家家學(xué)網(wǎng)絡(luò)名師小班輔導(dǎo)教案-全等三角形與旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

1、2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 1 of 31第四講第四講全等三角形與旋全等三角形與旋轉(zhuǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)問(wèn)題中考要求考試要求考試要求板塊板塊A A 級(jí)要求級(jí)要求B B 級(jí)要求級(jí)要求C C 級(jí)要求級(jí)要求全等三角形全等三角形的性質(zhì)及判的性質(zhì)及判定定會(huì)識(shí)別全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性質(zhì)，會(huì)用全等三角形的性質(zhì)和判定解決簡(jiǎn)單問(wèn)題會(huì)運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定解決有關(guān)問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)睛基本知識(shí)把圖形繞平面上的一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，得到圖形，這樣的由圖形到變換叫做旋轉(zhuǎn)變換，GOGGG點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，叫做旋轉(zhuǎn)角，叫做的象；叫做的原象，無(wú)論是什么圖形，在旋轉(zhuǎn)變換下，OGGGG象與原象是全

2、等形很明顯，旋轉(zhuǎn)變換具有以下基本性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變換的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)直線的交角等于旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)變換多用在等腰三角形、正三角形、正方形等較規(guī)則的圖形上，其功能還是把分散的條件盯對(duì)集中，以便于諸條件的綜合與推演2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 2 of 31重、難點(diǎn)重點(diǎn)：重點(diǎn)：本節(jié)的重點(diǎn)是全等三角形的概念和性質(zhì)以及判定，全等三角形的性質(zhì)是以后證明三角形問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是學(xué)好全章的關(guān)鍵。同時(shí)全等三角形的判定也是本章的重點(diǎn)，特別是幾種判定方法，尤其是當(dāng)在直角三角形中時(shí)，HL的判定是整個(gè)直角三角形的重點(diǎn)難點(diǎn)：難點(diǎn)：本節(jié)的難點(diǎn)是全等三角形性質(zhì)和判定定理的靈活應(yīng)用。為了能

3、熟練的應(yīng)用性質(zhì)定理及其推論，要把性質(zhì)定理和推論的條件和結(jié)論弄清楚，哪幾個(gè)是條件，決定哪個(gè)結(jié)論，如何用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，即書(shū)寫(xiě)格式，都要在講練中反復(fù)強(qiáng)化例題精講【例例 1】 如圖，有四個(gè)圖案，它們繞中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后，都能和原來(lái)的圖案相互重合，其中有一個(gè)圖案如圖，有四個(gè)圖案，它們繞中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后，都能和原來(lái)的圖案相互重合，其中有一個(gè)圖案與其余三個(gè)圖案旋轉(zhuǎn)的角度不同，它是與其余三個(gè)圖案旋轉(zhuǎn)的角度不同，它是( )【例例 2】 如圖，同學(xué)們?cè)孢^(guò)萬(wàn)花筒，它是由三塊等寬等長(zhǎng)的玻璃片圍成的，其中菱形如圖，同學(xué)們?cè)孢^(guò)萬(wàn)花筒，它是由三塊等寬等長(zhǎng)的玻璃片圍成的，其中菱形 AEFG 可以看成是把可以看成是把

4、菱形菱形 ABCD 以以 A 為中心為中心( )A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到得到 B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120得到得到C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到得到 D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120得到得到GFEDCBA2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 3 of 31【例例 3】 如圖，如圖，C 是線段是線段 BD 上一點(diǎn)，分別以上一點(diǎn)，分別以 BC、CD 為邊在為邊在 BD 同側(cè)作等邊同側(cè)作等邊ABC 和等邊和等邊CDE,AD 交交CE 于于 F，BE 交交 AC 于于 G，則圖中可通過(guò)旋轉(zhuǎn)而相互得到的三角形對(duì)數(shù)有，則圖中可通過(guò)旋轉(zhuǎn)而相互得到的三角形對(duì)數(shù)有( )A1 對(duì)

5、對(duì) B2 對(duì)對(duì) C3 對(duì)對(duì) D4 對(duì)對(duì)KGFEDCBA【例例 4】 已知：如圖，點(diǎn)已知：如圖，點(diǎn)為線段為線段上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，、是等邊三角形求證：是等邊三角形求證：CABACMCBNANBMMDNECBFA【例例 5】 如圖，如圖，三點(diǎn)共線，且三點(diǎn)共線，且與與是等邊三角形，連結(jié)是等邊三角形，連結(jié)，分別交分別交，于于BCEABCDCEBDAEACDC，點(diǎn)求證：點(diǎn)求證：MNCMCNNMEDCBA【補(bǔ)充補(bǔ)充】已知：如圖，點(diǎn)已知：如圖，點(diǎn)為線段為線段上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，、是等邊三角形求證：是等邊三角形求證：平分平分CABACMCBNCFAFBMDNECBFA 2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生

