第三章 行列式

1、第三章 行列式在第一章中，我們用矩陣的初等行變換解決了線性方程組是否有解及求解的問(wèn)題. 但這種方法，早已把方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)變得面目全非了，無(wú)法給出解與方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系，本章就利用行列式來(lái)解決這一問(wèn)題. 行列式不僅是研究線性代數(shù)的重要工具，在其它領(lǐng)域也有廣泛應(yīng)用. 本章介紹行列式的概念、性質(zhì)、計(jì)算及應(yīng)用. 3. 1行列式的概念一、二階和三階行列式首先我們通過(guò)解二元、三元線性方程組引入二階和三階行列式的定義. 對(duì)于二元線性方程組，利用消元法知，當(dāng)時(shí)，求得其解為. （3. 1）上式作為二元線性方程組解的公式，給出了解與方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系，但不好記憶. 為便于應(yīng)用這個(gè)公式

2、，我們引入二階行列式的定義. 我們把四個(gè)數(shù)排成兩行兩列構(gòu)成的二階方陣所確定的算式稱為二階行列式. 記為或或，即. 二階行列式的定義可以用對(duì)角線法則來(lái)記憶，把到所在的連線稱為主對(duì)角線，把到所在的連線稱為副對(duì)角線，則二階行列式等于主對(duì)角線上兩元素乘積減去副對(duì)角線上兩元素乘積. 利用二階行列式的定義，（3. 1）式中，的分母可記為，稱為線性方程組的系數(shù)行列式. 分子可記為，其中是用常數(shù)項(xiàng)替換系數(shù)行列式的第一列得到的行列式，是用常數(shù)項(xiàng)替換系數(shù)行列式的第二列得到的行列式. 于是，利用二階行列式的定義，（3. 1）式可表示為. 例3. 1 求解二元線性方程組. 解 由于 ，因此 . 類似地，在解三元線性方

3、程組的過(guò)程中引入三階行列式的定義. 把三階方陣所確定的算式稱為三階行列式，記為或或. 即. 由三階行列式的定義，我們注意到：注1三階行列式是6項(xiàng)的代數(shù)和，并且正負(fù)各占一半；注2它的每一項(xiàng)是不同行、不同列的三個(gè)元素的乘積. 三階行列式的算式很難記憶，下面我們考察三階行列式與二階行列式之間的關(guān)系. 事實(shí)上其中是劃掉三階方陣中元素所在的第一行和第一列，剩下元素構(gòu)成的二階行列式，該行列式稱為元素的余子式，記為. 記，稱為元素的代數(shù)余子式. 相應(yīng)的有，稱為元素的代數(shù)余子式. ，稱為元素的代數(shù)余子式. 于是. 這說(shuō)明三階行列式可轉(zhuǎn)化為二階行列式來(lái)計(jì)算. 例3. 2計(jì)算三階行列式. 解 . 二、階行列式把二

4、階、三階行列式推廣到一般情形，便得到階行列式的定義. 階行列式有幾種等價(jià)的定義方法，在這里我們用歸納法定義. 定義3. 1 階方陣所確定的算式稱為階行列式，記為，并且該算式滿足： 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 其中稱為的代數(shù)余子式；為中劃去第行和第列后剩下元素所構(gòu)成的階行列式，即稱為的余子式. 階行列式也可以簡(jiǎn)記為或或. 由階行列式定義，我們同樣可以得到類似于三階行列式的結(jié)論：注1 階行列式是項(xiàng)的代數(shù)和，并且正負(fù)各占一半；注2 它的每一項(xiàng)是不同行、不同列的個(gè)元素的乘積. 此外還要注意階行列式和階矩陣的區(qū)別：注3 它們本質(zhì)不同. 行列式是一個(gè)算式，其結(jié)果是一個(gè)數(shù)值，而矩陣是一個(gè)數(shù)表；注4 它們記法和

5、形狀不同. 行列式記號(hào)是兩條豎杠，矩陣則是圓括號(hào)；行列式的行數(shù)和列數(shù)必需相等，而矩陣的行數(shù)和列數(shù)不一定相等. 例3. 3計(jì)算4階行列式.解 .例3. 4證明對(duì)角行列式（指主對(duì)角線以外的元素都為零）和副對(duì)角行列式（指副對(duì)角線以外的元素都為零），. 證明 由階行列式定義=. =. 例3. 5證明下三角行列式. 證明 由階行列式定義=. 我們注意到，在例3. 3中行列式第四行的零元素比第一行的零元素還要多，如果能夠按第四行展開(kāi)，計(jì)算豈不是更簡(jiǎn)單. 事實(shí)上，行列式不但可以按第一行元素展開(kāi)，還可以按任一行或任一列元素展開(kāi)，結(jié)果都是一樣的. 因此有下面按行（或按列）展開(kāi)定理: 定理3. 1 階行列式等于它

6、的任一行（或任一列）的每個(gè)元素與其所對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 或 證明略例3. 6計(jì)算階行列式解 將行列式按最后一列展開(kāi)，=. 類似地，可得到. 習(xí)題3. 11. 計(jì)算行列式. (1)； (2)；(3) ； (4).2. 計(jì)算階行列式. (1) ； (2).3. 求的值使 + =0.3. 2行列式的性質(zhì)利用定義計(jì)算階行列式，當(dāng)很大時(shí)，計(jì)算量會(huì)很大. 本節(jié)將研究行列式的性質(zhì)，借此來(lái)簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算. 設(shè)階行列式，將其行與對(duì)應(yīng)的列互換后得到的行列式稱為的轉(zhuǎn)置行列式，記為或，即.性質(zhì)1 行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等，即. 證明 用數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng)時(shí)，所以 . 假設(shè)時(shí)結(jié)論成立. 下面證明當(dāng)時(shí)結(jié)論也成立

7、. 為此，將和分別按第一行和第一列展開(kāi)，記為中第一行第列元素的代數(shù)余子式；為中第一列第行元素的代數(shù)余子式. 則有因?yàn)榕c都是階行列式，且，由歸納假設(shè)知，所以 . 性質(zhì)1表明，在行列式中行與列的地位是相同的，因此，凡對(duì)行成立的性質(zhì)，對(duì)列也都成立. 性質(zhì)1還可以用方陣的行列式形式表達(dá)：. 性質(zhì)2 互換行列式的兩行（或兩列），行列式變號(hào). 證明 用數(shù)學(xué)歸納法. 易驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立. 假設(shè)對(duì)階行列式結(jié)論成立，現(xiàn)在考察階行列式記交換的第行和第行所得到的行列式為. 因?yàn)?，所以和中必存在第行，現(xiàn)在把和分別按第行展開(kāi)，得到其中，分別為行列式和中元素所對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式. 因?yàn)楹投际请A行列式，且交換的兩行后得到，

8、由歸納假設(shè)得所以 ， 故結(jié)論成立. 推論1 若行列式中兩行（或兩列）對(duì)應(yīng)元素相同，則行列式的值為零. 性質(zhì)3 用數(shù)乘以行列式的某一行（或列）所有元素，等于用數(shù)乘此行列式. 即=. 證明 將行列式按第行展開(kāi)便得. 性質(zhì)3還告訴我們，若行列式的某一行（或列）所有元素有公因數(shù)，則此公因數(shù)可以提到行列式的外面. 推論1 若行列式中某行（或列）的元素全為零，則行列式的值為零. 推論2 若行列式中有兩行（或兩列）的元素對(duì)應(yīng)成比例，則行列式的值為零. 性質(zhì)4 若行列式中某一行（或列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式可表示為下面兩個(gè)行列式之和：.證明 將行列式按第行展開(kāi)，便得. 性質(zhì)5把行列式的某一行（或列）的

9、各個(gè)元素乘以同一數(shù)，然后加到另外一行（或列）對(duì)應(yīng)元素上去，行列式值不變. 即 證明由性質(zhì)4及性質(zhì)3便得. 性質(zhì)2、性質(zhì)3、性質(zhì)5涉及到對(duì)行列式的行（或列）的三種變換恰好與矩陣的三種初等變換相對(duì)應(yīng)，因此我們通常也把行列式的這三種變換分別記為，表示互換行列式的第行和第行；，表示用非零常數(shù)乘行列式第行所有元素；，表示用一個(gè)非零常數(shù)乘行列式第行所有元素后加到第行對(duì)應(yīng)元素上. 若 “行”換成“列”，相應(yīng)地記為，和. 例3.7已知，證明.證明 行列式的第一行都是兩項(xiàng)之和，且每一列有相同的變量，利用性質(zhì)4和性質(zhì)3得.而 .所以 左邊.性質(zhì)6行列式的某一行（或列）的元素與另外一行（或列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘

