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1、-高中數(shù)學(xué)解析幾何第一局部:直線1、 直線的傾斜角與斜率1. 傾斜角(1)定義:直線l向上的方向與*軸正向所成的角叫做直線的傾斜角。(2)圍:2.斜率:直線傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率.1.傾斜角為的直線沒有斜率。2.每一條直線都有唯一的傾斜角,但并不是每一條直線都存在斜率直線垂直于軸時(shí),其斜率不存在),這就決定了我們?cè)谘芯恐本€的有關(guān)問題時(shí),應(yīng)考慮到斜率的存在與不存在這兩種情況,否則會(huì)產(chǎn)生漏解。 3設(shè)經(jīng)過和兩點(diǎn)的直線的斜率為, 則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;斜率不存在;二、直線的方程1.點(diǎn)斜式:直線上一點(diǎn)P*0,y0及直線的斜率k傾斜角求直線的方程用點(diǎn)斜式:y-y0=k(*-*0)注意:當(dāng)直線斜率不存
2、在時(shí),不能用點(diǎn)斜式表示,此時(shí)方程為;2.斜截式:假設(shè)直線在軸上的截距直線與y軸焦點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,斜率為,則直線方程:;特別地,斜率存在且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線方程為:注意:正確理解"截距這一概念,它具有方向性,有正負(fù)之分,與"距離有區(qū)別。3.兩點(diǎn)式:假設(shè)直線經(jīng)過和兩點(diǎn),且則直線的方程:;注意:不能表示與軸和軸垂直的直線;當(dāng)兩點(diǎn)式方程寫成如下形式時(shí),方程可以適應(yīng)在于任何一條直線。4截距式:假設(shè)直線在軸,軸上的截距分別是,則直線方程:;注意:1.截距式方程表不能表示經(jīng)過原點(diǎn)的直線,也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線。 2.橫截距與縱截距相等的直線方程可設(shè)為*+y=a;橫截距與縱截距互為相反
3、數(shù)的直線方程可設(shè)為*-y=a5一般式:任何一條直線方程均可寫成一般式:;不同時(shí)為零;反之,任何一個(gè)二元一次方程都表示一條直線。注意:直線方程的特殊形式,都可以化為直線方程的一般式,但一般式不一定都能化為特殊形式,這要看系數(shù)是否為0才能確定。指出此時(shí)直線的方向向量:,單位向量;直線的法向量:;與直線垂直的向量6(選修4-4)參數(shù)式參數(shù)其中方向向量為,單位向量; ;點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為,則;為參數(shù)其中方向向量為, 的幾何意義為;斜率為;傾斜角為。3、 兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系平行,且(A1B2-A2B1=0)重合,且相交垂直設(shè)兩直線的方程分別為:或;當(dāng)或時(shí)它們相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為方程組或解;注意:對(duì)于平行
4、和重合,即它們的方向向量法向量平行;如:對(duì)于垂直,即它們的方向向量法向量垂直;如假設(shè)兩直線的斜率都不存在,則兩直線 平行 ;假設(shè)一條直線的斜率不存在,另一直線的斜率為 0 ,則兩直線垂直。對(duì)于來(lái)說(shuō),無(wú)論直線的斜率存在與否,該式都成立。因此,此公式使用起來(lái)更方便斜率相等時(shí),兩直線平行(或重合);但兩直線平行(或重合)時(shí),斜率不一定相等,因?yàn)樾甭视锌赡懿淮嬖?。四、兩直線的交角1到的角:把直線依逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角;它是有向角,其圍是; 注意:到的角與到的角是不一樣的;旋轉(zhuǎn)的方向是逆時(shí)針方向;繞"定點(diǎn)是指兩直線的交點(diǎn)。2直線與的夾角:是指由與相交所成的四個(gè)角的最小角(或不大于直
5、角的角),它的取值圍是;3設(shè)兩直線方程分別為: 或假設(shè)為到的角,或;假設(shè)為和的夾角,則或;當(dāng)或時(shí),;注意:上述與有關(guān)的公式中,其前提是兩直線斜率都存在,而且兩直線互不垂直;當(dāng)有一條直線斜率不存在時(shí),用數(shù)形結(jié)合法處理。直線到的角與和的夾角:或;5、 點(diǎn)到直線的距離公式:1.點(diǎn)到直線的距離為:;2.兩平行線,的距離為:;六、直線系:1設(shè)直線,經(jīng)過的交點(diǎn)的直線方程為除去;如:,即也就是過與的交點(diǎn)除去 的直線方程。直線恒過一個(gè)定點(diǎn)。注意:推廣到過曲線與的交點(diǎn)的方程為:;2與平行的直線為;3與垂直的直線為;七、對(duì)稱問題:1中心對(duì)稱:點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱:該點(diǎn)是兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn),用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解,點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱
6、點(diǎn)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱:、在直線上取兩點(diǎn),利用中點(diǎn)公式求出它們關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo),再由兩點(diǎn)式求出直線方程;、求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn),在利用由點(diǎn)斜式得出直線方程;、利用點(diǎn)到直線的距離相等。求出直線方程。如:求與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程。2軸對(duì)稱:點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱:、點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上,點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)連線斜率是直線斜率的負(fù)倒數(shù)。、求出過該點(diǎn)與直線垂直的直線方程,然后解方程組求出直線的交點(diǎn),在利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解。如:求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的坐標(biāo)。直線關(guān)于直線對(duì)稱:設(shè)關(guān)于對(duì)稱、假設(shè)相交,則到的角等于到的角;假設(shè),則,且與的距離相等。、求出上兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn),在由兩點(diǎn)式求出直線的方程。、設(shè)為所求直線直線上的任意