6、版 page 4 of 31【補(bǔ)充補(bǔ)充】如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)為線段為線段上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，、是等邊三角形是等邊三角形CABACMCBN請(qǐng)你證明：請(qǐng)你證明：；ANBM；DEAB平分平分CFAFBMDNECBFA【例例 6】 ( (2008 年懷化市初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試試卷年懷化市初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試試卷) )如圖，四邊形如圖，四邊形、都是正方形，連接都是正方形，連接、ABCDDEFGAE求證：求證：CGAECGGFEDCBA【例例 7】 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)為線段為線段上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，、是等邊三角形，是等邊三角形，是是中點(diǎn)，中點(diǎn)，是是中點(diǎn)，求中點(diǎn)，求CABACMCBNDANEBM證：證：是等邊三角形是等邊三角形C

7、DEMDNECBA2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 5 of 31【補(bǔ)充補(bǔ)充】(】(年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽海南區(qū)初賽年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽海南區(qū)初賽) )如下圖，在線段如下圖，在線段同側(cè)作兩個(gè)等邊三角形同側(cè)作兩個(gè)等邊三角形和和2008AEABC( () )，點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)與點(diǎn)分別是線段分別是線段和和的中點(diǎn)，則的中點(diǎn)，則是是( ( ) )CDE120ACEPMBEADCPMPMBCDEAA鈍角三角形鈍角三角形 B直角三角形直角三角形C等邊三角形等邊三角形 D非等腰三角形非等腰三角形【例例 8】 如圖，等邊三角形如圖，等邊三角形與等邊與等邊共頂點(diǎn)于共頂點(diǎn)于點(diǎn)求證：點(diǎn)求證：ABCDE

8、CCAEBDDECBA【例例 9】 如圖，如圖，是等邊是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，且內(nèi)的一點(diǎn)，且，問(wèn)，問(wèn)的度數(shù)是否的度數(shù)是否DABCBDADBPABDBPDBC BPD一定，若一定，求它的度數(shù)；若不一定，說(shuō)明理由一定，若一定，求它的度數(shù)；若不一定，說(shuō)明理由PDCBA 【例例 10】( (2005 年四川省中考題年四川省中考題) )如圖，等腰直角三角形如圖，等腰直角三角形中，中，為為中點(diǎn)，中點(diǎn)，ABC90B ABaOAC求證：求證：為定值為定值EOOFBEBFOBECFA 2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 6 of 31【補(bǔ)充補(bǔ)充】如圖，正方形如圖，正方形繞正方形繞正方形中點(diǎn)中點(diǎn)

9、旋轉(zhuǎn)，其交點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)，其交點(diǎn)為、，求證：，求證：OGHKABCDOEFAECFAB54321OHBEDKGCFA【例例 11】( (2004 河北河北) )如圖，已知點(diǎn)如圖，已知點(diǎn)是正方形是正方形的邊的邊上一點(diǎn)，點(diǎn)上一點(diǎn)，點(diǎn)是是的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且EABCDCDFCB 求證：求證：EAAFDEBFFEDCBA【補(bǔ)充補(bǔ)充】如圖所示，在四邊形如圖所示，在四邊形中，中，于于，若四邊形，若四邊形ABCD90ADCABC ADCDDPABP 的面積是的面積是 16，求，求的長(zhǎng)的長(zhǎng)ABCDDPPDCBA【例例 12】、分別是正方形分別是正方形的邊的邊、上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且，為垂足，為垂足，E

10、FABCDBCCD45EAF AHEFH求證：求證：AHABCHFEDBA 2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 7 of 31【例例 13】( (1997 年安徽省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題年安徽省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) )在等腰在等腰的斜邊的斜邊上取兩點(diǎn)上取兩點(diǎn)、，使，使，Rt ABCABMN45MCN記記，則以，則以、為邊長(zhǎng)的三角形的形狀是為邊長(zhǎng)的三角形的形狀是( ( ) )AMmMNxBNnxmn A銳角三角形銳角三角形 B直角三角形直角三角形C鈍角三角形鈍角三角形 D隨隨、的變化而變化的變化而變化xmnMNCBA 【鞏固鞏固】如圖，正方形如圖，正方形的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為 ，點(diǎn)，點(diǎn)在

11、線段在線段上運(yùn)動(dòng)，上運(yùn)動(dòng)，平分平分交交邊于點(diǎn)邊于點(diǎn)ABCD1FCDAEBAFBCE求證：求證：AFDFBE設(shè)設(shè)( () )，與與的面積和的面積和是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)的值的值DFx01xADFABESx及及若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由SFEDCBA【例例 14】( (通州區(qū)通州區(qū) 2009 一模第一模第 25 題題) )請(qǐng)閱讀下列材料：請(qǐng)閱讀下列材料：已知：如圖已知：如圖 1 在在中，中，點(diǎn)，點(diǎn)、分別為線段分別為線段上兩動(dòng)點(diǎn)，若上兩動(dòng)點(diǎn)，若Rt ABC90BACABACDEBC探究線段探究線段、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系三條線段之間的數(shù)量關(guān)系4