10、積之和等于零. 即 ， .證明 作行列式由中第行和第行元素相同，所以. 再將按第行展開(kāi)，得.綜合定理3. 1和性質(zhì)6，我們可以把這兩個(gè)結(jié)論用下面表達(dá)式表示： （3. 2） （3. 3）例3.8 設(shè)行列式，求（1），（2） .解（1）根據(jù)（3. 2）式，在分析行列式的特點(diǎn)，我們作第二行元素與第四行元素對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，則有，所以 . （2）由題意，把行列式的第二行元素?fù)Q為6,9,0,5，其它不變，便有=而 所以 . 性質(zhì)7 若為階方陣，是數(shù)，則. 證明 由性質(zhì)3及數(shù)與矩陣乘法便得. 性質(zhì)8 設(shè)分塊矩陣，其中，分別為階和階方陣，則，. 證明 設(shè)，對(duì)行列式作若干次或初等行變換，可將其化為下三

11、角行列式，即其中表示所作行變換的次數(shù). 在對(duì)行列式作若干次或初等列變換，可將其化為下三角行列式，即其中表示所作列變換的次數(shù). 對(duì)行列式的前行實(shí)施上述相應(yīng)的行變換，對(duì)行列式的后列實(shí)施上述相應(yīng)的列變換，便有. 又因?yàn)?，所以. 性質(zhì)9 若階分塊矩陣，其中是方陣，則. 請(qǐng)讀者自證. 性質(zhì)10若均為階方陣，則. 證明 設(shè)都是階方陣，下面作階輔助行列式由性質(zhì)8得. 現(xiàn)在證明. 為此用乘第一列，乘第二列，乘第列，都加到第列上，得，其中，由矩陣乘法知. 再將中第行與第行依次作交換，得所以 . 例3. 9 計(jì)算行列式解 化為分塊三角矩陣. 再由性質(zhì)8，有. 例3. 10 證明奇數(shù)階反對(duì)稱矩陣的行列式的值等于零

12、. 證明 設(shè)為（為奇數(shù)）階反對(duì)稱矩陣，則有，由性質(zhì)1及性質(zhì)7，得，因此有 . 習(xí)題3. 21. 計(jì)算行列式. (1) ； (2) ；(3) ； (4) .2. 計(jì)算階行列式. 3. 設(shè)，求. 4. 已知1326，2743，5005，3874都能被13整除，不計(jì)算行列式的值，試證 能被13整除5. 已知，求：（1）；（2）3. 3行列式的計(jì)算下面介紹行列式計(jì)算的幾種常用方法. 一、 化三角行列式法性質(zhì)2、性質(zhì)3和性質(zhì)5對(duì)行列式做的三種變換對(duì)應(yīng)著矩陣的三種初等變換，我們知道矩陣總可以通過(guò)初等變換化為階梯形矩陣，所以利用性質(zhì)2、性質(zhì)3和性質(zhì)5總可以把行列式化成三角行列式，之后求出其值，這種方法稱為化

13、三角行列式法. 例3. 11 計(jì)算.解 .例3. 12計(jì)算階行列式.解 . 二、降價(jià)法所謂降價(jià)法就是利用定理3. 1把階行列式展開(kāi)成個(gè)階行列式，反復(fù)使用此方法，最后求出行列式的值. 顯然當(dāng)行列式的某行（或列）有很多零元素時(shí)，該方法比較適用. 例3. 13計(jì)算.解 觀察行列式，注意到第三行零較多，利用性質(zhì)使第三行除一個(gè)元素是非零的，其余都為零. . 例3. 14計(jì)算階行列式解. 三、數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)階行列式的結(jié)果是已知的，往往可以用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明. 例 3. 15證明階范德蒙德行列式其中記號(hào)“ ”表示全體同類因子的乘積. 證明 用數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立. 假設(shè)對(duì)階范德蒙德行列式結(jié)論成立，下面

