導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)的結(jié)合

1、 -導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)的結(jié)合 1.（導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合）已知函數(shù)，其中為參數(shù)，且.（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)是否有極值；（2）要使函數(shù)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；（3）若對（2）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)在區(qū)間（2a1,a）內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【分析】定義域上的可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是，且在兩側(cè)異號(hào). 【解析】（1）當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在（，）內(nèi)是增函數(shù)，故無極值.（2）,令，得.由及（1）,只考慮的情況.當(dāng)x變化時(shí)，的符號(hào)及的變化情況如下表：（，0）000極大值極小值因此，函數(shù)在處取得極小值，且.要使0,必有，可得，所以.（3）由（2）知，函數(shù)在區(qū)間（，0）與內(nèi)都是增函

2、數(shù).由題設(shè)，函數(shù)在（2a1,a）內(nèi)都是增函數(shù)，則a需滿足不等式組，由（2）,參數(shù)時(shí)，要使不等式關(guān)于參數(shù)恒成立，必有.綜上，解得a0或，所以a的取值范圍是（，0，1）. 2.已知函數(shù)f(x)axsin x(aR)，且在0，上的最大值為.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)判斷函數(shù)f(x)在(0，)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明【思路點(diǎn)撥】(1)分a0、a0和a0三種情況求函數(shù)f(x)的最大值；(2)先用零點(diǎn)存在性定理判斷有無零點(diǎn)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【規(guī)范解答】(1)由已知得f(x)a(sin xxcos x)，對于任意x(0，)，有sin xxcos x0.當(dāng)a0時(shí)，f(x)，不合題意當(dāng)

3、a0，x(0，)時(shí)，f(x)0，x(0，)時(shí)，f(x)0，從而f(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增，又f(x)在0，上的圖象是連續(xù)不斷的，故f(x)在0，上的最大值為f()，即a，解得a1.綜上所述，函數(shù)f(x)的解析式f(x)xsin x.(2)f(x)在(0，)內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)證明如下：由(1)知，f(x)xsin x，從而有f(0)0.又f(x)在0，上的圖象是連續(xù)不斷的，所以f(x)在(0，)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)又由(1)知f(x)在0，上單調(diào)遞增，故f(x)在(0，)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)x，時(shí)，令g(x)f(x)sin xxcos x.由g()10，g()0，且g(x)在，上的圖象是連續(xù)不斷的，故存在m(，)，使得g(m)0.由g(x)2cos xxsin x，知x(，)時(shí)，有g(shù)(x)g(m)0，即f(x)0，從而f(x)在(，m)內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)x，m時(shí)，f(x)f()0，故f(x)在，m上無零點(diǎn)；當(dāng)x(m，)時(shí)，有g(shù)(x)g(m)0，即f(x)0，f()0，且f(x)在m