第二章行列式習(xí)題解答

1、第二章 行列式習(xí)題解答    1.決定以下9級排列的逆序數(shù)，從而決定它們的奇偶性：1）134782695；解：，偶排列；2）217986354；解：，偶排列；3）987654321；解：，偶排列.  2.選擇與使1）成偶排列；解：與一個為3，另一個為8，而是奇排列，由對換的性質(zhì)因此有；    2）成奇排列.解：與一個為3，另一個為6，而是奇排列，因此有.    3.寫出把排列變成排列的那些對換.     解：4.決定排列的逆序數(shù)，并討論它的奇偶性.解：1與

2、其他數(shù)構(gòu)成個逆序，2與其他數(shù)構(gòu)成個逆序,與其他數(shù)構(gòu)成2個逆序，與構(gòu)成1個逆序，故.當(dāng)或（為正整數(shù)）時，排列為偶排列；當(dāng)或（為正整數(shù)）時，排列為奇排列.    5.如果排列的逆序數(shù)為，排列的逆序數(shù)是多少？解：中任意兩個數(shù)碼與必在而且僅在兩個排列或中之一構(gòu)成逆序，個數(shù)碼中任取兩個的不同取法有個，因此兩個排列的逆序總數(shù)為，所以排列的逆序數(shù)為.6.在6級行列式中，這兩項應(yīng)帶有什么符號？解：，因此項帶正號；，因此項帶正號.    7.寫出四級行列式中所有帶有負(fù)號并且包含因子的項.解：因為，因此所求的項為.   &#

3、160; 8.按定義計算行列式：     1） ；     2）；     3）.解：1）該行列式含有的非零項只有，帶的符號為，值為，因此原行列式等于.     2）該行列式含有的非零項只有，帶的符號為，值為，因此原行列式等于.     3）該行列式含有的非零項只有，帶的符號為，值為，因此原行列式等于.  9.由行列式定義證明：    .

4、 證明：行列式的一般項為，列指標(biāo)只能在1,2,3,4,5中取不同值，故中至少有一個要取3,4,5中之一，而從而每一項中至少包含一個零因子，故每一項的值均為零，因此行列式的值為零.     10.由行列式定義計算            中與的系數(shù)，并說明理由.解：行列式元素中出現(xiàn)的次數(shù)都是1次的，因此含項每一行都要取含的,因此含項僅有，其系數(shù)為2，符號為正，的系數(shù)為2.類似的含項僅有，其系數(shù)為1，符號為負(fù)，的系數(shù)為. 

5、    11.由  ，證明：奇偶排列各半.證明：行列式每一項的絕對值為1，行列式的值為零，說明帶正號項的個數(shù)等于帶負(fù)號項的個數(shù).由定義，當(dāng)項的行指標(biāo)按自然順序排列時，項的符號由列指標(biāo)排列的奇偶性所確定，奇排列時帶負(fù)號，偶排列帶正號.因此奇偶排列各半.12.設(shè)，其中為互不相同的數(shù).1）由行列式定義，說明是一個次多項式；2）由行列式性質(zhì)，求的根.解：1）在行列式中只有第一行含有，出現(xiàn)最高次數(shù)為次，由為互不相同的數(shù)可得其系數(shù)不為零，因此是一個次多項式；2）用分別代，均出現(xiàn)了兩行相同，因此行列式為0.即為的全部根.   &

6、#160; 13.計算下面的行列式：     1）；         2）；    3）；               4）；    5）；    6）.   解：1）該行列式中每行元素的和為1000的倍數(shù)，第2列與第三列相差10

7、0，因此可以先把第2列和第3列分別加到第1列，然后第2列減去第3列后可得.    .   3）  4）.5）顯然當(dāng)或時均有兩行元素相同，因此行列式為0.當(dāng)時6）   .   14.證明：證明：    15.算出下列行列式的全部代數(shù)余子式：1)；    2） .解：1）.2）   16.計算下面的行列式   1）     17.計

8、算下列級行列式：1）  ；   2）3）；4）；      5）.解 1）按第一列展開得    也可以按定義計算，非零項只有兩項及值分別為和，符號分別為和，因此原行列式=2） 解：當(dāng)時，行列式等于；當(dāng)時原行列式；當(dāng)時，從第二列起，每一列減去第一列得：原行列式=3）解：從第二列起，每一列都加到第一列然后提取因子得4）解：從第二行起每一行減去第一行，然后交換1,2兩行后化為三角形得：.也可以除第2行外，每一行都減去第2行，然后化為三角形計算.  5)  解：從

9、第2列起每一列都加到第1列，然后按第一列展開得到：   .  18.證明：   1）   證明：從第2列起，每一列的倍加到第一列即可得：2.證明：當(dāng)時結(jié)論顯然成立，當(dāng)時，第一行的加到第二行，然后第二行的加到第三行，依次類推可得：證法二：按最后一列展開即可得.證法三：按第一行展開再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法證明.證法四：從最后一行起，每一行乘以加到上一行，然后按第一行展開可得：3）解:原行列式按第一行展開得:.因此有,即是以為首項,以為公比的等比數(shù)列.因此有.類似有.當(dāng)時,解得.證法二：按第一行展開找到遞推關(guān)系，再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法

10、加以證明.4）證明：對行列式的級數(shù)用第二數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時，因此結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)級數(shù)小于時結(jié)論成立，對級行列式按最后一行展開得：        由數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)論成立.    注意：因為主對角線上第一個元素為，其它主對角線上元素為，本行列式按第一行展開得到的低級數(shù)行列式與原行列式形式不同，無法得到與之間的遞推關(guān)系，而按最后一行可得到遞推關(guān)系.   5）   證明：從第二行起，每一行減去第一行先化為爪形行列式，再三角化  &#

11、160;         19.用克拉默法則解下列線性方程組：   1）           2）   3）        4）   解：1）系數(shù)行列式故方程組的解為：2.故方程組的解為：3）故方程組的解為：4）,20.設(shè)是數(shù)域中互不相同的數(shù)，是數(shù)域中任一組給定的數(shù)，用克拉默法則證明：存在唯一數(shù)域上的多項式使     證明：設(shè)，由得：把它看成關(guān)于的線性方程組，其系數(shù)行列式為一范德蒙德行列式，由互不相同可得系數(shù)行列式不為0，由克拉默法則，方程組解唯一，即滿足的多項式唯一.21.設(shè)水銀密度與溫度的關(guān)系式為   &#