7、一點(diǎn),則關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)適合的方程。如:求直線關(guān)于對(duì)稱的直線的方程。八、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃:1設(shè)點(diǎn)和直線, 假設(shè)點(diǎn)在直線上,則;假設(shè)點(diǎn)在直線的上方,則;假設(shè)點(diǎn)在直線的下方,則;2二元一次不等式表示平面區(qū)域:對(duì)于任意的二元一次不等式,當(dāng)時(shí),則表示直線上方的區(qū)域;表示直線下方的區(qū)域;當(dāng)時(shí),則表示直線下方的區(qū)域;表示直線上方的區(qū)域;注意:通常情況下將原點(diǎn)代入直線中,根據(jù)或來(lái)表示二元一次不等式表示平面區(qū)域。3線性規(guī)劃:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題,統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解叫做可行解,由所有可行解組成的集合叫做可行域。生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。注
8、意:當(dāng)時(shí),將直線向上平移,則的值越來(lái)越大; 直線向下平移,則的值越來(lái)越??;當(dāng)時(shí),將直線向上平移,則的值越來(lái)越?。?直線向下平移,則的值越來(lái)越大;*yOA(1,1)B(5,1)C(4,2)如:在如下圖的坐標(biāo)平面的可行域陰影局部且包括周界,目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè),則為;第二局部:圓與方程2.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:圓心,半徑特例:圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為的圓的方程是:.2.2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:1. 設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d,圓半徑為r:(1)點(diǎn)在圓上d=r;(2)點(diǎn)在圓外dr;(3)點(diǎn)在圓dr 2.給定點(diǎn)及圓.在圓在圓上在圓外2.3 圓的一般方程:.當(dāng)時(shí),方程表示一個(gè)圓,其中圓心,半徑.當(dāng)時(shí),方程表
9、示一個(gè)點(diǎn).當(dāng)時(shí),方程無(wú)圖形稱虛圓.注:1方程表示圓的充要條件是:且且.圓的直徑系方程:AB是圓的直徑2.4 直線與圓的位置關(guān)系: 直線與圓的位置關(guān)系有三種,d是圓心到直線的距離,(1);(2);3。2.5 兩圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓圓心分別為O1,O2,半徑分別為r1,r2,。1;2;3;4;5; 外離 外切 相交 切 含2.6 圓的切線方程:1. 直線與圓相切:(1)圓心到直線距離等于半徑r;2圓心與切點(diǎn)的連線與直線垂直斜率互為負(fù)倒數(shù)2. 圓的斜率為的切線方程是過圓上一點(diǎn)的切線方程為:.一般方程假設(shè)點(diǎn)(*0 ,y0)在圓上,則(* a)(*0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特別地,過圓上一
10、點(diǎn)的切線方程為.假設(shè)點(diǎn)(*0 ,y0)不在圓上,圓心為(a,b)則,聯(lián)立求出切線方程.2.7圓的弦長(zhǎng)問題:1.半弦、半徑r、弦心距d構(gòu)成直角三角形,滿足勾股定理:2.弦長(zhǎng)公式設(shè)而不求:第三局部:橢圓一橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1橢圓的定義:平面與兩定點(diǎn)F1,F(xiàn)2距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓,即點(diǎn)集M=P| |PF1|+|PF2|=2a,2a|F1F2|=2c;這里兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2叫橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫橢圓的焦距2c。時(shí)為線段,無(wú)軌跡。2標(biāo)準(zhǔn)方程: 焦點(diǎn)在*軸上:ab0; 焦點(diǎn)F±c,0焦點(diǎn)在y軸上:ab0; 焦點(diǎn)F0, ±c 注意:在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中,總有ab0,并且橢
11、圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上;一般形式表示:或者 二橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì): 1.圍 1橢圓ab0 橫坐標(biāo)-a*a ,縱坐標(biāo)-b*b 2橢圓ab0 橫坐標(biāo)-b*b,縱坐標(biāo)-a*a 2.對(duì)稱性 橢圓關(guān)于*軸y軸都是對(duì)稱的,這里,坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸,原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心,橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心 3.頂點(diǎn) 1橢圓的頂點(diǎn):A1-a,0,A2a,0,B10,-b,B20,b 2線段A1A2,B1B2 分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于2a,短軸長(zhǎng)等于2b,a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。 4離心率 1我們把橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比,即稱為橢圓的離心率,記作e,e越接近于0 e越小,橢圓就越接近于圓;e越接近于1
