人教版高一數(shù)學(xué)必修一基本初等函數(shù)解析

1、基本初等函數(shù)一【要點(diǎn)精講】1指數(shù)與對數(shù)運(yùn)算（1）根式的概念：定義：若一個(gè)數(shù)的次方等于，則這個(gè)數(shù)稱的次方根。即若，則稱的次方根，1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，次方根記作；2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)沒有次方根，而正數(shù)有兩個(gè)次方根且互為相反數(shù)，記作性質(zhì)：1）；2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；3）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，。（2）冪的有關(guān)概念規(guī)定：1）N*；2）； n個(gè)3）Q，4）、N* 且性質(zhì)：1）、Q）；2）、 Q）；3） Q）。（注）上述性質(zhì)對r、R均適用。（3）對數(shù)的概念定義：如果的b次冪等于N，就是，那么數(shù)稱以為底N的對數(shù)，記作其中稱對數(shù)的底，N稱真數(shù)1）以10為底的對數(shù)稱常用對數(shù)，記作；2）以無理數(shù)為底的對數(shù)稱自然對數(shù)，記作；基本性質(zhì)：

2、1）真數(shù)N為正數(shù)（負(fù)數(shù)和零無對數(shù)）；2）；3）；4）對數(shù)恒等式：。運(yùn)算性質(zhì)：如果則1）；2）；3）R）換底公式：1）；2）。2指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（1）指數(shù)函數(shù)：定義：函數(shù)稱指數(shù)函數(shù)，1）函數(shù)的定義域?yàn)镽；2）函數(shù)的值域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)為增函數(shù)。函數(shù)圖像：1）指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（0，1），且圖象都在第一、二象限；2）指數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當(dāng)時(shí)，圖象向左無限接近軸，當(dāng)時(shí)，圖象向右無限接近軸）；3）對于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱 ， ， ， ， ，函數(shù)值的變化特征：（2）對數(shù)函數(shù)：定義：函數(shù)稱對數(shù)函數(shù)，1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?）函數(shù)的值域?yàn)镽；3）當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)為

3、增函數(shù)；4）對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)函數(shù)圖像：1）對數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（0，1），且圖象都在第一、四象限；2）對數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當(dāng)時(shí)，圖象向上無限接近軸；當(dāng)時(shí)，圖象向下無限接近軸）；4）對于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱。函數(shù)值的變化特征：，.，. （3）冪函數(shù)1）掌握5個(gè)冪函數(shù)的圖像特點(diǎn)2）a0時(shí)，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)恒為增函數(shù)，a0時(shí)過（0，0）4）冪函數(shù)一定不經(jīng)過第四象限四【典例解析】題型1：指數(shù)運(yùn)算例1（1）計(jì)算：；（2）化簡：。解：（1）原式=；（2）原式=。點(diǎn)評：根式的化簡求值問題就是將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解，對化簡求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)

4、指數(shù)冪的形式保留；一般的進(jìn)行指數(shù)冪運(yùn)算時(shí)，化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)運(yùn)算，同時(shí)兼顧運(yùn)算的順序。例2（1）已知，求的值解：，又，。點(diǎn)評：本題直接代入條件求解繁瑣，故應(yīng)先化簡變形，創(chuàng)造條件簡化運(yùn)算。題型2：對數(shù)運(yùn)算（2）.(江蘇省南通市2008屆高三第二次調(diào)研考試)冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則滿足27的x的值是 .答案 例3計(jì)算（1）；（2）；（3）解：（1）原式 ；（2）原式 ；（3）分子=；分母=；原式=。點(diǎn)評：這是一組很基本的對數(shù)運(yùn)算的練習(xí)題，雖然在考試中這些運(yùn)算要求并不高，但是數(shù)式運(yùn)算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功，通過這樣的運(yùn)算練習(xí)熟練掌握運(yùn)算公式、法則，以及學(xué)習(xí)數(shù)式變換的各種技巧

