常微分方程：2-1常微分方程的幾何解釋

1、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束2.1 2.1 常微分方程的幾何解釋常微分方程的幾何解釋一、一、 線素場(chǎng)線素場(chǎng),dyfx ydx 1設(shè)一階微分方程設(shè)一階微分方程 滿足解的存在唯一性滿足解的存在唯一性定理的條件。定理的條件。平面的一個(gè)區(qū)域平面的一個(gè)區(qū)域Dxy的右端函數(shù)在的右端函數(shù)在中有定義中有定義,那么，過那么，過中任一點(diǎn)中任一點(diǎn) 00,xy有且僅有有且僅有D1.3.1的一個(gè)解的一個(gè)解 yx00 xy，滿足，滿足 ,xf xx從幾何方面看，解從幾何方面看，解 yx就是通過點(diǎn)就是通過點(diǎn) 00,xy的一條的一條 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束曲線（稱為積分曲線），且曲線（稱為積分曲線），且 ,f xx就

2、是該曲線上就是該曲線上的點(diǎn)的點(diǎn) , xx處的切線斜率，特別在處的切線斜率，特別在 00,xy切線斜率切線斜率解，但我們知道它的解曲線在區(qū)域解，但我們知道它的解曲線在區(qū)域D中任意點(diǎn)中任意點(diǎn) , x y的切線斜率是的切線斜率是,f x y就是就是 00,f xy盡管我們不一定能求出方程盡管我們不一定能求出方程 1的的如果我們?cè)趨^(qū)域如果我們?cè)趨^(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn) , x y處，都畫上一個(gè)處，都畫上一個(gè)就得到一個(gè)方向場(chǎng)，將這個(gè)方向場(chǎng)稱為就得到一個(gè)方向場(chǎng)，將這個(gè)方向場(chǎng)稱為由微分方程由微分方程所確定的線素場(chǎng)。所確定的線素場(chǎng)。,f x y的值為斜率中心在的值為斜率中心在 , x y以以點(diǎn)的線段，我們點(diǎn)的線

3、段，我們 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 線素場(chǎng)對(duì)于求解微分方程的近似解和線素場(chǎng)對(duì)于求解微分方程的近似解和研究微分方程的幾何性質(zhì)極為重要，因研究微分方程的幾何性質(zhì)極為重要，因?yàn)?，可根?jù)線素場(chǎng)的走向來近似求積分為，可根據(jù)線素場(chǎng)的走向來近似求積分曲線，同時(shí)也可根據(jù)線素場(chǎng)本身的性質(zhì)曲線，同時(shí)也可根據(jù)線素場(chǎng)本身的性質(zhì)來研究解的性質(zhì)。來研究解的性質(zhì)。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束它所確定的線素場(chǎng)中的一條曲線，該曲線所經(jīng)過的它所確定的線素場(chǎng)中的一條曲線，該曲線所經(jīng)過的從幾何上看，方程從幾何上看，方程 1的一個(gè)解的一個(gè)解 yx就是位于就是位于每一點(diǎn)都與線素場(chǎng)在這一點(diǎn)的方向相切。每一點(diǎn)都與線素場(chǎng)在這一點(diǎn)的方向相

4、切。行進(jìn)的曲線，因此，求方程行進(jìn)的曲線，因此，求方程00y xy滿足初始值滿足初始值 1的這樣的一條曲線。的這樣的一條曲線。的解，就是求通過點(diǎn)的解，就是求通過點(diǎn)00,xy yx形象的說，解形象的說，解就是始終沿著線素場(chǎng)中的方向就是始終沿著線素場(chǎng)中的方向 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束例例1 在區(qū)域在區(qū)域 ,|2,2Dx yxy內(nèi)畫出方程內(nèi)畫出方程 dyydx 的線素場(chǎng)和幾條積分曲線。的線素場(chǎng)和幾條積分曲線。解：解：用計(jì)算各點(diǎn)的斜率的方法手工在網(wǎng)格點(diǎn)上用計(jì)算各點(diǎn)的斜率的方法手工在網(wǎng)格點(diǎn)上畫出線素場(chǎng)的方向可以得到線素場(chǎng)，但手工繪畫出線素場(chǎng)的方向可以得到線素場(chǎng)，但手工繪圖誤差較大。我們可以用圖誤差較大