12、e越大,橢圓越扁;注意:離心率的大小只與橢圓本身的形狀有關(guān),與其所處的位置無(wú)關(guān)。2橢圓的第二定義:平面與一個(gè)定點(diǎn)焦點(diǎn)和一定直線準(zhǔn)線的距離的比為常數(shù)e,0e1的點(diǎn)的軌跡為橢圓。焦點(diǎn)在*軸上:ab0準(zhǔn)線方程:焦點(diǎn)在y軸上:ab0準(zhǔn)線方程:小結(jié)一:根本元素1根本量:a、b、c、e、共四個(gè)量, 特征三角形2根本點(diǎn):頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心共七個(gè)點(diǎn)3根本線:對(duì)稱軸共兩條線5橢圓的的外部1點(diǎn)在橢圓的部.2點(diǎn)在橢圓的外部.6.幾何性質(zhì) 1 焦半徑橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的線段:2通徑過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦3焦點(diǎn)三角形橢圓上的任意一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)夠成的三角形:其中7直線與橢圓的位置關(guān)系:(1) 判斷方法:聯(lián)立直線方程與橢圓方
13、程消y(或*)得到關(guān)于*的一元二次方程,根據(jù)判別式的符號(hào)判斷位置關(guān)系:聯(lián)立消y得:聯(lián)立消*得:(2) 弦中點(diǎn)問題:斜率為k的直線l與橢圓交于兩點(diǎn)是AB的中點(diǎn),則:(3) 弦長(zhǎng)公式:第四局部:雙曲線雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在軸標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在軸定義第一定義:平面與兩個(gè)定點(diǎn),的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)小于的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫焦距。PP第二定義:平面與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離的比是常數(shù),當(dāng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線。定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線,常數(shù)叫做雙曲線的離心率。PPPP圍,對(duì)稱軸軸,軸;實(shí)軸長(zhǎng)為,虛軸長(zhǎng)為對(duì)稱中心原點(diǎn)焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)在實(shí)軸上,;焦距:
14、頂點(diǎn)坐標(biāo),0 (,0)(0, ,) (0,)離心率1)重要結(jié)論1 焦半徑雙曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的線段:2通徑過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦3焦點(diǎn)三角形雙曲線上的任意一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)夠成的三角形:準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸且在兩頂點(diǎn)的側(cè);兩準(zhǔn)線間的距離:漸近線方程共漸近線的雙曲線系方程直線和雙曲線的位置1判斷方法:聯(lián)立直線方程與雙曲線方程消y(或*)得到關(guān)于*的一元二次方程,根據(jù)判別式的符號(hào)判斷位置關(guān)系:聯(lián)立消y得:聯(lián)立消*得:(4) 弦中點(diǎn)問題:斜率為k的直線l與雙曲線交于兩點(diǎn)是AB的中點(diǎn),則:弦長(zhǎng)公式:補(bǔ)充知識(shí)點(diǎn):等軸雙曲線的主要性質(zhì)有:1半實(shí)軸長(zhǎng)=半虛軸長(zhǎng);2其標(biāo)準(zhǔn)方程為其中C0;3離心率;4漸近線:兩條
15、漸近線 y=±* 互相垂直;5等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的比例中項(xiàng);6等軸雙曲線上任意一點(diǎn)P處的切線夾在兩條漸近線之間的線段,必被P所平分;7等軸雙曲線上任意一點(diǎn)處的切線與兩條漸近線圍成三角形面積恒為常數(shù)第五局部:拋物線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)圖象*yOlF*yOlFlF*yO*yOlF定義平面與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線,點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn),直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。=點(diǎn)M到直線的距離圍對(duì)稱性關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱焦點(diǎn)(,0)(,0)(0,)(0,)焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上頂點(diǎn)離心率=1準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)且到頂點(diǎn)的距離相等。頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦半徑焦點(diǎn)弦 長(zhǎng)焦點(diǎn)弦的幾條性質(zhì)(以焦點(diǎn)在*軸正半軸為例)o*FyMN以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切,以MN為直徑的圓與AB相切與點(diǎn)F,即假設(shè)的傾斜角為,則參數(shù)方程1. 直線與拋物線的位置關(guān)系直線,拋物線,消y得:1當(dāng)k=0時(shí),直線與拋物線的對(duì)稱軸平行,有一個(gè)交點(diǎn);2當(dāng)k0時(shí),0,直線與拋物線相交,兩個(gè)不同交點(diǎn);=0, 直線與拋物線相切,一個(gè)切點(diǎn);0,直線與拋物線相離,無(wú)公共點(diǎn)。(3) 假設(shè)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn),則直線與拋物線必相切嗎"不一定2. 關(guān)
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