行列式、高等代數(shù)

1、1 補(bǔ)充：補(bǔ)充： 行列式的定義行列式的定義 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì) 方程組的解與行列式的關(guān)系方程組的解與行列式的關(guān)系 2 111122111222112112221221122221122211212221211122 ()0 1 a xa xba aa axbab aa xa xba aa abab axa a例例： 設(shè)設(shè)有有二二元元一一次次線線性性方方程程組組 ， 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，二二階階行行列列式式行行列列式式的的定定義義1111211 221 12211122112211212122221111221122112221221 12212221, a ba bxa aaa aaabb aaa

2、a aababa abba aaaaa bb定定義義則則： 二二階階行行列列式式 ：311112212112222121122211211111211122122212222, a xa xba xa xbaaaaxxaaaaaaaabbbb這這時(shí)時(shí)，方方程程組組的的解解為為用用行行列列式式表表示示：412121223132013021 ( 2)0 322,232 ( 2)3 313133221302 03 1323131332xxxxxx 例例：解解方方程程組組的的解解解解：利利用用行行列列式式表表示示52111212122212: . 由由個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)排排成成 行行 列列的的表表格格，兩兩邊邊

3、以以豎豎線線，成成為為一一個(gè)個(gè) 階階行行列列式式元元素素階階行行列列的的定定義義式式：nnnnnnijnnnnaaaaaaaaaan6111212122212:nnijnnijnnjiaaaaaa aaiaA =jMMaijijijijn aa余子式 的去掉第 行和第 列后的行列式的: 代數(shù)余子式(-1)值階行列式的定義：nnnjnjnnijijiinijijiinjjjiijaaaaaaaaaaaaaaaaA111111111111111111111111) 1(8111111121212221111121211121111 det ()2 = 對(duì)對(duì)于于行行列列式式對(duì)對(duì)于于( (）定定義義為

4、為： 定定義義1 1階階階階行行列列式式值值第第一一上上式式稱稱為為行行列列按按的的展展開開式式。行行式式nnnnnnnnnjjjaanaaaaaaa AaAaAaaaaAn11121321222331323322232123212211121332333131122333313211223323321221332331122331132132 112332122131321322231313 3()() ()階階行行列列式式 a a aa a aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa aa aaa aa aaaa a aaaaaaaaaa2231a a101111121213

5、13221 3054112213054110 53 53 02( 1)( 2)( 1)( 1)( 1)1 -14 -14 120( 1)5 1( 2) 3 ( 1)54( 1) 3 1042( 5)( 2)( 23)( 1)359: 1 11 21 3 例例解解計(jì)計(jì)算算 a Aa Aa A1111223312233113211111221331211222233231132233331213222321123321221331322311231332331112132122230 設(shè)設(shè)有有三三元元一一次次線線性性方方程程組組 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，方方程程組組有有惟惟一一解解：a a aa a aa a

6、aa xa xa xba xa xa xba xaa a axa xbaaa aaaaaaaaaaa a abbaabxa11131112212321223133313211121311121321222321222331323331321122333313233323, , aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaabbbbbbaxx12 2 2行行列列式式的的性性質(zhì)質(zhì)13性質(zhì)性質(zhì) 2nnnnnnaaaaaaaaa212222111211.212221212111nnnnnnaaaaaaaaa行列式轉(zhuǎn)置，行列式值不變行列式轉(zhuǎn)置，行列式值不變. 即即/p>

7、1 . (1)jnjnnnjnnnnjnnaaaaaaakkkaaaaa某某一一行行（列列）的的公公因因子子可可以以提提出出 如如性性: :質(zhì)質(zhì)3 3 (2) （行列式的行列式的 “加法加法”） nnnnsnsnssssnaaacbcbcbaaa21221111211nnnnsnssnnnnnsnssnaaacccaaaaaabbbaaa212111211212111211（注意：只拆一行，其余行不變）（注意：只拆一行，其余行不變） 性質(zhì)性質(zhì) 4 : 任意對(duì)換行列式的兩行（或兩列）元素，任意對(duì)換行列式的兩行（或兩列）元素， 其值其值變號(hào)變號(hào). 如如2311315211321132.315223

8、11121311121311 )(31rr (1) () (2) 相相同同行行列列式式： 行行列列式式有有兩兩行行 列列, ,則則行行列列式式值值= =0 0成成比比例例有有兩兩行行( (列列) )，行行列列則則式式值值= =0 0推推論論 k 5.把把行行列列式式的的某某行行（列列）的的 倍倍加加到到另另一一行行（列列）上上， 行行列列式式的的性性質(zhì)質(zhì)值值不不變變18111111111111111ijnijjnttitjtnttitjtjtnnninjnnnninjnjnnaaaaaakaaaaaaaaakaaaaaaaaakaaajki列列乘乘上上 ，加加入入到到第第 列列11112211

9、211222221122 nnnnnnnnnna xa xaxbaxaxaxbaxaxaxb3 3. .1 1克克萊萊姆姆法法則則（） 定定理理當(dāng)系數(shù)行列式當(dāng)系數(shù)行列式3. 方程組的解與行列式的關(guān)系方程組的解與行列式的關(guān)系 不為零時(shí)，方程組有惟一解不為零時(shí)，方程組有惟一解：111,111,11212,122,121,1,1 jjjjjjjnjjnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa111,11,11212,12,121,1,1111,111,11212,122,1212 , jjjjjjjjjjjjnnnnnnnjnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaabbbax1,1,1 (1)jnjjnnnnnaaaaajn11112212112222112200 0nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax：