常微分方程：1-3齊次方程

1、1.3 齊次方程.,)(222111222111為任意常數(shù)其中的方程形如cbacbacybxacybxafdxdyII( )(dyyIgdxx形如)的方程(I) 形如)5 . 2()(xygdxdy.)(的連續(xù)函數(shù)是這里uug方程稱為齊次方程,求解方法:方程化為引入新變量作變量代換,)(10 xyu ,)(xuugdxdu)(udxduxdxdy這里由于解以上的變量分離方程02.30變量還原例4求解方程)0(2xyxydxdyx解:方程變形為)0(2xxyxydxdy這是齊次方程,代入得令xyu uu 2即udxdux2將變量分離后得xdxudu2udxdux兩邊積分得:cxu)ln(即為任意

2、常數(shù)ccxcxu, 0)ln(,)(ln(2代入原來變量,得原方程的通解為,0)ln(, 00)ln(,)ln(2cxcxcxxyxdxudu2例6求下面初值問題的解0) 1 (,)(22yxdydxyxy解:方程變形為2)(1xyxydxdy這是齊次方程,代入方程得令xyu 21 udxdux將變量分離后得xdxudu21兩邊積分得:cxuulnln1ln2整理后得cxuu21變量還原得cxxyxy2)(1. 1, 0) 1 (cy可定出最后由初始條件故初值問題的解為) 1(212xyxdxudu21(II) 形如,222111cybxacybxadxdy.,222111為常數(shù)這里cbacb

3、a的方程可經(jīng)過變量變換化為變量分離方程.分三種情況討論的情形0121 cc)(2211xygxybaxybaybxaybxadxdy2211為齊次方程,由(I)可化為變量分離方程.的情形022121bbaa則方程可改寫成設(shè),2121kbbaa222111cybxacybxadxdy則方程化為令,22ybxaudxdu)(22ybxaf222122)(cybxacybxak)(22ufba dxdyba22這就是變量分離方程不同時為零的情形與且21212103ccbbaa,00222111cybxacybxa則).0 , 0(),(,解以上方程組得交點平面兩條相交的直線代表xy作變量代換(坐標(biāo)變

4、換),yYxX則方程化為YbXaYbXadXdY2211為 (1)的情形,可化為變量分離方程求解.解的步驟:,0012221110cybxacybxa解方程組,yx得解方程化為作變換,20yYxXYbXaYbXadXdY2211)(XYg離方程將以上方程化為變量分再經(jīng)變換,30XYu 求解04變量還原05例7求微分方程31yxyxdxdy的通解.解:解方程組0301yxyx, 2, 1yx得代入方程得令2, 1yYxXYXYXdXdY得令,XYu uudXduX112XYXY11將變量分離后得XdXuduu21)1 (兩邊積分得:cXuuln)1ln(21arctan2變量還原并整理后得原方程

5、的通解為.)2() 1(ln12arctan22cyxxy注:上述解題方法和步驟適用于更一般的方程類型.)()(2211222111XYgYbXaYbXafdXdYcybxacybxafdxdy此外,諸如)(cbyaxfdxdy0)()(dyxyxgdxxyyf)(2xyfdxdyx)(2xyxfdxdycbyaxuxyu 2xyu xyu 以及0)(,()(,(ydxxdyyxNydyxdxyxM.,),(變量分離方程均可適當(dāng)變量變換化為些類型的方程等一次數(shù)可以不相同的齊次函數(shù)為其中yxNM例8求微分方程0)()(22dyyxxdxxyy的通解.解:,xyu 令ydxxdydu則代入方程并整

6、理得0)(1 ()1 (udxxduudxuu即0)1 (22duuxdxu分離變量后得xdxduuu212兩邊積分得cxuu2lnln1變量還原得通解為.ln1cyxxy二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例例8、雪球的融化 設(shè)雪球在融化時體積的變化率與表面積成比例，且在融化過程中它始終為球體，該雪球在開始時的半徑為6cm，經(jīng)過2小時后，其半徑縮小為3cm，求雪球的體積隨時間變化的關(guān)系。解:則表面積為雪球的體積為設(shè)在時刻),(),(tstvt)()(tksdttdv根據(jù)球體的體積和表面積的關(guān)系得)(3)4()(323231tvts再利用題中條件得引入新常數(shù),3)4(3231k3232313)4(vkdtdv36)2(,288)