淺談中學幾種常用證明不等式的方法

1、成 績： 江西科技師范大學畢業(yè)論文 題 目：淺談中學幾種常用證明不等式的方法 （外文）：On the method commonly used in Middle School to prove inequality院（系）： 數(shù)學與計算機科學學院 專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學 學生姓名： 吳丹 學 號： 20091741 指導教師： 樊陳 2013年3月20日目錄1引言12放縮法證明不等式12.1放縮法12.2（改變分子分母）放縮法12.3拆補放縮法22.4編組放縮法32.5尋找“中介量”放縮法43反正法證明不等式43.1反證法定義43.2反證法步驟54換元法證明不等式64.1利用對稱性換元，化

2、繁為簡64.2三角換元法74.3和差換元法84.4分式換元法85 綜合法證明不等式95.1綜合法證明不等式的依據(jù)95.2用綜合法證明不等式的應用95.3綜合法與比較法的內(nèi)在聯(lián)系106.分析法106.1分析法的定義106.2分析法證明不等式的方法與步驟116.3分析法證明不等式的應用117構造法證明不等式137.1構造函數(shù)模型137.2構造數(shù)列模型148數(shù)學歸納法證明不等式158.1分析綜合法158.2放縮法168.3遞推法169.判別式法證明不等式1710.導數(shù)法證明不等式1810.1利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式189.2利用極值（或最值）1911比較法證明不等式2011.1差值比較法2011.

3、2商值比較法2111.3比較法的應用范圍2112結束語：22參考文獻22淺談中學常用幾種證明不等式的方法 摘要：中學數(shù)學有關不等式的證明的題型多變，技巧性很強，同時它也沒有固定的程序加以規(guī)定。因而他是中學數(shù)學考試的難點。不等式的證明的方法很多。本文將列舉出中學數(shù)學常用的幾種方法：放縮法、反正法、換元法、分析法、綜合法、構造法、數(shù)學歸納法、判別式法、導數(shù)法、比較法。 關鍵詞：不等式 證明方法1引言不等式，滲透在中學數(shù)學各個分支中。而不等式的證明在不等式中占有極其重要的地位。不等式的證明的方法是中學數(shù)學的重要知識，也成為了中學數(shù)學考試的熱點問題。本文針對以上的情況，提出了中學幾種常見的不等式的證明

4、方法來和大家一起分享，希望不僅能夠?qū)ξ覀兘窈笈龅筋愃频膯栴}起到指導的作用，而且還能夠培養(yǎng)分析和解決問題的能力。2放縮法證明不等式2.1放縮法放縮法的定義：在不等式的證明中，有時可把不等式中的某些項或因式換成數(shù)字較大或較小的數(shù)或式，以達到證明的目的，這種證明方法稱為放縮法。放縮法的形式：欲證AB，可通過適當放大或縮小，借助一個或多個中間量，使得 再利用傳遞性，達到欲證的目的。2.2（改變分子分母）放縮法在不等式有分式時，長放大或縮小分式的分子或分母，從而達到“以小代大”或“以大代小”的目的。例1：求一切 證明： = = 2.3拆補放縮法在證有些不等式的時候，常將其中某些項拆開和或合并以完成證明。

5、例2：求證：證明： 2.4編組放縮法證明不等式有時把某項拆開，重新編組，利用基本不等式完成證明。例3：求證:.證明：左 2.5尋找“中介量”放縮法當兩式難以比較大小時，可尋找“中介量”牽線搭橋，利用不等式的傳遞性完成證明。例4：求證：證明： 小結:放縮法是不等式證明中常見的變形方法之一，具有較高的技巧性。放縮必須有目標，而且要恰到好處，需要細心觀察，目標往往要從證明的結論中尋找。3反正法證明不等式3.1反證法定義“證明某個命題時，先假設它的結論的否定成立，然后從這個假設出發(fā)，根據(jù)命題的條件和已知的真命題，經(jīng)過推理，得出與已知事實（條件、公理、定義、定理、法則、公式等）相矛盾的結果這樣，就證明了

6、結論的否定不成立，從而間接地肯定了原命題的結論成立”.這種證明的方法，叫做反證法3.2反證法步驟1、 假設命題的結論不成立；2、 從這個結論出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；3、 由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確，即：提出假設推出矛盾肯定結論例5：已知：都是小于1的正數(shù)；求證：中至少有一個不大于。分析 ：采用反證法證明其證明思路是否定結論從而導出與已知或定理的矛盾從而證明假設不成立，而原命題成立對題中“至少有一個不大于”的否命題是“全都大于”。 證明：假設 都是小于1的正數(shù) 又 故與上式矛盾，假設不成立，原命題正確說明： 反證法是利用互為逆否命題具有等價性的思想進行推證的反證