12、5DAEBDDEEC小明的思路是：把小明的思路是：把繞點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，得到，連結(jié)，連結(jié)，AECA90ABEE D使問(wèn)題得到解決請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問(wèn)題：使問(wèn)題得到解決請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問(wèn)題： 猜想猜想、三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對(duì)你的猜想給予證明；三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對(duì)你的猜想給予證明； BDDEEC 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段在線段上，動(dòng)點(diǎn)上，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在線段運(yùn)動(dòng)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖 2，其它條件不變，其它條件不變，中探究中探究EBCDCB的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予

13、證明圖 1ABCDE 圖 2ABCDE2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 8 of 31【例例 15】( (北京市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，天津市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題北京市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，天津市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題) ) 如圖所示，如圖所示，是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為 的正三角形，的正三角形，ABC1是頂角為是頂角為的等腰三角形，以的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)為頂點(diǎn)作一個(gè)的的，點(diǎn)，點(diǎn)、分別在分別在、BDC120D60MDNMNAB上，求上，求的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)ACAMNNMDCBA 【例例 16】在等邊在等邊的兩邊的兩邊 AB，AC 所在直線上分別有兩點(diǎn)所在直線上分別有兩點(diǎn) M，N，D 為為外一點(diǎn)，且外一點(diǎn)，且A

14、BCABC，探究：當(dāng)點(diǎn)，探究：當(dāng)點(diǎn) M，N 分別愛(ài)直線分別愛(ài)直線 AB，AC 上移動(dòng)時(shí)，上移動(dòng)時(shí)，60MDN120BDCBDCDBM，NC，MN 之間的數(shù)量關(guān)系及之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)與等邊的周長(zhǎng)與等邊的周長(zhǎng)的周長(zhǎng) L 的關(guān)系的關(guān)系A(chǔ)MNABC如圖如圖，當(dāng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) M，N 在邊在邊 AB，AC 上，且上，且 DM=DN 時(shí)，時(shí)，BM，NC，MN 之間的數(shù)量關(guān)系式之間的數(shù)量關(guān)系式_；此時(shí)；此時(shí)=_QL如圖如圖，當(dāng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) M，N 在邊在邊 AB，AC 上，且上，且時(shí)，猜想時(shí)，猜想( (1) )問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出DNDM 你的猜想并加以證明；你的猜想并加以證明；如

15、圖如圖，當(dāng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) M，N 分別在邊分別在邊 AB，CA 的延長(zhǎng)線上時(shí)，若的延長(zhǎng)線上時(shí)，若 AN=x，則，則 Q=_( (用用 x，L 表示表示) )2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 9 of 31【補(bǔ)充補(bǔ)充】( (1) )如圖，在四邊形如圖，在四邊形 ABCD 中，中，ABAD，BD，E、F 分別是邊分別是邊 BC、CD 上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且90EAF=BAD求證：求證：EFBEFD;12FEDCBA( (2) ) 如圖如圖，在四邊形在四邊形 ABCD 中，中，ABAD，B+D，E、F 分別是邊分別是邊 BC、CD 上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且180EAF=BAD， (

16、(1) )中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明 12FEDCBA【例例 17】平面上三個(gè)正三角形平面上三個(gè)正三角形，兩兩共只有一個(gè)頂點(diǎn)，求證：兩兩共只有一個(gè)頂點(diǎn)，求證：與與平分平分ACFABDBCEEFCDFEDCBA2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 10 of 31【例例 18】已知：如圖，已知：如圖，、都是等邊三角形，且都是等邊三角形，且、共線，共線，求求ABCCDEEHKADKADDK證：證：也是等邊三角形也是等邊三角形HBDEKHCDBA【例例 19】( (1997 年安徽省競(jìng)賽題年安徽省競(jìng)賽題) )如圖，在如圖，在外面作正方形外面作

17、正方形與與，為為的的ABCABEFACGHADABC高，其反向延長(zhǎng)線交高，其反向延長(zhǎng)線交于于，求證：，求證：( (1) );(;(2) )FHMCFBH MHMF GHFMEDCBA【補(bǔ)充補(bǔ)充】以以ABC 的兩邊的兩邊 AB、AC 為邊向外作正方形為邊向外作正方形 ABDE、ACFG，求證：，求證：CE=BG，且，且 CEBG OGFEDCBA2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 11 of 31【例例 20】( (北京市初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題北京市初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題) ) 如圖所示，在五邊形如圖所示，在五邊形中，中，ABCDE90BE ，求此五邊形的面積，求此五邊形的面積AB