5、。我們可以用Maple 軟件包來完成。軟件包來完成。點(diǎn)的線素相重合。點(diǎn)的線素相重合。在在L上任一點(diǎn)，上任一點(diǎn)， L的切線與的切線與 1所確定的線素場(chǎng)在該所確定的線素場(chǎng)在該 定理定理1.3L為為 1的積分曲線的充要條件是：的積分曲線的充要條件是：曲線曲線 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束Maple指令：指令：DEtoolsphaseportrait # 畫線素場(chǎng)及積分曲線(diff(y(x),x)=-y(x),y(x), # 定義微分方程x=-2.2, # 指定x范圍y(-2)=2,y(-2)=1,y(-2)=-2, # 給出3個(gè)初始值dirgrid=17,17, # 定義網(wǎng)格密度arrows=LI

6、NE, # 定義線段類型axes=NORMAL; # 定義坐標(biāo)系類型類型yy 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束回車后回車后MapleMaple就在就在 1144條積分曲線，見下圖條積分曲線，見下圖 的圖形，并給出了過點(diǎn)的圖形，并給出了過點(diǎn)的網(wǎng)格點(diǎn)上畫出了線素場(chǎng)的網(wǎng)格點(diǎn)上畫出了線素場(chǎng)(-2,2)(-2,1)(-2, 2)的三的三 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 所謂所謂圖解法圖解法就是不用微分方程解的具體表達(dá)式，就是不用微分方程解的具體表達(dá)式，直接根據(jù)右端函數(shù)的結(jié)構(gòu)和線素場(chǎng)作出積分曲線直接根據(jù)右端函數(shù)的結(jié)構(gòu)和線素場(chǎng)作出積分曲線的大致圖形。的大致圖形。 圖解法只是定性的，只反映積分曲線的一部分主圖解法只

7、是定性的，只反映積分曲線的一部分主要特征。要特征。 該方法的思想?yún)s十分重要。因?yàn)槟軌蛴贸醯确椒ㄔ摲椒ǖ乃枷雲(yún)s十分重要。因?yàn)槟軌蛴贸醯确椒ㄇ蠼獾姆匠虡O少，用圖解法來分析積分曲線的性求解的方程極少，用圖解法來分析積分曲線的性態(tài)對(duì)了解該方程所反映的實(shí)際現(xiàn)象的變化規(guī)律就態(tài)對(duì)了解該方程所反映的實(shí)際現(xiàn)象的變化規(guī)律就有很重要的指導(dǎo)意義。有很重要的指導(dǎo)意義。二、二、 積分曲線的圖解法積分曲線的圖解法 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù) c ，由方程，由方程,f x yc 2所決定的曲線上任意一點(diǎn)所決定的曲線上任意一點(diǎn) ,P x y處方程處方程 1的向的向稱為微分方程稱為微分方程 1的的等

8、傾線等傾線。量場(chǎng)的方向都相同，即量場(chǎng)的方向都相同，即 我們把我們把 2所確定的曲線所確定的曲線例如：微分方程例如：微分方程yy 的等傾線為的等傾線為yc22yxy 的等傾線為的等傾線為222xyc零等傾線，即零等傾線，即,0f x y 也稱也稱極值曲線極值曲線。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束拐點(diǎn)曲線：拐點(diǎn)曲線： yx( , )f x y積分曲線積分曲線的拐點(diǎn)也可以從的拐點(diǎn)也可以從得到。得到。( , )f x y設(shè)設(shè)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則一個(gè)點(diǎn)成為有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則一個(gè)點(diǎn)成為 yx的拐點(diǎn)的必要條件是的拐點(diǎn)的必要條件是 0 x，代入，代入方程方程 1,0 xyyfx yfx y f x y 3得得 則稱它為則稱它為拐點(diǎn)曲線拐點(diǎn)曲線。若由若由所確定的曲線本身不是所確定的曲線本身不是 1 1的積分曲的積分曲線，且方程線，且方程 1的積分曲線在它上面存在拐點(diǎn)時(shí)，的積分曲線在它上面存在拐點(diǎn)時(shí)， 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束例例1.3.4 討論方程討論方程xyye 的拐點(diǎn)曲線。的拐點(diǎn)曲線。解：解：由方程得由方程得2xxyyeye0y 2xye 令令得得容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證不是方程的積分曲線，它將不是方程的積分曲線，它將 2xye xy平面分為平面分為 和和 1D