函數(shù)的極限定義及性質(zhì)

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)的極限定義及性質(zhì)第一頁，共9頁。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限1. 0 xx 時函數(shù)極限的定義時函數(shù)極限的定義Axfxx)(lim0)()(0 xxAxf當(dāng)或,0,0),(0 xUx時, 有 Axf)(當(dāng)AAx0 xy)(xfy Ax0 xy)(xfy 幾何解釋幾何解釋第二頁，共9頁。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 左極限與右極限左極限與右極限左極限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0當(dāng)),(00 xxx時, 有.)( Axf右極限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0當(dāng)),

2、(00 xxx時, 有.)( Axf結(jié)論：結(jié)論：Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00第三頁，共9頁。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例. 給定函數(shù)0,10,00, 1)(xxxxxxf討論 0 x時)(xf的極限是否存在 . 解解: 利用結(jié)論 .因為)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1顯然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .xyO11 xy11 xy第四頁，共9頁。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)保號性保號性. 若,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0時使

3、當(dāng)xUx. 0)(xf)0)(xf則存在( A 0 ,),(0時使當(dāng)xUx. 0)(xf)0)(xf則存在( A 0 ),(0 xU極限的唯一性；局部有界性；局部保號性極限的唯一性；局部有界性；局部保號性第六頁，共9頁。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論 若在0 x的某去心鄰域內(nèi)0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0Axfxx則. 0A)0(A思考: 若條件改為, 0)(xf是否必有?0A不能不能! 0lim20 xx如 第七頁，共9頁。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 XXAAOxy)(xfy A定義定義. 設(shè)函數(shù)xxf當(dāng))(大于某一正數(shù)時有定義,若,0X,)(,AxfXx有時當(dāng)則稱常數(shù)時的極限,Axfx)(lim)()(xAxf當(dāng)或幾何解釋幾何解釋:AxfA)(XxXx或記作直線 y = A 為曲線)(xfy 的水平漸近線 .,0 xxf當(dāng))(A 為函數(shù)二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限第八頁，共9頁。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Oxyx1x11xxgxxf11)(,1)(直線 y = A 仍是曲線 y = f (x) 的漸近線 .兩種特殊情況兩種特殊情況 :Axfx)(lim,0,0X當(dāng)Xx 時, 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X當(dāng)Xx時, 有 Axf)(幾何意義幾何意義