(整理)多元函數(shù)微積分練習(xí)題

1、練習(xí)題多元函數(shù)微分學(xué)部分練習(xí)題11 ，一、1求函數(shù)z =,+ 的定義域x y x - y2 已知 f (x y,xy) =x2 + y2 5xy ,求3計(jì)算下列極限ln(x ey)(1) lim .-(x，y) U0) x2 y23xy(3) lim(X,y)(0,0) xy 4 _22 22xy x y lim 7(x,y)(2,1) x2 . y24證明極限lim不存在.(x,y)(0,0) x . y. x V 5指出函數(shù)f (x, y) = 2的間斷點(diǎn).x -2yf (x, v).x2 y2(2) lim-T-T(x,y)(二二)x ：； y1(4) lim (1 + xy)x(x,y

2、) 乂0,1)'22、sin2(x y )(6)lim (x,y) >(0,0)x2 y26計(jì)算下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)=.ln(x2y)= x2f (x, V)=x4 v4 -3xy 2y二 e2x y cos(3x2 y)二 1 x2y2 z27計(jì)算下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)4-2(1) z = x +3xy - y(1) z(3) z(5) zz(9) U(2)(4)(6)(8)(10)z =(1 -xy)xxz 二：(xy)z = ln(x2 y2)z =(1 xy)yx2y20 sin tdt(2) z = yln(xy)/ 、xy .(3) z =e sin y2，、(4) z =

3、x f(x,y),_、一2(5) z = f (xy, x )8求下列函數(shù)的全微分xy1(1)z=xe(2)z =-2x y(3)z=arcsinxy(4)z = xy +yf(x,y)xy 29 設(shè) f (x,y) = ( sint dt ,求 df . 122_ .二 Z 二 Z10 (1) z=u v -uv ,其中 u = xcosy, v = ysinx,求一, 一：:x；:yjz? ；:yz=f (x, y, z) = arctan(x + y + z),其中 z = cos(xy),求一；:x16求函數(shù)u(3)u -v=e ，u =sint,2 dz v =t ,-dt(4)f(

4、-,xy22 zy )，求， ：:x.:zy(5)=f (2x y) + g(x, xy),求 二 x11 (1)+ 2xy ln( x + y) = 0 ,求dydx(2)(3)x y2z2 = 1dx , dzdydz12 求曲線13求曲線14求曲面15求函數(shù)z 二t在點(diǎn)t =1的切線及法平面方程.y2=6 ,在點(diǎn)M°(1,-2,1)處的切線與法平面方程z+xy =3在點(diǎn)M (2,1,0)處的切平面和法線方程22=x +(y1)的極值.17求函數(shù)u =xy 用sin(x+y +z)dxdydz,其中G是由三個(gè)坐標(biāo)面與平面x十y+z =一所圍成的立 - 2z3在曲面x2 +y2 +

5、 z2 3xyz = 0上點(diǎn)P(1,1,1)處，沿曲面在該點(diǎn)朝上的 法線方向的方向?qū)?shù).22218 設(shè) f(x,y,z)=x +y +z +xyx + y+3z,求 gradf (1,2,3).二多元函數(shù)積分學(xué)部分練習(xí)題1、改變下列二次積分的積分次序1 11 y(1)0 dx L2 f (x, y)dy(2)10dyjh f(x, y)dx2 y423 3) (0dyf2 f (x, y)dx + J2dy R f (x, y)dx 222、計(jì)算下列二重積分1 一(1) JJxyd。，其中區(qū)域 D是曲線y=, x = 2及y = x所圍成的區(qū)域.Dx(2) JJ(x+y)d。，其中區(qū)域 D是曲

6、線y2 = 4x及y = x所圍成的區(qū)域. D(3)H(x+y)d。，其中區(qū)域 D： x + yW1. D(4) J0cos(x+y)dcr,其中區(qū)域 D是曲線y = x, y = 0及x =所圍成的區(qū)域.D222(5) He T da,其中積分區(qū)域 D為中心在原點(diǎn)，半徑為 a的圓周所圍成的閉區(qū)域 D(6) . Jx2 + y2 d。，其中積分區(qū)域?yàn)?D ： x2 + y2 之 1, x2 + y2W2x, yt0. D23、設(shè)函數(shù)f (x,y)連續(xù)， 且 f (x, y) = xy + JJ f (x, y)dxdy ,其中 D 是由 y = 0 , y = xD和x=1所圍成的區(qū)域.f(.

7、 x2y2)d:4、設(shè)函數(shù)f(u)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0) =0,f'(0)=3,求四 x24y2*2 7Tt35計(jì)算下列三重積分體;2222 (2)計(jì)算Hjzdxdydz,其中G是由曲面z = q2-x -y 以及z = x +y所圍成的空 Q 間形體.222(3)計(jì)算積分 用xyzdxdydz,其中C是球面x + y +z <4在第一卦PM的部分.6試計(jì)算立體 建由曲面z =8x2 y2及z= x2+y2所圍成的體積.7 計(jì)算 JJJezdxdydz,其中 Q 是球面 x2 + y2 + z2 < 1.8計(jì)算下列曲線積分222(1) fLxydS,其中L為圓x +y =

8、a在第一象限內(nèi)的部分；(2) Jj(x2 + y2 +z2)dS,其中是球面 x2 + y2 + z2 = 9與平面 x + y + z = 0 的交線.(3)L(1+y3)dx(2x + y)dy ,其中 L 是曲線 y3=x2 上從點(diǎn) O(0,0)到點(diǎn) A(1,1)的一段 弧；(4)計(jì)算 y ydx + xdy,其中L為圓周x = r cos , y = r sin日上由日=0到日=2兀的一 段弧.(5)在過點(diǎn)O(0,0)和A(n,0)的曲線族y = asin x(a > 0)中求一條直線L ,使沿該曲線到點(diǎn)。到點(diǎn)A的積分(1 + y3)dx +(2x + y)dy的值最小.(6)計(jì)

9、算(-dS ,其中工為球面x2 + y2 +z2 =4被平面z = 1截出的上半部分 三z(7)計(jì)算口(x2 + y2 +z2)dS ,其中工為錐面z2 = x2 + y2介于平面z = 0與z = 1之間的 £部分.z(8)計(jì)算z=1和z=2之間部H e dxdy ,其中工是錐面 三 x2 y2分的外側(cè).(9)計(jì)算 I 二1x3dydz + y3dzdx + z3dxdy,其中工為以點(diǎn) A(1,0,0) , B(0,1,0) , C(0,0,1)為頂點(diǎn)的三角形的上側(cè).12、 2z9求曲線：x=a,y = at,z= at(0Wt41,a a 0)的質(zhì)量，設(shè)其線密度為p =?一10

10、(1)設(shè)L為取正向的圓周 x2+y2 =9,計(jì)算曲線積分qL(2xy 2y)dx + (x2 4x)dy 的值.(2 )利用 Stokes公式計(jì)算曲線積分I =匚(ydx + zdy + xdz ,其中L是球面2222 , 一一 x +y +z =a與平面x + y+z = 0的交線，由z軸的正向看去，圓周沿逆時(shí)針萬向.2(3)計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分Jxy+ x)dx + x-dy ,其中L為x2 + y2 = R2的第一象限由(0,R)到(R,0)的一段弧.(4)已知邛(冗)=1 ,試確定 巴x),使曲線積分sin xP(x)、dx+q'(x)dy Ax與路徑無關(guān)，并求當(dāng) A, B分別為(1,0), 5,兀)時(shí)線積分的值(5)計(jì)算I