14、證明對(duì)階范德蒙德行列式結(jié)論也成立. 將從最后一行開(kāi)始，自下而上每一行減去上一行的倍，得到將其按第一列展開(kāi)，之后把每一列的公因式提出來(lái)，就得到上式右端是一個(gè)階范德蒙德行列式，由假設(shè)知，它等于，因此.綜上，結(jié)論得證. 從該例可知，當(dāng)各不相同時(shí)，范德蒙德行列式不等于零. 四、遞推法所謂遞推法就是利用行列式的性質(zhì)和展開(kāi)定理，建立階行列式與同結(jié)構(gòu)的階行行列式之間的遞推關(guān)系，找到遞推公式，求出行列式的值. 例3. 16計(jì)算階行列式.解 . 上面我們簡(jiǎn)要的介紹了計(jì)算行列式的常用方法.在具體計(jì)算之前，應(yīng)注意觀察所給行列式是否具有某些特點(diǎn)，然后考慮能否利用這些特點(diǎn)采取相應(yīng)的方法以達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的.在計(jì)算以字母

15、作元素的行列式時(shí)，更要注意簡(jiǎn)化.習(xí)題3. 31. 計(jì)算行列式. (1)； (2)； (3) .2. 計(jì)算行列式.3. 計(jì)算行列式. 4. 證明.5證明=. 3. 4 行列式的應(yīng)用行列式有十分廣泛的應(yīng)用，本節(jié)介紹行列式在矩陣和一類特殊線性方程組中的應(yīng)用. 一、行列式與矩陣可逆設(shè)為階方陣，把中元素都換成它的代數(shù)余子式，在轉(zhuǎn)置，所得到的矩陣稱為的伴隨矩陣. 由（3. 2），（3. 3）式得.由上式我們可以得到矩陣可逆的充要條件：定理3. 2 階方陣可逆的充分必要條件是，且. 證明 必要性 若可逆，則存在階方陣，使，由性質(zhì)10得，所以 . 充分性 若，由，有. 由逆矩陣的定義，于是有可逆，且. 當(dāng)時(shí)，

16、稱為非奇異矩陣，當(dāng)時(shí)，稱為奇異矩陣. 推論 若（或），則可逆，且. 證明 因?yàn)?，所以，故，因此可? 于是 . 關(guān)于矩陣的逆矩陣和伴隨矩陣的行列式有下面性質(zhì)：性質(zhì)1 （為階方陣）證明 （1）若可逆，則. 由，得，所以. （2）若不可逆，則. 因此 . 假設(shè)，則可逆，因而. 若，一定為零矩陣，這與矛盾，所以. 故. 性質(zhì)2 證明 設(shè)是階方陣，由，有. 例3. 17利用伴隨矩陣求方陣的逆矩陣. 解 求得，所以可逆. 計(jì)算中每個(gè)元素的代數(shù)余子式：，. 求得 ，所以 =. 例3. 18 求矩陣的逆矩陣（其中）. 解 對(duì)進(jìn)行分塊，又都可逆，所以.而 ， ，故 .二、行列式與矩陣的秩下面我們研究矩陣的秩與

17、行列式的關(guān)系. 為此，引入矩陣階子式的概念. 定義3. 2 設(shè)是一個(gè)矩陣，在中任取行、列，由位于這些行與列的交點(diǎn)上的個(gè)元素按原來(lái)次序構(gòu)成的階行列式，稱為階子式. 矩陣的階子式共有個(gè). 定義3. 3 設(shè)在矩陣中有一個(gè)不等于0的階子式，且所有階子式（如果存在的話）全等于0，則稱為矩陣的最高階非零子式. 例如，取中第一、二行和第三、四列交點(diǎn)上的元素構(gòu)成的2階子式取中第一、二、三行和第一、三、四列交點(diǎn)上的元素構(gòu)成的3階子式可以驗(yàn)證，中所有3階子式均為0，所以的最高階非零子式的階數(shù)是2. 通過(guò)初等變換方法可求出的秩也是2. 我們注意到，矩陣的秩就等于矩陣的最高階非零子式的階數(shù). 事實(shí)上，這個(gè)結(jié)論對(duì)任意矩

18、陣都成立，下面給出證明. 引理 若矩陣與等價(jià)，則中存在階非零子式的充分必要條件是中也存在階非零子式. 也可以表述為：中所有階子式全為0的充分必要條件是中所有階子式全為0. 證明 由矩陣等價(jià)具有對(duì)稱性，僅需證明必要性. 設(shè)是中階非零子式，是中階子式，當(dāng)經(jīng)過(guò)一次初等行變換變成，相應(yīng)的變成. （1）若是互換中的兩行，則有. （2）若是用非零常數(shù)乘以中某一行，則有. （3）若是用數(shù)乘中第行所有元素后加到第行對(duì)應(yīng)元素上，則有下面兩種情況: 若中不含中第行，或是既含中第行又含中第行，則. 若中只含中第行但不含中第行，則如果，就已經(jīng)證明中有階非零子式；如果，由上式有. 綜上中也存在階非零子式. 定理3. 3

