新課標——回歸教材函-數(shù)

1、新課標回歸教材函數(shù)1.函數(shù)的概念.理解注意(1):都是非空數(shù)集;(2)任意性:集合中的任意一個元素;(3)唯一性:在集合中有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng);(3)定不定:集合一定是函數(shù)的定義域,集合不一定是函數(shù)的值域,函數(shù)值域一定是集合的子集.典例:(1)函數(shù)圖像與直線至多有一個公共點,但與直線的公共點可能沒有,也可能有任意個.(2),那么集合中元素有 0或1 個;(3)假設(shè)函數(shù)的定義域、值域都是閉區(qū)間,那么 2 .2.同一函數(shù).函數(shù)三要素是:定義域,值域和對應(yīng)法那么.而值域可由定義域和對應(yīng)法那么唯一確定,因此當兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法那么相同時,它們一定為同一函數(shù).典例:假設(shè)一系列函數(shù)的解析式相同,值

2、域相同,但其定義域不同,那么稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù),那么解析式為,值域為4,1的“孿生函數(shù)共有 9 個.3.映射的概念.理解注意:映射是函數(shù)概念的推廣,表現(xiàn)在集合可以為任意非空集合,不一定是表示數(shù),可以是其它人或事物本身.典例:(1)設(shè)集合,映射滿足條件“對任意的,是奇數(shù),這樣的映射有 12 個;(2)設(shè)是集合到集合的映射,假設(shè),那么一定是.4.求函數(shù)定義域的常用方法一切函數(shù)問題:定義域優(yōu)先(1)使函數(shù)的解析式有意義.解析式求定義域解析式求定義域解析式求定義域為偶數(shù))(,)典例:(1)函數(shù)的定義域是;(2)假設(shè)函數(shù)的定義域為R,那么;(3)函數(shù)定義域是,且,那么函數(shù)定義域是;(4)設(shè)函數(shù),假設(shè)

3、的定義域是R,求實數(shù)的取值范圍;假設(shè)的值域是R,求實數(shù)的取值范圍答:; (2)使實際問題有意義.實際問題有意義實際問題有意義實際問題有意義三角形中，最大角,最小角距離或弧長或面積或體積等為正數(shù)年月日等為正整數(shù)(3)復(fù)合函數(shù)的定義域.簡單函數(shù)定義域復(fù)合函數(shù)定義域求法備注假設(shè)的定義域為那么的定義域由不等式解出解不等式復(fù)合函數(shù)定義域簡單函數(shù)定義域求法備注假設(shè)的定義域為那么的定義域為在上的值域求值域法典例:(1)假設(shè)函數(shù)的定義域為,那么的定義域為;(2)假設(shè)函數(shù)的定義域為,那么函數(shù)的定義域為5.求函數(shù)值域(最值)的方法:(1)配方法二次函數(shù)二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類:一是求閉區(qū)間上的最值;二是求

4、區(qū)間定動,對稱軸動定的最值問題.求二次函數(shù)的最值問題,勿忘數(shù)形結(jié)合,注意“兩看:一看開口方向;二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系.典例:(1)函數(shù)的值域是;(2)在時有最大值,那么;(2)換元法通過換元把一個較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù),其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式.典例:(1)的值域為;(2)的值域為;令,注意:換元要等價;(3)的值域為;()(4)的值域為;(令)(3)函數(shù)有界性法利用已學(xué)過函數(shù)的有界性,如三角函數(shù)的有界性.典例:函數(shù),值域分別是:;(4)單調(diào)性法利用函數(shù)的單調(diào)性.典例:(1)求,的值域為;(5)數(shù)形結(jié)合法函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義,如兩點的距離、直線斜率等.

5、典例:(1)假設(shè)點,那么及的取值范圍;(2)函數(shù)的值域;(3)函數(shù)的值域注意:異側(cè)和最小,同側(cè)差最大.(6)判別式法分式函數(shù)(分子或分母中有一個是二次),其定義域通常為典例:(1)函數(shù)的值域(2)假設(shè)的定義域為R,值域為0,2,求常數(shù)的值答:(7)不等式法利用根本不等式求函數(shù)的最值或值域.其題型特征解析式是和式時要求積為定值,解析式是積時要求和為定值,不過有時須要用到拆項、添項和平方等技巧.典例:(1)型,可直接用不等式性質(zhì),如函數(shù)的值域.(2)型, ,如函數(shù)的值域(3)型,如函數(shù)的值域;函數(shù)的值域 .(4) 設(shè)成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,那么的取值范圍是.(8)導(dǎo)數(shù)法一般適用于高次多項式函數(shù).典

6、例:函數(shù),的最小值是.提醒:(1)寫函數(shù)的定義域、值域時,你按要求寫成集合形式了嗎？(2)函數(shù)的最值與值域之間有何關(guān)系？典例:函數(shù)且的值域是,不要錯覺為.6.分段函數(shù)的概念.分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上,分別用幾個不同的式子來表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù),它是一類較特殊的函數(shù).在求分段函數(shù)的值時,一定首先要判斷屬于定義域的哪個子集,然后再代相應(yīng)的關(guān)系式;分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集.典例:(1)設(shè)函數(shù),那么不等式的解集為;(2),那么不等式的解集是.7.求函數(shù)解析式的常用方法:(1)待定系數(shù)法所求函數(shù)的類型二次函數(shù)的表達形式有三種:一般式:;頂點式:;零點式:,要會