18、CDAE1BCDEEDCBA 【例例 21】 ( (希望杯全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初二第二試試題希望杯全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初二第二試試題) ) 在在五邊形五邊形中，已知中，已知，ABCDEABAE，連接，連接求證：求證：平分平分BCDECD180ABCAED ADADCDEEDCBA 家庭作業(yè)【習(xí)題習(xí)題 1】如圖，已知如圖，已知和和都是等邊三角形，都是等邊三角形，、在一條直線上，試說(shuō)明在一條直線上，試說(shuō)明與與ABCADEBCDCE相等的理由相等的理由ACCD2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 12 of 31EDCBA【習(xí)題習(xí)題 2】( (湖北省黃岡市湖北省黃岡市 2008 年初中畢

19、業(yè)生升學(xué)考試年初中畢業(yè)生升學(xué)考試) )已知：如圖，點(diǎn)已知：如圖，點(diǎn)是正方形是正方形的邊的邊上任意一上任意一EABCDAB點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作作交交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)求證：求證：DDFDEBCFDEDFFEDCBA【習(xí)題習(xí)題 3】( (2008 山東山東) )在梯形在梯形中，中，是是中點(diǎn)，中點(diǎn)，ABCDABCD90A 2AB 3BC 1CD EAD試判斷試判斷與與的位置關(guān)系，并寫(xiě)出推理過(guò)程的位置關(guān)系，并寫(xiě)出推理過(guò)程ECEBABCDE 【習(xí)題習(xí)題 4】已知：如圖，點(diǎn)已知：如圖，點(diǎn)為線段為線段上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，、是等邊三角形是等邊三角形、分別是分別是、CABACMCBNCGCHACN 的高求證：的

20、高求證：MCBCGCH2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 13 of 31HGNMCBA月測(cè)備選【備選備選 1】在等腰直角在等腰直角中，中，是是的中點(diǎn)，點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)從從出發(fā)向出發(fā)向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)，ABC90ACBACBCMABPBC 交交于點(diǎn)于點(diǎn)，試說(shuō)明，試說(shuō)明的形狀和面積將如何變化的形狀和面積將如何變化MQMPACQMPQAPMCQB 【備選備選 2】如圖，正方形如圖，正方形中，中，求證：求證：ABCDFADFAE BEDFAEFEDCBA 【備選備選 3】等邊等邊和等邊和等邊的邊長(zhǎng)均為的邊長(zhǎng)均為 1，是是上異于上異于的任意一點(diǎn)，的任意一點(diǎn)，是是上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，ABDC

21、BDEBEADAD、FCD滿足滿足，當(dāng)，當(dāng)移動(dòng)時(shí)，試判斷移動(dòng)時(shí)，試判斷的形狀的形狀1AECFEF、BEF2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 14 of 31D FECBA例題精講【例例 22】如圖，有四個(gè)圖案，它們繞中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后，都能和原來(lái)的圖案相互重合，其中有一個(gè)如圖，有四個(gè)圖案，它們繞中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后，都能和原來(lái)的圖案相互重合，其中有一個(gè)圖案與其余三個(gè)圖案旋轉(zhuǎn)的角度不同，它是圖案與其余三個(gè)圖案旋轉(zhuǎn)的角度不同，它是( )【解析解析】A【例例 23】如圖，同學(xué)們?cè)孢^(guò)萬(wàn)花筒，它是由三塊等寬等長(zhǎng)的玻璃片圍成的，其中菱形如圖，同學(xué)們?cè)孢^(guò)萬(wàn)花筒，它是由三塊等寬

22、等長(zhǎng)的玻璃片圍成的，其中菱形 AEFG 可以看成可以看成是把菱形是把菱形 ABCD 以以 A 為中心為中心( )A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到得到 B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120得到得到C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到得到 D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120得到得到GFEDCBA【解析解析】D【例例 24】如圖，如圖，C 是線段是線段 BD 上一點(diǎn)，分別以上一點(diǎn)，分別以 BC、CD 為邊在為邊在 BD 同側(cè)作等邊同側(cè)作等邊ABC 和等邊和等邊CDE,AD2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 15 of 31交交 CE 于于 F，BE 交交 AC 于于 G，則圖中可通過(guò)旋轉(zhuǎn)

23、而相互得到的三角形對(duì)數(shù)有，則圖中可通過(guò)旋轉(zhuǎn)而相互得到的三角形對(duì)數(shù)有( )A1 對(duì)對(duì) B2 對(duì)對(duì) C3 對(duì)對(duì) D4 對(duì)對(duì)KGFEDCBA【解析解析】C【例例 25】已知：如圖，點(diǎn)已知：如圖，點(diǎn)為線段為線段上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，、是等邊三角形求證：是等邊三角形求證：CABACMCBNANBMMDNECBFA【解析解析】、是等邊三角形，ACMCBN，MCACCNCBACNMCB ，ACNMCBANBM【點(diǎn)評(píng)】此題放在例題之前回憶，此題是旋轉(zhuǎn)中的基本圖形【例例 26】如圖，如圖，三點(diǎn)共線，且三點(diǎn)共線，且與與是等邊三角形，連結(jié)是等邊三角形，連結(jié)，分別交分別交，BCEABCDCEBDAEAC于于，點(diǎn)求證：點(diǎn)求證