19、 矩陣的秩等于矩陣的最高階非零子式的階數(shù). 證明 首先，設(shè)，下面分兩種情況討論：（1）當(dāng)時(shí)，則矩陣與它的標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià)，因中有階非零子式，且所有階子式全為零，所以中最高階非零子式的階數(shù)是. （2）當(dāng)時(shí)，即或，則有矩陣與它的標(biāo)準(zhǔn)形或等價(jià)，因而中有階非零子式，但不存在階子式，所以中最高階非零子式的階數(shù)是. 反之，設(shè)中最高階非零子式的階數(shù)是，下面證明. 設(shè)，由上述結(jié)論知（否則中所有階子式全為零，與已知矛盾），同時(shí)（否則中一定有階子式不為零，這也與已知矛盾），因此，即. 例3. 19設(shè)，求的秩，并求的一個(gè)最高階非零子式. 解 對(duì)進(jìn)行初等行變換化為行階梯形矩陣，所以. 由定理3. 3知中有2階非零子式. 是

20、階梯形矩陣的一個(gè)2階非零子式，由引理，中對(duì)應(yīng)有2階非零子式，所以便是的一個(gè)最高階非零子式. 三、行列式與線性方程組對(duì)于方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)的特殊線性方程組，我們給出其解與方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的關(guān)系. 定理3. 4（克拉默法則）設(shè)線性方程組 （3. 4）若其系數(shù)行列式，則方程組有唯一解，且其解可表示為 （3. 5）其中是把中的第列換成常數(shù)項(xiàng)所得的行列式，即 .證明 記，則線性方程組的矩陣表示為. 由知，可逆，所以方程組有唯一解. 又由，所以可表示為，故有 =. 推論1 如果非齊次線性方程組（3. 4）無(wú)解或有無(wú)窮解，則它的系數(shù)行列式必為零. 推論2 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式，則它只有零解

21、. 推論3 齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式. 例3. 20 解線性方程組解 系數(shù)行列式，由克拉默法則，方程組有唯一解. 而 ，. 所以 ，. 例3. 21 當(dāng)取何值時(shí)，方程組有唯一解、無(wú)解、有無(wú)窮多解？在有解的情況下，求出方程組的全部解. 解 系數(shù)行列式 ，由克拉默法則，當(dāng)時(shí)，即且時(shí)，方程組有唯一解，用公式（3. 5）求得唯一解為. 當(dāng)時(shí)，.由，方程組無(wú)解. 當(dāng)時(shí)，.由，方程組有無(wú)窮解，通解為（為任意常數(shù)），通解也可以用矩陣形式表達(dá)，即. 例3. 22 當(dāng)取何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解？并求解. 解 系數(shù)行列式，由推論3，當(dāng)時(shí)有非零解，即或. 當(dāng)時(shí)，通解為，即. 當(dāng)時(shí)，

22、通解為， 即. 習(xí)題3. 41. 已知矩陣，問(wèn)是否可逆，若可逆，求出逆矩陣. 2. (1) 是3階矩陣，的伴隨矩陣為，求. (2)設(shè)，為的伴隨矩陣，求. 3. 求下列矩陣的秩,并求一個(gè)最高階非零子式.（1）； （2）.4. 問(wèn)l 取何值時(shí), 齊次線性方程組有非零解？5. 用克拉默法則解方程. 練習(xí)三1. 填空與選擇. (1)設(shè)，是的伴隨矩陣，則. (2) 方程的根為. (3) 是階可逆矩陣，且的各行元素之和均為，則的代數(shù)余子式之和(4) 設(shè)為階方陣，則的必要條件是( ) .(A) 的兩行元素對(duì)應(yīng)成比例 (B) 中必有一行為其余行的線性組合 (C) 中有一行元素全為零 (D) 中任一行為其余行的

