信號與系統(tǒng)：第13講 第5章 離散時(shí)間傅里葉變換3

1、第第5 5章章 離散時(shí)間傅里葉變換離散時(shí)間傅里葉變換 5.35.3離散時(shí)間傅里葉變換性質(zhì)；離散時(shí)間傅里葉變換性質(zhì)； 卷積性質(zhì)卷積性質(zhì)2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講2n離散時(shí)間非周期信號的傅里葉變換離散時(shí)間非周期信號的傅里葉變換n離散時(shí)間傅里葉變換的導(dǎo)出離散時(shí)間傅里葉變換的導(dǎo)出n考慮離散時(shí)間周期信號的傅里葉級數(shù)考慮離散時(shí)間周期信號的傅里葉級數(shù)n周期無限大，第一周期的信號稱為非周期信號周期無限大，第一周期的信號稱為非周期信號n有此得到離散傅里葉變換表達(dá)式有此得到離散傅里葉變換表達(dá)式n離散時(shí)間傅里葉變換的特點(diǎn)離散時(shí)間傅里葉變換的特點(diǎn)n分析公式（正變換）的周期性分析公式（正變換）的周期性n低頻在

2、低頻在 偶數(shù)倍，高頻在偶數(shù)倍，高頻在 奇數(shù)倍位置奇數(shù)倍位置n綜合公式（反變換）積分區(qū)間的有限綜合公式（反變換）積分區(qū)間的有限n滿足能量有限、絕對可和的序列都有變換存在滿足能量有限、絕對可和的序列都有變換存在n離散時(shí)間周期信號的傅里葉變換離散時(shí)間周期信號的傅里葉變換n也是在諧波位置的沖激，加權(quán)值為相應(yīng)級數(shù)系數(shù)的也是在諧波位置的沖激，加權(quán)值為相應(yīng)級數(shù)系數(shù)的2 倍倍2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講3n為進(jìn)一步了解離散傅里葉變換的本質(zhì)為進(jìn)一步了解離散傅里葉變換的本質(zhì)n簡化離散傅里葉變換的計(jì)算簡化離散傅里葉變換的計(jì)算n討論離散傅里葉變換的性質(zhì)討論離散傅里葉變換的性質(zhì)n結(jié)合連續(xù)時(shí)間傅里葉變換性質(zhì)學(xué)習(xí)、

3、比較結(jié)合連續(xù)時(shí)間傅里葉變換性質(zhì)學(xué)習(xí)、比較n離散傅里葉變換性質(zhì)應(yīng)用于傅里葉級數(shù)分析離散傅里葉變換性質(zhì)應(yīng)用于傅里葉級數(shù)分析n符號定義符號定義-1() () ()jjjX ex nx nX ex nX eFFF2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講4n1.離散時(shí)間傅里葉變換的周期性離散時(shí)間傅里葉變換的周期性n離散時(shí)間傅里葉變換是以離散時(shí)間傅里葉變換是以2 為周期的為周期的的函數(shù)的函數(shù)n2.線性線性(2)()()jjX eX e1122 () ()jjx nX ex nXe若：和FF1212 ()()jjax nbx naX ebXeF1122 () ()jjx nX ex nXe若：和FF1212 (

4、)()jjax nbx naX ebXeF2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講5n3.時(shí)移與頻移性質(zhì)時(shí)移與頻移性質(zhì)n舉例舉例00()j njx nneX eF00() ()jnjex nX e F()jclpHe一個截止頻率為的低通濾波器的頻率響應(yīng)為通帶在 的偶數(shù)倍位置，()jlpHe （）將它頻移半個周期 ，得到的就是一個高通濾波器通帶在 的奇數(shù)倍位置()()jjhplpHeHe （）頻域關(guān)系： ( 1) j nnhplplphneh nh n 時(shí)域關(guān)系： ,nx na u na離散序列逐項(xiàng)變號將頻譜搬移半個周期溫習(xí)序列在 分別為正值和負(fù)值的情況()jhpHe()jlpHe00()j njx