24、：DCMNCMCNNMEDCBA【解析解析】與都是等邊三角形ABCDCE，及BCACCDCE60ACBDCE ，三點(diǎn)共線BCE，180BCDDCE 180BCAACE 120BCDACE 在與中BCDACE ，BCACBCDACEDCEC BCDACECANCBM ，120BCDACE 60BCMNCE 2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 16 of 3160ACD在與中BCMACN ，60BCACBCMACNCBMCAN BCMACNCMCN【補(bǔ)充補(bǔ)充】已知：如圖，點(diǎn)已知：如圖，點(diǎn)為線段為線段上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，、是等邊三角形求證：是等邊三角形求證：平分平分CABACM

25、CBNCFAFBMDNECBFA GMH DNECBFA【解析解析】過(guò)點(diǎn)作于，于，由，CCGANGCHBMHACNMCB利用進(jìn)而再證，可得到，故平分AASBCHNCDCGCHCFAFB【補(bǔ)充補(bǔ)充】如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)為線段為線段上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，、是等邊三角形是等邊三角形CABACMCBN請(qǐng)你證明：請(qǐng)你證明：；ANBM；DEAB平分平分CFAFBMDNECBFA【解析解析】此圖是旋轉(zhuǎn)中的基本圖形其中蘊(yùn)含了許多等量關(guān)系與三角形各內(nèi)角相等，60MCN及平行線所形成的內(nèi)錯(cuò)角及同位角相等；全等三角形推導(dǎo)出來(lái)的對(duì)應(yīng)角相等推到而得的：；AFCBFC ，；ANBMCDCEADMENDBE，；AMCNCMBNDEA

26、B，；ACNMCBADCMCENDCBEC為等邊三角形DEC、是等邊三角形，ACMCBN，MCACCNCBACNMCB ，ACNMCBANBM由易推得，所以，又，ACNMCBNDCBECCDCE60MCN進(jìn)而可得為等邊三角形易得DECDEAB過(guò)點(diǎn)作于，于，由，CCGANGCHBMHACNMCB2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 17 of 31利用進(jìn)而再證，可得，故平分AASBCHNCDAFCBFC CFAFB【例例 27】( (2008 年懷化市初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試試卷年懷化市初中畢業(yè)學(xué)業(yè)考試試卷) )如圖，四邊形如圖，四邊形、都是正方形，連接都是正方形，連接、ABCD

27、DEFGAE求證：求證：CGAECGGFEDCBA【解析解析】ADCEDG CDGADE 在和中CDGADE CDADCDGADEDGDE CDGADEAECG【例例 28】如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)為線段為線段上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，、是等邊三角形，是等邊三角形，是是中點(diǎn)，中點(diǎn)，是是中點(diǎn)，中點(diǎn)，CABACMCBNDANEBM求證：求證：是等邊三角形是等邊三角形CDEMDNECBA【解析解析】，ACNMCBANBMABMANC 又、分別是、的中點(diǎn)，DEANBM，BCENCDCECDBCENCD 60DCENCDNCEBCENCENCB 是等邊三角形CDE【補(bǔ)充補(bǔ)充】(】(年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽海南區(qū)初賽年全國(guó)初中數(shù)

28、學(xué)競(jìng)賽海南區(qū)初賽) )如下圖，在線段如下圖，在線段同側(cè)作兩個(gè)等邊三角形同側(cè)作兩個(gè)等邊三角形和和2008AEABC( () )，點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)與點(diǎn)分別是線段分別是線段和和的中點(diǎn)，則的中點(diǎn)，則是是( ( ) )CDE120ACEPMBEADCPMPMBCDEAA鈍角三角形鈍角三角形 B直角三角形直角三角形2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 18 of 31C等邊三角形等邊三角形 D非等腰三角形非等腰三角形【解析解析】易得所以可以看成是繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而得到的又為線ACDBCEBCEACDC60M段中點(diǎn)，為線段中點(diǎn)，故就是繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)而得所以且，ADPBECPCMC60CP

29、CM，故是等邊三角形，選 C60PCMCPM【例例 29】如圖，等邊三角形如圖，等邊三角形與等邊與等邊共頂點(diǎn)于共頂點(diǎn)于點(diǎn)求證：點(diǎn)求證：ABCDECCAEBDDECBA【解析解析】是等邊三角形，ABC60ACBACBC，同理，60BCDDCA 60ACEDCA DCECBCDACE 在與中，BCDACE ，BCACBCDACEDCEC BCDACEBDAE【例例 30】如圖，如圖，是等邊是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，且內(nèi)的一點(diǎn)，且，問(wèn)，問(wèn)的度數(shù)的度數(shù)DABCBDADBPABDBPDBC BPD是否一定，若一定，求它的度數(shù)；若不一定，說(shuō)明理由是否一定，若一定，求它的度數(shù)；若不一定，說(shuō)明理由PDCBA ABCDP