5、例4設(shè)、為正數(shù)，且滿足 （1）求證：；（2）若，求、的值。證明：（1）左邊；解：（2）由得，由得 由得由得，代入得， 由、解得，從而。點(diǎn)評：對于含對數(shù)因式的證明和求值問題，還是以對數(shù)運(yùn)算法則為主，將代數(shù)式化簡到最見形式再來處理即可。題型3：指數(shù)、對數(shù)方程例5(江西師大附中2009屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求a,b的值；（2）若對任意的，不等式恒成立，求k的取值范圍.解 （1） 因?yàn)槭荝上的奇函數(shù)，所以從而有 又由，解得（2）解法一：由（1）知由上式易知在R上為減函數(shù)，又因是奇函數(shù)，從而不等式等價(jià)于 因是R上的減函數(shù)，由上式推得即對一切從而解法二：由（1）知又由題

6、設(shè)條件得即 整理得，因底數(shù)21，故 上式對一切均成立，從而判別式例6（2008廣東 理7）設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點(diǎn)，則（ B ）ABCD【解析】，若函數(shù)在上有大于零的極值點(diǎn)，即有正根。當(dāng)有成立時(shí),顯然有,此時(shí)，由我們馬上就能得到參數(shù)的范圍為.點(diǎn)評：上面兩例是關(guān)于含指數(shù)式、對數(shù)式等式的形式，解題思路是轉(zhuǎn)化為不含指數(shù)、對數(shù)因式的普通等式或方程的形式，再來求解。題型4：指數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)例7設(shè)（ ）A0 B1 C2 D3解：C；，。點(diǎn)評：利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念，求解函數(shù)的值例8已知試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。解：令，則x=，tR。所以即，（xR）。因?yàn)閒(x)=f(x)，所以f(x)為偶

7、函數(shù)，故只需討論f(x)在0，+）上的單調(diào)性。任取，且使，則（1）當(dāng)a1時(shí)，由，有，所以，即f(x)在0，+上單調(diào)遞增。（2）當(dāng)0a1時(shí)，由，有，所以，即f(x)在0，+上單調(diào)遞增。綜合所述，0，+是f(x)的單調(diào)增區(qū)間，（，0）是f(x)的單調(diào)區(qū)間。點(diǎn)評：求解含指數(shù)式的函數(shù)的定義域、值域，甚至是證明函數(shù)的性質(zhì)都需要借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來處理。特別是分兩種情況來處理。題型5：指數(shù)函數(shù)的圖像與應(yīng)用例9若函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（ ）Am1 B1m0 Cm1 D0m1解：，畫圖象可知1m1時(shí)，函數(shù)y=logax和y=(1a)x的圖象只可能是( )解：當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)y=logax的圖

8、象只能在A和C中選，又a1時(shí)，y=(1a)x為減函數(shù)。答案：B點(diǎn)評：要正確識(shí)別函數(shù)圖像，一是熟悉各種基本函數(shù)的圖像，二是把握圖像的性質(zhì)，根據(jù)圖像的性質(zhì)去判斷，如過定點(diǎn)、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性例14設(shè)A、B是函數(shù)y= log2x圖象上兩點(diǎn), 其橫坐標(biāo)分別為a和a+4, 直線l: x=a+2與函數(shù)y= log2x圖象交于點(diǎn)C, 與直線AB交于點(diǎn)D。（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）當(dāng)ABC的面積大于1時(shí), 求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：（1）易知D為線段AB的中點(diǎn), 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4)，所以由中點(diǎn)公式得D(a+2, log2 )。（2）SABC=S梯形AACC+S

9、梯形CCBB- S梯形AABB= log2, 其中A,B,C為A,B,C在x軸上的射影。由SABC= log21, 得0 a22。點(diǎn)評：解題過程中用到了對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，注意底數(shù)分類來處理，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來處理復(fù)雜問題。題型8：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)綜合問題例15在xOy平面上有一點(diǎn)列P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn)，對每個(gè)自然數(shù)n點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=2000()x(0a1)的圖象上，且點(diǎn)Pn,點(diǎn)(n,0)與點(diǎn)(n+1,0)構(gòu)成一個(gè)以Pn為頂點(diǎn)的等腰三角形。(1)求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；(2)若對于每個(gè)自然數(shù)n，以bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一個(gè)三角形，求a的取值