5、 nneX eF00() ()jnjex nX e F () jx nX e若：F00()j njx nneX eF2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講6n4.共軛與共軛對稱性共軛與共軛對稱性 () jx nX e若：F* () jxnXeF* x nx nx n若為實(shí)值序列：* ()()jjX eXe () () () ()jjjjX eX eX eX e是的偶函數(shù)，是的奇函數(shù)是的偶函數(shù)，是的奇函數(shù)R eI m () ()jjx nX ex nX e序列偶部的傅里葉變換是原序列傅里葉變換的實(shí)部序列奇部的傅里葉變換是原序列傅里葉變換的虛部FEvR eFOdI m nx nx na為實(shí)偶函數(shù)，其

6、傅里葉變換也是實(shí)偶函數(shù)溫習(xí)序列* () jxnXeF2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講7n5.差分與累加差分與累加n連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)傅里葉變換的微分積分性質(zhì)是頻域求解系統(tǒng)微分方程連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)傅里葉變換的微分積分性質(zhì)是頻域求解系統(tǒng)微分方程的重要手段，在離散時(shí)間中，求解差分方程也需要了解其差分以及的重要手段，在離散時(shí)間中，求解差分方程也需要了解其差分以及累加性質(zhì)累加性質(zhì)n差分性質(zhì)只要用時(shí)移性質(zhì)就可以得到差分性質(zhì)只要用時(shí)移性質(zhì)就可以得到n累加與差分類似連續(xù)中的積分和微分，它們的性質(zhì)也有可比性累加與差分類似連續(xù)中的積分和微分，它們的性質(zhì)也有可比性n舉例：利用累加性質(zhì)計(jì)算單位階躍的傅里葉變換舉例：利用累加

7、性質(zhì)計(jì)算單位階躍的傅里葉變換 () jx nX e若：F 1(1)() jjx nx neX eF , 1 nmnx my ny nx n因?yàn)椋簓01() +()2 (1)njjjmkx mX eX eke F累加過程中出現(xiàn)的直流分量0 ()1, 11()() +()(2) = +(2) (1)1njmjjjjjkkg nnG ex ng mX eG eG ekkee F2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講8n6.時(shí)間反轉(zhuǎn)時(shí)間反轉(zhuǎn)() ()jjnjnnnjmjmY ey n exn ex m eX e () ()jjx nX enxnY e若：考慮：y的傅里葉變換F() jxnX eF2022

8、-3-15信號與系統(tǒng)第13講9n7.時(shí)域擴(kuò)展時(shí)域擴(kuò)展n時(shí)域擴(kuò)展時(shí)域擴(kuò)展-頻域壓縮是連續(xù)時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)頻域壓縮是連續(xù)時(shí)間傅里葉變換的性質(zhì)1()() jx atXaaF11aa縮小功能，擴(kuò)展功能，1 ,1ay nx ana為大于 的整數(shù)時(shí)，序列的表現(xiàn)？為小于 的時(shí)候，序列擴(kuò)展怎樣實(shí)現(xiàn)？ x anaan但是，對于離散時(shí)間情況， 不為整數(shù)則沒有定義( ) / 0 kx n knkxnnk當(dāng) 為 的整數(shù)倍定義新序列：當(dāng) 不為 的整數(shù)倍( ) 3kxnk 序列示意（）( ) 1kxna 可以起到擴(kuò)展序列的作用（類似）( )( )( )( ) 0() kjj nj rkkkknrxnnrkXexn e

9、xrk e只在有值，其他情況為 ，所以()( )( )( ) , () () jj krjkkkkrxrkx rXex r eX exn因：則：F2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講10n時(shí)域擴(kuò)展性質(zhì)的圖解時(shí)域擴(kuò)展性質(zhì)的圖解(),2,3()2()2/kjjkx nkxnXeXek一 個 矩 形 脈 沖當(dāng)時(shí) 候 的， 以 及 它 們 的 傅 里 葉 變 換的 周 期 為，的 周 期 為2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講11n舉例舉例n序列如圖，求其傅里葉變換序列如圖，求其傅里葉變換n分析可見，這是兩個寬度一樣，幅度不同的矩形脈沖交錯而成分析可見，這是兩個寬度一樣，幅度不同的矩形脈沖交錯而成1