7、根據(jù)條件的特點,靈活地選用二次函數(shù)的表達形式.典例:假設(shè)為二次函數(shù),且,且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為2,求的解析式.答:(2)代換(配湊)法形如的表達式,求的表達式.典例:(1)求的解析式答:;這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價性,即的定義域應(yīng)是的值域.(2)假設(shè),那么函數(shù)=;(3)假設(shè)是奇函數(shù),且,那么時,= . (3)方程的思想條件是含有及另外一個函數(shù)的等式,可抓住等式的特征對等式的進行賦值,從而得到關(guān)于及另外一個函數(shù)的方程組.典例:(1),求的解析式答:;(2)是奇函數(shù),是偶函數(shù),且+= ,那么=.8.函數(shù)的奇偶性.(1)具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征:定義域必須關(guān)

8、于原點對稱！為此確定函數(shù)的奇偶性時,務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱.典例:假設(shè)為奇函數(shù),其中,那么值是 0 ;(2)確定函數(shù)奇偶性的常用方法假設(shè)函數(shù)解析式較為復(fù)雜,應(yīng)先化簡,再判斷其奇偶性:定義法: 典例:(1)判斷函數(shù)的奇偶性 奇函數(shù)_.(2)判斷函數(shù)的奇偶性 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) ;利用函數(shù)奇偶性定義的等價形式:或().典例:判斷的奇偶性 偶函數(shù) .圖像法:奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱;偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.典例:判斷的奇偶性 奇函數(shù) .(3)函數(shù)奇偶性的性質(zhì):奇(偶)函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上假設(shè)有單調(diào)性,那么其單調(diào)性完全相同(反).假設(shè)為偶函數(shù),那么.典例:假設(shè)偶函數(shù)在上單調(diào)遞減,

9、且=2,那么不等式的解集為假設(shè)奇函數(shù)定義域中含有0,那么必有.故是為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件. 典例:假設(shè)為奇函數(shù),那么實數(shù) 1 .定義在關(guān)于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數(shù),都可表示成“一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和或差.典例:設(shè)是定義域為R的任一函數(shù), ,.判斷與的奇偶性; 答案:;假設(shè)將函數(shù),表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)之和,那么復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點是:“內(nèi)偶那么偶,內(nèi)奇同外.既奇又偶函數(shù)有無窮多個(,定義域是關(guān)于原點對稱的任意一個數(shù)集).9.函數(shù)的單調(diào)性.(1)確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法:在解答題中常用:定義法取值作差變形定號、導(dǎo)數(shù)法在區(qū)間內(nèi),假設(shè)總有,那么為增函數(shù);反之,假設(shè)在

10、區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),那么,請注意兩者的區(qū)別所在.典例:函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),那么的取值范圍是;在小題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等,特別要注意雙勾函數(shù)圖象和單調(diào)性在解題中的運用:增區(qū)間為,減區(qū)間為和.典例:(1)假設(shè)函數(shù)在上是減函數(shù),那么取值范圍是;(2)函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),那么實數(shù)的取值范圍;(3)假設(shè)函數(shù)的值域為R,那么的取值范圍是;復(fù)合函數(shù)法:復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點是同增異減.典例:函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.特別提醒:求單調(diào)區(qū)間時,第一,勿忘定義域;典例:假設(shè)在區(qū)間上為減函數(shù),那么的取值范圍;第二,在多個單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號“和“或;第三,單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示

11、; 第四,你注意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎?比較大小;解不等式;求參數(shù)范圍. 典例:奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),假設(shè),求實數(shù)的取值范圍.答:10. 常見的圖象變換的圖象是把函數(shù)圖象沿軸向左平移個單位得到的.典例:設(shè)的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱,的圖像由的圖像向右平移1個單位得到,那么為(的圖象是把函數(shù)圖象沿軸向右平移個單位得到的.典例: (1)假設(shè),那么函數(shù)的最小值為 2 ;(2)要得到的圖像,需作關(guān)于 y 軸對稱圖像,再向右平移3個單位而得到;(3)函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)有 2 個.函數(shù)+圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向上平移個單位得到的;函數(shù)+圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向下平移個單位得到的; 典例:

12、將函數(shù)的圖象向右平移2個單位后又向下平移2個單位,所得圖象如果與原圖象關(guān)于直線對稱,那么 ( C ) 函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的得到的.典例:(1)將函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?縱坐標不變),再將此圖像沿軸方向向左平移2個單位,所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為;(2)如假設(shè)函數(shù)是偶函數(shù),那么函數(shù)的對稱軸方程是函數(shù)圖象是把函數(shù)圖象上各點縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫降? 11. 函數(shù)的對稱性.滿足條件的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.典例:假設(shè)滿足且方程有等根,那么.點關(guān)于軸對稱點為;函數(shù)關(guān)于軸的對稱曲線方程為;點關(guān)于軸對稱點為;函數(shù)關(guān)于軸的對稱曲線方程為; 點關(guān)于原點對稱點為;函數(shù)關(guān)于原點對稱曲線