7、法必須羅列各種與原命題相異的結論，缺少任何一種可能，則反證都是不完全的，遇到“至少”、“至多”、“唯一”等字句的命題常用反證法例6：若，求證：證明：假設，則，即。 因為，所以 故 又即 所以 故與假設不成立，原命題正確。總結：反證法是根據(jù)“正難則反”的原理，即如果正面證明有困難時，或者直接證明需要分多種情況而反面只有一種情況時，可以考慮用反證法。反證法不僅在幾何中有著廣泛的應用，而且在代數(shù)中也經(jīng)常出現(xiàn)。用反證法證明不等式就是最好的應用4換元法證明不等式4.1利用對稱性換元，化繁為簡例7:設求證:.分析:把中的兩個互換,不等式不變,所以這是一個對稱不等式,令 則原不等式等價于： .證明:令,則

8、,. 時,有； 當時,有(否則中必有兩個不為正值,不妨設, ,則,這與矛盾), 因此 , , 綜上所述, 把代入上式得: 4.2三角換元法三角換元法的基本思想是根據(jù)已知條件，引進新的變量-三角函數(shù)，把一個復雜的不等式問題轉(zhuǎn)化為三角不等式的問題，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)及三角恒等式去證明，從而使不等式得證。例8：已知，求證 分析：由已知，令，則 證明：令， 說明:換元法是將較為復雜的不等式利用等價轉(zhuǎn)換的思想轉(zhuǎn)換成易證明的不等式常用的換元法有(1)若，可設，；(2) 若，可設；(3)若，可設，。4.3和差換元法在題中有兩個變量，可設，這稱為和差換元法，換元后有可能簡化代數(shù)式。例9:對任意實數(shù)，求證：分

9、析：對于任意實數(shù)與，都有。令 ，則有。證明：設， 下面只須證： 不等式右邊不等式左邊= 即說明：利用“和差換元”可以簡證難度較大的不等式.4.4分式換元法例10：已知 分析：本題的證明方法很多，下面我們利用分式換元來進行證明證明：設 當且僅當說明：不等式的證明中，我們知道證明不等式時，可以利用分式換元，使其分式結構變得簡單，分母變?yōu)閱雾検剑缓蟀阎痦椃蛛x，便于利用均值不等式。5 綜合法證明不等式5.1綜合法證明不等式的依據(jù)（1）已知條件和不等式性質(zhì)；（2）基本不等式： “”號）5.2用綜合法證明不等式的應用例11：已知是不全等的正數(shù)，求證：分析：觀察題目，我們很容易想到利用性質(zhì)證明：， 同理可

10、得： 是不全等的正數(shù)，, 至少有一個不等式不能取等號+5.3綜合法與比較法的內(nèi)在聯(lián)系由于作為綜合法證明依據(jù)的不等式本身是可以根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法證出的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法來證明；擺在我們面前的問題恐怕是方法的選擇方法選擇不當，不是證不出來就是難度加大；方法合理使用，會使題目難度大大下降因此我們不要學過某種方法就抱定不放，要善于觀察，根據(jù)題目的特征選擇證題方法。6.分析法6.1分析法的定義從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題。如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷

11、定原不等式成立，這種證明方法叫做分析法。6.2分析法證明不等式的方法與步驟用分析法論證“若A則B”這個命題的格式是： 欲證命題B為真， 只需證命題B1為真， 只需證命題B2為真， 只需證命題Bn為真， 只需證命題A為真， 令已知命題A為真， 故命題B為真。6.3分析法證明不等式的應用例12：若，求證：分析： 采用分析法證明 證明：原不等式成立。說明：從這道題目我們不難看出“分析法”的證明格式，是用“”符號，不斷用充分條件代替前面的不等式6.4綜合法與分析法的綜合應用條件和結論之間的關系比較復雜,根據(jù)既定法則和事實條件,由因?qū)Ч?一直推究下去,有時會在中途迷失方向,使解題無法進行下去.在這種情況

12、下,可以同時運用綜合法與分析法的解題方法,執(zhí)行.例13： 若是不全相等的正數(shù)，求證。 分析：利用對數(shù)的性質(zhì)，所要證的不等式等價于，所以只要證，于是我們可以利用不等式的性質(zhì)：即可得證。 證明： ， ，且這三個不等式的等號不能同時成立（它們是3個不全等的正數(shù)） 說明：分析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩個方面在這道題目中，前面是分析法，后面是綜合法，兩種方法結合使用，使問題較易解決分析法的證明過程恰恰是綜合法的分析、思考過程，綜合法的證明方法是分析思考過程的逆推。7構造法證明不等式構造法作為一種數(shù)學思維方法，在解題過程中通過觀察分析給出式和欲證式，充分挖掘題目的隱含信息，并進行聯(lián)想與思考，恰當?shù)貥嬙斐鲆粋€

13、與題目相關的數(shù)學模型，將欲證的問題轉(zhuǎn)化到我們所熟悉的情景之中，從而達到證題的目的，這是構造法證題的解題模式。本文以證明不等式為例，介紹幾種常見的構造法。7.1構造函數(shù)模型我們常常利用一次函數(shù)的線性性質(zhì)、二次函數(shù)的最值以及函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)證明某些不等式問題。在證明不等式時，抓住不等式與函數(shù)的密切關系，以問題的結構特征為起點，構造相應函數(shù)，從函數(shù)的思想和方法來解決問題。例14：已知: 求證: 證明: 構造函數(shù) ,此圖象為一條直線. 又例15:已知都是正數(shù),；求證 證明: 在(0,1)上的值域為所以, .7.2構造數(shù)列模型對于某些自然數(shù)的不等式問題，與數(shù)列有著密切的聯(lián)系，這時可構造有關數(shù)列模型，利