30、【解析】連接，將條件，這兩個(gè)條件，易得()，得CDBDADBPABACDBCDSSS，由，(公共邊)，知1302BCDACDACB BPABBCDBPDBC BDBD()，故的度數(shù)是定值BDPBDCSAS30BPDBCD BPD【例例 31】( (2005 年四川省中考題年四川省中考題) )如圖，等腰直角三角形如圖，等腰直角三角形中，中，為為中點(diǎn)，中點(diǎn)，ABC90B ABaOAC求證：求證：為定值為定值EOOFBEBF2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 19 of 31OBECFA 4321OBECFA【解析】連結(jié)由上可知，而，OB1290 2390 13 445C

31、OBOC，OBEOCFBEFCBEBFCFBFBCa【補(bǔ)充補(bǔ)充】如圖，正方形如圖，正方形繞正方形繞正方形中點(diǎn)中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其交點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)，其交點(diǎn)為、，求證：，求證：OGHKABCDOEFAECFAB54321OHBEDKGCFA【解析】正方形中，ABCD1245 OAOB而，3490 4590 ，35AOEBOF，AEBFAEFCBFFCBCAB【例例 32】( (2004 河北河北) )如圖，已知點(diǎn)如圖，已知點(diǎn)是正方形是正方形的邊的邊上一點(diǎn)，點(diǎn)上一點(diǎn)，點(diǎn)是是的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且EABCDCDFCB 求證：求證：EAAFDEBFFEDCBA【解析解析】證明：因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以?/p>

32、ABCDABAD因?yàn)椋?0BADADEABF EAAF所以，所以 90BAFBAEBAEDAE ，故，故 BAFDAE Rt ABFRt ADEDEBF【補(bǔ)充補(bǔ)充】如圖所示，在四邊形如圖所示，在四邊形中，中，于于，若四邊形，若四邊形ABCD90ADCABC ADCDDPABP 的面積是的面積是 16，求，求的長(zhǎng)的長(zhǎng)ABCDDP2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 20 of 31PDCBAABCDEP【解析解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，容易證得(實(shí)際上就是把DDEDPBCDEEADPCDE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到正方形)ADP90DPBE正方形的面積等于四邊形面積為，DPBE

33、ABCD164DP 【例例 33】、分別是正方形分別是正方形的邊的邊、上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且，為垂足，為垂足，EFABCDBCCD45EAF AHEFH求證：求證：AHABCHFEDBA CHFEGDBA【解析】延長(zhǎng)至，使，連結(jié)，易證，CBGBGDFAGABGADFBAGDAFAGAF再證，全等三角形的對(duì)應(yīng)高相等(利用三角形全等可證得)，則有AEGAEFAHAB【例例 34】( (1997 年安徽省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題年安徽省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) )在等腰在等腰的斜邊的斜邊上取兩點(diǎn)上取兩點(diǎn)、，使，使，Rt ABCABMN45MCN記記，則以，則以、為邊長(zhǎng)的三角形的形狀是為邊長(zhǎng)的三角形的形狀是( ( ) )

34、AMmMNxBNnxmn A銳角三角形銳角三角形 B直角三角形直角三角形C鈍角三角形鈍角三角形 D隨隨、的變化而變化的變化而變化xmnMNCBA MDNCBA【解析】如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，連結(jié)，CBNC90CADMD則，ADBNnCDCNACDBCNMCDACMACDACMBCN 904545MCN ，MDCMNCMDMNx又易得，在中，有，故應(yīng)選(B)454590DAM Rt AMD222mnx【鞏固鞏固】如圖，正方形如圖，正方形的邊長(zhǎng)為的邊長(zhǎng)為 ，點(diǎn)，點(diǎn)在線段在線段上運(yùn)動(dòng)，上運(yùn)動(dòng)，平分平分交交邊于點(diǎn)邊于點(diǎn)ABCD1FCDAEBAFBCE求證：求證：AFDFBE2010 年暑假短期班

35、全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 21 of 31設(shè)設(shè)( () )，與與的面積和的面積和是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)的值的值DFx01xADFABESx及及若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由SFEDCBAGABCDEF【解析解析】 證明： 如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連結(jié)CBGBGDFAG因?yàn)槭钦叫?，所以在和中，ABCDRt ADFRt ABGADAB，90ADFABG DFBG，RtRt(SAS)ADFABG，AFAGDAFBAG 又 是的平分線AEBAF，EAFBAE DAFEAFBAGBAE 即EADGAE ，ADBCGEAEAD ，GEAGAE