10、范圍；(3)設(shè)Cn=lg(bn)(nN*),若a取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列Cn前多少項(xiàng)的和最大？試說明理由解：(1)由題意知：an=n+,bn=2000()。(2)函數(shù)y=2000()x(0abn+1bn+2。則以bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是bn+2+bn+1bn，即()2+()10，解得a5(1)。 5(1)a10。(3)5(1)a10，a=7bn=2000()。數(shù)列bn是一個(gè)遞減的正數(shù)數(shù)列，對每個(gè)自然數(shù)n2,Bn=bnBn1。于是當(dāng)bn1時(shí)，BnBn1，當(dāng)bn1時(shí)，BnBn1，因此數(shù)列Bn的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)n滿足不等式bn1且bn+11，由bn=20

11、00()1得：n20。n=20。點(diǎn)評：本題題設(shè)從函數(shù)圖像入手，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性，最終還是根據(jù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合數(shù)列知識(shí)，以及三角形的面積解決了實(shí)際問題。例16已知函數(shù)為常數(shù)）（1）求函數(shù)f(x)的定義域；（2）若a=2，試根據(jù)單調(diào)性定義確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性（3）若函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)，求a的取值范圍。解：（1）由a0，x0 f(x)的定義域是。（2）若a=2，則設(shè) ， 則故f(x)為增函數(shù)。（3）設(shè) f(x)是增函數(shù)，f(x1)f(x2)即 聯(lián)立、知a1，a(1，+)。點(diǎn)評：該題屬于純粹的研究復(fù)合對函數(shù)性質(zhì)的問題，我們抓住對數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)，結(jié)合一般函數(shù)求定義域、單調(diào)性的解題思路，對“路”處

12、理即可題型9：課標(biāo)創(chuàng)新題例17對于在區(qū)間上有意義的兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x)，如果對任意的，均有，則稱f(x)與g(x)在上是接近的，否則稱f(x)與g(x)在上是非接近的，現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)與，給定區(qū)間。（1）若與在給定區(qū)間上都有意義，求a的取值范圍；（2）討論與在給定區(qū)間上是否是接近的。解：（1）兩個(gè)函數(shù)與在給定區(qū)間有意義，因?yàn)楹瘮?shù)給定區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在給定區(qū)間上恒為正數(shù)，故有意義當(dāng)且僅當(dāng)；（2）構(gòu)造函數(shù)，對于函數(shù)來講， 顯然其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。且在其定義域內(nèi)一定是減函數(shù)由于，得所以原函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，只需保證當(dāng)時(shí)，與在區(qū)間上是接近的； 當(dāng)時(shí)，與在區(qū)間上是非接近的點(diǎn)評：該題屬于

13、信息給予的題目，考生首先理解“接近”與“非接近”的含義，再對含有對數(shù)式的函數(shù)的是否“接近”進(jìn)行研究，轉(zhuǎn)化成含有對數(shù)因式的不等式問題，解不等式即可。例18設(shè)，且，求的最小值。解：令 ，。 由得， ，即， ， ，當(dāng)時(shí)，。點(diǎn)評：對數(shù)函數(shù)結(jié)合不等式知識(shí)處理最值問題，這是出題的一個(gè)亮點(diǎn)。同時(shí)考察了學(xué)生的變形能力。例19.（2009陜西卷文）設(shè)曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則的值為A. B. C. D.1答案 B解析 對,令得在點(diǎn)（1，1）處的切線的斜率,在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為,不妨設(shè),則, 故選 B.五【思維總結(jié)】1（其中）是同一數(shù)量關(guān)系的三種不同表示形式，因此在許多問題中需要熟練進(jìn)行它們之間的相互轉(zhuǎn)化，選擇最好的形式進(jìn)行運(yùn)算.在運(yùn)算中，根式常常化為指數(shù)式比較方便，而對數(shù)式一般應(yīng)化為同應(yīng)化為同底；2要熟練運(yùn)用初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式各種乘法公式；進(jìn)行數(shù)式運(yùn)算的難點(diǎn)是運(yùn)用各種變換技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆項(xiàng)、添項(xiàng)、換元等等，這些都是經(jīng)常使用的變換技巧，必須通過各種題型的訓(xùn)練逐漸積累經(jīng)驗(yàn)；3解決含指數(shù)式或?qū)?shù)式的各種問題，要熟練運(yùn)用指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)，更關(guān)鍵是熟練運(yùn)用指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，其中單調(diào)性是使用率比較高的知識(shí)；4指數(shù)、對數(shù)函數(shù)值的變化特點(diǎn)（上面知識(shí)結(jié)構(gòu)表中