23、線性組合 (5) 設(shè)、都是階可逆矩陣，則（ ）.(A) (B) (C) (D) （6） 設(shè)為階方陣,是其伴隨矩陣,下列說(shuō)法不正確的是（ ）.(A) 若，則 (B) 若，則(C) 若，則 (D) （其中為階單位矩陣）2. 計(jì)算下列階行列式. (1) ；(2) . 3. 計(jì)算階行列式.4. 設(shè)是三角形的三條邊，證明：. 5. 矩陣，求，. 6. ， 其中都是3行1列矩陣，已知 求的值. 7. 證明：如果方程組有解，則行列式. 8. 已知三階矩陣的逆矩陣為，求伴隨矩陣的逆矩陣. 9. 已知實(shí)矩陣，滿足條件(1),其中是的代數(shù)余子式. (2) . 計(jì)算行列式. 10. 設(shè)矩陣，矩陣滿足，其中為的伴隨矩

24、陣， 是單位矩陣，求. 11. 試討論當(dāng)為何值時(shí)，方程組有唯一零解？有非零解？12. 設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為，三階矩陣，且，求 的值. 13. 討論取什么值時(shí)，線性方程組有解，并求解. 數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)家簡(jiǎn)介3行列式小記“行列式”這一名詞首先是由高斯(Gauss，1777-1855)在1801引入的，當(dāng)然指的不是現(xiàn)代行列式的含義，而是用以表示二次式的判別式.柯西(Caucy，1789-1857) 于1812年給出了現(xiàn)代意義下的行列式這個(gè)詞， 1841年凱萊則引入了兩條豎線,到此為止標(biāo)準(zhǔn)的行列式出現(xiàn)了.行列式最早是一種速記的表達(dá)式，現(xiàn)在已經(jīng)是數(shù)學(xué)中一種非常有用的工具. 行列式出現(xiàn)于線性方程組的求解

25、,1683年日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和著作解伏題之法，意思是“解行列式問(wèn)題的方法”，書(shū)里對(duì)行列式的概念和它的展開(kāi)已經(jīng)有了清楚的敘述.1693 年 4 月，萊布尼茨在寫(xiě)給洛比達(dá)的一封信中使用并給出了行列式，并給出方程組的系數(shù)行列式為零的條件.因此,我們認(rèn)為行列式是由關(guān)孝和和萊布尼茨發(fā)明的.1750 年，瑞士數(shù)學(xué)家克拉默 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作線性代數(shù)分析導(dǎo)引中，對(duì)行列式的定義和展開(kāi)法則給出了比較完整、明確的闡述，并給出了現(xiàn)在我們所稱的解線性方程組的克拉默法則.稍后，數(shù)學(xué)家貝祖 (E.Bezout,1730-1783) 將確定行列式每一項(xiàng)符號(hào)的方法進(jìn)行了系統(tǒng)化，利用系數(shù)行列式概念

26、指出了如何判斷一個(gè)齊次線性方程組有非零解. 第一個(gè)對(duì)行列式理論做出連貫的邏輯的闡述，把行列式理論與線性方程組求解相分離的人，是法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) .范德蒙自幼在父親的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)音樂(lè)，但對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，后來(lái)成為法蘭西科學(xué)院院士.范德蒙給出了用二階子式和它們的余子式來(lái)展開(kāi)行列式的法則.1772 年，拉普拉斯在一篇論文中證明了范德蒙提出的一些規(guī)則，推廣了他的展開(kāi)行列式的方法,得到了拉普拉斯展開(kāi)定理. 法國(guó)大數(shù)學(xué)家柯西在行列式的理論方面也做出了突出貢獻(xiàn).1815 年，柯西給出了行列式的乘法定理:,其中表示階行列式,.并給出了行列式的第一個(gè)系統(tǒng)的

27、、幾乎是近代的處理.另外，他第一把行列式的元素排成方陣，采用雙重足標(biāo)記法；引進(jìn)了行列式特征方程的術(shù)語(yǔ)；給出了相似行列式概念；改進(jìn)了拉普拉斯的行列式展開(kāi)定理并給出了一個(gè)證明等. 1825年，舍爾克(H.F.Scherk，1798-1885)給出了行列式的一系列新性質(zhì)，如其中某一行是另兩行或幾行的線性組合時(shí)，行列式為零，三角行列式的值是主對(duì)角線上的元素的乘積，等等. 德國(guó)數(shù)學(xué)家雅可比(J.Jacobi,1804-1851)在行列式理論方面是最多產(chǎn)的人，他引進(jìn)了函數(shù)行列式，即“雅可比行列式”，指出函數(shù)行列式在多重積分的變量替換中的作用，給出了函數(shù)行列式的導(dǎo)數(shù)公式.雅可比的著名論文論行列式的形成和性質(zhì)標(biāo)志著行列式