36、 AGGE即AGBGBE，得證AFBGBE ADFABESSS1122DF ADBE AB，1ADAB12SDFBE由知，AFDFBE所以12SAF在中，Rt ADF1AD DFx，21AFx2112Sx由上式可知，當(dāng)達(dá)到最大值時(shí)，最大而，2xS01x所以，當(dāng)時(shí)，1x 最大值為S2111222x 【例例 35】( (通州區(qū)通州區(qū) 2009 一模第一模第 25 題題) )請(qǐng)閱讀下列材料：請(qǐng)閱讀下列材料：已知：如圖已知：如圖 1 在在中，中，點(diǎn)，點(diǎn)、分別為線段分別為線段上兩動(dòng)點(diǎn)，若上兩動(dòng)點(diǎn)，若Rt ABC90BACABACDEBC探究線段探究線段、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系三條線段之間的數(shù)量關(guān)系45D

37、AEBDDEEC小明的思路是：把小明的思路是：把繞點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，得到，連結(jié)，連結(jié)，AECA90ABEE D使問(wèn)題得到解決請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問(wèn)題：使問(wèn)題得到解決請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問(wèn)題： 猜想猜想、三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對(duì)你的猜想給予證明；三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對(duì)你的猜想給予證明； BDDEEC 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段在線段上，動(dòng)點(diǎn)上，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在線段運(yùn)動(dòng)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖 2，其它條件不變，其它條件不變，中探究中探究EBCDCB的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明

38、2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 22 of 31圖 1ABCDE 圖 2ABCDE【解析】 222DEBDEC證明：根據(jù)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AECA90ABEAECABE，BEECAEAECABE EACE AB 在中Rt ABCABAC45ABCACB 90ABCABE即90E BD222E BBDE D又45DAE45BADEAC45E ABBAD即45E AD AE DAED DEDE222DEBDECEEDCBAFEDCBA 關(guān)系式仍然成立222DEBDEC證明：將沿直線對(duì)折，得，連ADBADAFDFE AFDABD，AFABFDDB，F(xiàn)ADBAD AFDA

39、BD 又，ABACAFAC45FAEFADDAEFAD 9045EACBACBAEDAEDABDAB FAEEAC 又AEAEAFEACE，F(xiàn)EEC45AFEACE 180135AFDABDABC 1354590DFEAFDAFE 在中Rt DFE2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 23 of 31即222DFFEDE222DEBDEC【例例 36】( (北京市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，天津市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題北京市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，天津市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題) ) 如圖所示，如圖所示，是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為 的正三角形，的正三角形，ABC1是頂角為是頂角為的等腰三角形，以的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)為

40、頂點(diǎn)作一個(gè)的的，點(diǎn)，點(diǎn)、分別在分別在、BDC120D60MDNMNAB上，求上，求的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)ACAMNNMDCBA NMEDCBA【解析】如圖所示，延長(zhǎng)到使ACECEBM在與中，因?yàn)?，BDMCDEBDCD90MBDECD BMCE所以，故BDMCDEMDED因?yàn)椋?20BDC60MDN60BDMNDC 又因?yàn)?，所?BDMCDE 60MDNEDN 在與中，MNDENDDNDN60MDNEDN DMDE所以，則，所以的周長(zhǎng)為MNDENDNEMNAMN2【例例 37】在等邊在等邊的兩邊的兩邊 AB，AC 所在直線上分別有兩點(diǎn)所在直線上分別有兩點(diǎn) M，N，D 為為外一點(diǎn)，且外一點(diǎn)，且ABCAB

41、C，探究：當(dāng)點(diǎn)，探究：當(dāng)點(diǎn) M，N 分別愛(ài)直線分別愛(ài)直線 AB，AC 上移動(dòng)時(shí)，上移動(dòng)時(shí)，60MDN120BDCBDCDBM，NC，MN 之間的數(shù)量關(guān)系及之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)與等邊的周長(zhǎng)與等邊的周長(zhǎng)的周長(zhǎng) L 的關(guān)系的關(guān)系A(chǔ)MNABC如圖如圖，當(dāng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) M，N 在邊在邊 AB，AC 上，且上，且 DM=DN 時(shí)，時(shí)，BM，NC，MN 之間的數(shù)量關(guān)系式之間的數(shù)量關(guān)系式_；此時(shí)；此時(shí)=_QL如圖如圖，當(dāng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) M，N 在邊在邊 AB，AC 上，且上，且時(shí)，猜想時(shí)，猜想( (1) )問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫(xiě)出DNDM 你的猜想并加以證明；你的猜想并加以證明；如圖如圖，

42、當(dāng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) M，N 分別在邊分別在邊 AB，CA 的延長(zhǎng)線上時(shí)，若的延長(zhǎng)線上時(shí)，若 AN=x，則，則 Q=_( (用用 x，L 表示表示) )【解析】BM+NC=MN;23QL2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 24 of 31(2)猜想：仍然成立證明：如圖，延長(zhǎng) AC 至 E，使 CE=BM，連接 DE ,120BDCDBDC且，30DBCDCB 由是等邊三角形，ABC90MBDNCD ()MBDECD SAS，,DMDEBDMCDE 60EDNBDCMDN 在與中MDNEDNDMDEMDNEDNDNDN()MDNEDN SASMNNENCBM的周長(zhǎng)=AMNQAMA