14、用其單調(diào)性解決。例16： 求證：證明: 構造數(shù)列模型則有，所以數(shù)列為遞增數(shù)列。又因為，故即原不等式得證?？偨Y：欲證含有與自然數(shù)有關的和的不等式，可以構造函數(shù)模型，只需證明數(shù)列是單調(diào)遞增，且。另外，本題也可以用數(shù)學歸納法證明，但是構造數(shù)列模型證明簡潔。8數(shù)學歸納法證明不等式 說明數(shù)學歸納法是一種證明與正整數(shù)有關的數(shù)學命題的重要方法。主要有兩個步驟一個結論：（1） 證明當n?。ㄈ?1或2等）時結論正確（2） 假設n=k（k）時結論正確，證明n=k+1時結論也正確由（1）、（2）得出結論正確。因此，熟悉歸納步驟的證明方法是十分重要的其實歸納步驟可以看作是一個獨立的證明問題，歸納假設“P（k）成立”是

15、問題的條件而“命題P（k+1）成立”就是所要證明的結論，因此，合理運用歸納假設這一條件就成了歸納步驟中的關鍵，下面簡要分析用數(shù)學歸納法證明不等式常涉及的方法。8.1分析綜合法 例17：求證：證明：（1）當 （2）假設 即有：時： 因此，要證明當時，原不等式成立，只要證明成立即證明也就是證明即從而于是當時，原不等式也成立。由（1）、（2）可知，對于任意的正整數(shù)，原不等式都成立。8.2放縮法例18：求證：證明：（1）當時，不等式成立。 （2）假設 當時所以當時，不等式成立由（1）、（2）可知，8.3遞推法例19：設，定義，求證：對一切 有證明：（1）當，顯然命題成立 （2）假設，命題成立，即 當時

16、，由遞推公式，知 同時， 當時，命題也成立。 即 由（1）、（2）可知，對一切正整數(shù)n，有說明：證明不等式的題型多種多樣，所以不等式證明是一個難點，在由n=k成立，推導n=k+1不等式也成立時，過去講的證明不等式的方法再次都可以使用，如比較法、放縮法、分析法、反證法等，有時還要考證與原不等式的等價的命題9.判別式法證明不等式判別式法是根據(jù)已知的或構造出來的一元二次方程、一元二次不等式、二次函數(shù)的根、解集、函數(shù)的性質(zhì)等特征確定出其判別式所應滿足的不等式，從而推出欲證的不等式的方法。二次函數(shù)若判別式恒成立。例20：已知，求證：證明：令   恒成立 說明：用判別式法證不等式關鍵在于構造二次

17、函數(shù)，操作簡單，使用方便。10.導數(shù)法證明不等式證明有些不等式的題目，看似簡單，但是我們無從下手，幾種常用的方法都一一嘗試，卻沒有任何作用。這時我們不妨從已有的知識下手，構造一個函數(shù)，再借助導數(shù)來確定單調(diào)性，利用單調(diào)性實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明。利用導數(shù)證明不等式的步驟：構造可導函數(shù)研究單調(diào)性或最值得出不等式關系整理得出結論。10.1利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式例20：當時，證明不等式成立。 證明：設內(nèi)單調(diào)遞減成立說明：一般地：證明，可以構造函數(shù)，如果，則是減函數(shù)，同時若，由減函數(shù)的定義可知，時，有，即證明。例21：求證：，其中證明：設，則 在單調(diào)遞增，又故，成立。說明：一般地：證明，

18、可以構造函數(shù)如果，則是減函數(shù)，同時若，由減函數(shù)的定義可知，時，有，即證明。9.2利用極值（或最值）例22：對任意實數(shù)x,證明不等式 總結：利用導數(shù)知識證明不等式是導數(shù)應用的一個重要方面，也是考試的一個熱點，其關鍵是構造適當?shù)暮瘮?shù)，判段區(qū)間端點函數(shù)值與0的關系，其實質(zhì)就是利用求導的方法研究函數(shù)的單調(diào)性及其極值（或最值），從而證明不等式。11比較法證明不等式11.1差值比較法差值比較法：欲證AB，只需證A-B0。把不等式的兩邊相減，轉(zhuǎn)化為不等式的差值與0的大小的問題。差值比較法的步驟：“做差變形判斷符號”，為了便于判斷符號，我們 往往把其差值轉(zhuǎn)化為積的形式和完全平方的形式。例23：已知:，都是正數(shù)，（并且）求證， 分析：要證，只需證明 （作差）。再對其差值做出變形：（因式分解），再運用已知條件a,bR+，且ab，可把問題解決。證明：=又，都是正數(shù)（并且）此題是不等式的典型的題目：其拆項也是有一定得技巧，需要一定的觀察能力。11.2商值比較法商值比較法：“若”。商值比較法步驟為：作商：將左右兩端作商；變形：化簡商式到最簡形式；判斷