽略了列車長度,也不考慮列車車輛與車輛之間的相互作用力,當(dāng)列車跨越換坡點或變曲率點,列車受力時瞬間變化

15、，這種簡化較大偏離了列車實體屬性,不能正確反映出列車間的縱向力(如車鉤力)的變化,其次,當(dāng)列車經(jīng)過變坡點或變曲率點時,模型計算的受力分析與實際差距較大,成為計算誤差的重要原因。第三,中間過程描述不夠準(zhǔn)確,將列車中間運行過程假設(shè)為勻速運動形式,這與列車車輛實際的調(diào)速和運行情況不盡相符。另外,即使將中間過程描述為牽引、惰行兩種工況交替的情況,由于固定了工況轉(zhuǎn)換條件,對實際的描述仍然欠佳。最后，工況之間的轉(zhuǎn)換沒有時間間隔。在實際的列車運行過程中,牽引工況轉(zhuǎn)換到制動工況以前,需要先惰行一段時間,制動工況轉(zhuǎn)牽引工況亦然。這一方面是由制動缸沖壓時間限制,另一方面是考慮司機操作的滯后性。多質(zhì)點模型 多質(zhì)點模

16、型對列車的建模比單質(zhì)點模型更復(fù)雜,通常將列車的每一個車廂簡化成一個質(zhì)點,構(gòu)成質(zhì)點鏈,能夠反映出列車編組對受力和牽引運行的影響,并對列車長度有所反映。多質(zhì)點列車模型如下圖所示。多質(zhì)點的牽引計算仍然以分析法為計算基礎(chǔ),但是可以單獨計算車輛間的縱向力(車鉤力),并在列車經(jīng)過變坡點和變曲率點時使其受力變化成漸進(jìn)過程。因此多質(zhì)點相比單質(zhì)點的牽引計算模型更能反映列車受力和運行情況,解算更為精確。列車多質(zhì)點模型 采用該模型進(jìn)行列車牽引計算具有以下的幾個優(yōu)點:l)可以按實際列車的編組情況進(jìn)行逐輛編組的詳細(xì)計算,包括對不同車型!制動機和緩沖裝置，空中車輛的混編均可模擬。2)對線路斷面包括坡道和曲線均可精確模擬,而不需要簡化計算;可考慮多個變量函數(shù)并進(jìn)行實時模擬,如對制動機!緩沖裝置的性