43、NMN()()AMBMANNC2ABACAB而等邊的周長(zhǎng)ABC3LAB23QL(3)223xL【補(bǔ)充補(bǔ)充】( (1) )如圖，在四邊形如圖，在四邊形 ABCD 中，中，ABAD，BD，E、F 分別是邊分別是邊 BC、CD 上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且90EAF=BAD求證：求證：EFBEFD;12FEDCBA( (2) ) 如圖如圖，在四邊形在四邊形 ABCD 中，中，ABAD，B+D，E、F 分別是邊分別是邊 BC、CD 上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且180EAF=BAD， ( (1) )中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明 122010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 pa

44、ge 25 of 31FEDCBA【解析】證明：延長(zhǎng) EB 到 G，使 BG=DF，聯(lián)結(jié) AG ABGABC=D， ABAD，90ABGADFAGAF， 12 113232EAFBAD GAE=EAF又AEAE，AEGAEFEGEF EG=BE+BGEF= BEFD (2) (1)中的結(jié)論仍然成立 EFBEFD【例例 38】平面上三個(gè)正三角形平面上三個(gè)正三角形，兩兩共只有一個(gè)頂點(diǎn)，求證：兩兩共只有一個(gè)頂點(diǎn)，求證：與與平分平分ACFABDBCEEFCDFEDBCA【解析解析】連接與DEDF，DBAEBC BADCAF ，DBEABC BACDAF 在與中DBEABC2010 年暑假短期班 全等秘

45、訣班第 4 講學(xué)生版 page 26 of 31DBABDBEABCBEBC (SAS)DBEABCDECAFC在與中DFABCADABADAFBACAFAC (SAS)DFABCADFBCEC為平行四邊形，DECF，互相平分EFCD【例例 39】已知：如圖，已知：如圖，、都是等邊三角形，且都是等邊三角形，且、共線，共線，求求ABCCDEEHKADKADDK證：證：也是等邊三角形也是等邊三角形HBDEKHCDBAMABDCHKE【解析】連結(jié)，EBCECDCEEABEAD所以，并且與的夾角為，BEADBEAD60延長(zhǎng)交于，EBAKM則360300EBHBHDHDEBEDHDMMDEMED1801

46、8060180HDMMDEMEDHDMHDK又因?yàn)?，HKADBEBHHD所以BEHDKH所以，HKHEEHDEHDDHKBHE 【例例 40】( (1997 年安徽省競(jìng)賽題年安徽省競(jìng)賽題) )如圖，在如圖，在外面作正方形外面作正方形與與，為為的的ABCABEFACGHADABC高，其反向延長(zhǎng)線交高，其反向延長(zhǎng)線交于于，求證：，求證：( (1) );(;(2) )FHMCFBH MHMF 2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 27 of 31GHFMEDCBA【解析】證明;(2)作，先證，ABHAFCFPMDP于HQMDQ于AFPBADACD，再證HAQFPMHQM【補(bǔ)充

47、補(bǔ)充】以以ABC 的兩邊的兩邊 AB、AC 為邊向外作正方形為邊向外作正方形 ABDE、ACFG，求證：，求證：CE=BG，且，且 CEBG OGFEDCBA【解析】易證，故，又，故AECABGACEAGB ACAGAOGBOC CEBG【例例 41】( (北京市初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題北京市初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題) ) 如圖所示，在五邊形如圖所示，在五邊形中，中，ABCDE90BE ，求此五邊形的面積，求此五邊形的面積ABCDAE1BCDEEDCBA FEDCBA【解析】我們馬上就會(huì)想到連接、，因?yàn)槠渲杏袃蓚€(gè)直角三角形，但又發(fā)現(xiàn)直接求各三角形的面積ACAD并不容易，至此思路中斷我們回到已知條件中去，注意到

48、，這一條件應(yīng)當(dāng)如何利用？聯(lián)想到在證明線段相等時(shí)1BCDE我們常用的“截長(zhǎng)補(bǔ)短法” ，那么可否把拼接到的一端且使呢(如圖所示)？據(jù)此，BCDEEFBC連接，則發(fā)現(xiàn)，且，是底、高各為 的三AFABCAEF1FD AFACAEABADF1角形，其面積為，而與全等，從而可知此五邊形的面積為 12ACDAFD12010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講學(xué)生版 page 28 of 31【例例 42】( (希望杯全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初二第二試試題希望杯全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初二第二試試題) ) 在在五邊形五邊形中，已知中，已知，ABCDEABAE，連接，連接求證：求證：平分平分BCDECD180ABCAED ADADCDEEDCBA FEDCBA【解析】連接由于，ACABAE180ABCAED 我們以為中心，將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置因，所以點(diǎn)與點(diǎn)重合，而AABCAEFABAEBE，180AEFAEDABCAED 所以、在一條直線上，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后落在點(diǎn)的位置，且，DEFCFAFA