10、5 22 - 2y ny nNy ng n令為寬度為 的矩形脈沖序列由的門函數(shù)右移 得到：(2)(2) 21x nynyn原序列可以表示為：2sin(5/2) - 2sin(/2)jg ne的傅里葉變換為：4(2)sin(5 ) sin( )jyne的傅里葉變換為：5(2)sin(5 )21sin( )jyne的傅里葉變換為：24sin(5 )()(1)sin( )jjjX eee 22022-3-15信號與系統(tǒng)第13講12n8.頻域微分頻域微分 () jx nX e若：F- () jj nnX ex n e 對正變換公式微分-() jj nndX ejnx n ed ()jdnx njX e

11、dF2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講13n9.帕薩瓦爾定理帕薩瓦爾定理n綜合練習(xí)綜合練習(xí)給定序列的傅里葉變換給定序列的傅里葉變換 判斷序列是否周期、實(shí)信號、偶信號、能量有限？判斷序列是否周期、實(shí)信號、偶信號、能量有限？ () jx nX e若：F222-1 = ()2jnx nX ed () jX ex n不是離散的，不是周期的()()jjX eX e是 的偶函數(shù)，是 的奇函數(shù)所以，xn是實(shí)信號2()()jjjX eX ee不是實(shí)函數(shù)所以，xn不是偶信號222-1 = () 2jnx nX ed 積分有限所以，xn是能量有限的2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講142022-3-15信號與

12、系統(tǒng)第12講14課堂練習(xí)課堂練習(xí)-離散傅里葉變換性質(zhì)復(fù)習(xí)離散傅里葉變換性質(zhì)復(fù)習(xí)01()2(),()()0()0jjjajjjX eX eaeX eX eX ed-。 只有實(shí)部。 只有虛部3。 存在實(shí)數(shù) 使得為實(shí)4。 5。 11( ) ( ) () ( )22( ) 13( ) 12( ) 11nnex nu nfx ngx nnnhx nnnix nnn 1 ( )( )2 ( )( ) ( )( )( )( )( )( )0( )( )( )00( )( )( )( )( )x ndfx nb ix na b dfg hb c ixb dg h i。 為偶： 。 為奇： 3。 為偶且時(shí)移：

13、4。 直流分量為 ： 5。 ： 2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講15n0.卷積性質(zhì)卷積性質(zhì)n1.舉例舉例n（1）Example5.11 () () , * jjx nX eh nH ey nh nx n若：且：FF()()()jjjY eH eX e000-LTI ()j njj nnh nnnH enn ee 一系統(tǒng)，單位脈沖響應(yīng)為：其頻率響應(yīng)為：0() ()()()()jj njjjjX ex nY eH eX eeX e對于傅里葉變換為的任意輸入輸出的傅里葉變換為：0 y nx nn對上式反變換可見，這是一個純延時(shí)系統(tǒng)0()1() jjH eH en ，的物理意義？2022-3-15

14、信號與系統(tǒng)第13講16n（2）Example5.13 , ,1,1, ?nnLTIh na u nx nb u naby n一系統(tǒng)，單位脈沖響應(yīng)為輸入為求該系統(tǒng)的輸出響應(yīng)1()1jjX ebe輸入傅里葉變換：()11jjjABY eaebe1()()()11jjjjjY eH eX eaebe輸出傅里葉變換：1()1jjH eae系統(tǒng)頻率響應(yīng)：, abABabab nnaby na u nb u nabab2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講17n（2）Example5.13(續(xù)續(xù))ab對于情況21()1jjY eae1()1jjjjdY eeadae利用求導(dǎo)方式改寫：11111njjFdna

15、u njedae（）再用時(shí)移性質(zhì)：（）11 11nnjjFFda u nna u njaedae對于：根據(jù)微分性質(zhì)： 11=1 nny nna u nna u n（）（）2022-3-15信號與系統(tǒng)第13講18n（3）Example5.14n上半路信號分析上半路信號分析n下半路信號分析下半路信號分析n輸出信號輸出信號n系統(tǒng)頻率響應(yīng)系統(tǒng)頻率響應(yīng) x ny n分析圖示系統(tǒng)在輸入為，輸出為時(shí)的頻率響應(yīng)？()jlpHe是一個截止頻率為 /4的理想低通濾波器，通帶內(nèi)增益為1()11 ( 1) , ()()njjjw nx ne x nW eX e ()21 ()()()()()jjjjjlplpW eHeW eHeX e ()()(2 )()32 ()()()()()()jjjjjjlplpW eW eHeX eHeX e 4 ()()()