13、方程為; L:點關(guān)于直線的對稱點為;曲線關(guān)于直線的對稱曲線的方程為.特別地,點關(guān)于直線的對稱點為;曲線關(guān)于直線的對稱曲線的方程為;點關(guān)于直線的對稱點為;曲線關(guān)于直線的對稱曲線的方程為.典例:己知函數(shù),假設(shè)的圖像是,它關(guān)于直線對稱圖像是關(guān)于原點對稱的圖像為對應(yīng)的函數(shù)解析式是;曲線關(guān)于點的對稱曲線的方程為.典例:假設(shè)函數(shù)與的圖象關(guān)于點-2,3對稱,那么.形如的圖像是雙曲線,其兩漸近線分別直線(由分母為零確定)和直線(由分子、分母中的系數(shù)確定),對稱中心是點.典例:函數(shù)圖象與關(guān)于直線對稱,且圖象關(guān)于點對稱,那么a的值為 2 .的圖象先保存原來在軸上方的圖象,作出軸下方的圖象關(guān)于軸的對稱圖形,然后擦去

14、軸下方的圖象得到;的圖象先保存在軸右方的圖象,擦去軸左方的圖象,然后作出軸右方的圖象關(guān)于軸的對稱圖形得到.典例:(1)作出函數(shù)及的圖象; (2)假設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),那么函數(shù)的圖象關(guān)于對稱.提醒:(1)從結(jié)論可看出,求對稱曲線方程的問題,實質(zhì)上是利用代入法轉(zhuǎn)化為求點的對稱問題;(2)證明函數(shù)圖像的對稱性,即證明圖像上任一點關(guān)于對稱中心對稱軸的對稱點仍在圖像上;(3)證明圖像與的對稱性,需證兩方面:證明上任意點關(guān)于對稱中心對稱軸的對稱點仍在上;證明上任意點關(guān)于對稱中心對稱軸的對稱點仍在上.典例:(1)函數(shù).求證:函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱圖形; (2)設(shè)曲線C的方程是,將C沿軸, 軸正方

15、向分別平行移動單位長度后得曲線.寫出曲線的方程答:;證明曲線C與關(guān)于點對稱.12. 函數(shù)的周期性.(1)類比“三角函數(shù)圖像得假設(shè)圖像有兩條對稱軸,那么必是周期函數(shù),且一周期為;假設(shè)圖像有兩個對稱中心,那么是周期函數(shù),且一周期為;如果函數(shù)的圖像有一個對稱中心和一條對稱軸,那么函數(shù)必是周期函數(shù),且一周期為;典例:(1)定義在上的函數(shù)是以2為周期的奇函數(shù),那么方程在上至少有 5 個實數(shù)根.(2)由周期函數(shù)的定義“函數(shù)滿足,那么是周期為的周期函數(shù)得:函數(shù)滿足,那么是周期為2的周期函數(shù);假設(shè)恒成立,那么;假設(shè)恒成立,那么.假設(shè)恒成立,那么.類比記憶.典例:(1)設(shè)是上的奇函數(shù),當時,那么=;(2)定義在

16、上的偶函數(shù)滿足,且在上是減函數(shù),假設(shè)是銳角三角形的兩個內(nèi)角,那么的大小關(guān)系為;(3)是偶函數(shù),且=993,=是奇函數(shù),求的值(答:993);(4)設(shè),又,那么=.13.指數(shù)式、對數(shù)式:, .典例:(1)的值為 8 ;(2)的值為(3)函數(shù),定義使為整數(shù)的數(shù)叫做企盼數(shù),那么在區(qū)間內(nèi)這樣的企盼數(shù)共有 9 個.14. 指數(shù)、對數(shù)值的大小比較:(1)化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性; (2)作差或作商法; (3)利用中間量(0或1); (4)化同指數(shù)(或同真數(shù))后利用圖象比較. 15. 函數(shù)的應(yīng)用. (1)求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般步驟:審題認真讀題,確切理解題意,明確問題的實際背景,尋找各量之間的內(nèi)存聯(lián)系;建模通

17、過抽象概括,將實際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題,別忘了注上符合實際意義的定義域;解模求解所得的數(shù)學(xué)問題;回歸將所解得的數(shù)學(xué)結(jié)果,回歸到實際問題中去. (2)常見的函數(shù)模型有:建立一次函數(shù)或二次函數(shù)模型;建立分段函數(shù)模型;建立指數(shù)函數(shù)模型;建立雙勾函數(shù)型.典例:某旅店有客床100張,各床每天收費10元時可全部額滿.假設(shè)每床每天收費每提高2元,那么減少10張客床租出,這樣,為了減少投入多獲利,每床每天收費應(yīng)提高( B )A 2元 B 4元 C 6元 D 8元16. 抽象函數(shù)抽象函數(shù)通常是指沒有給出函數(shù)的具體的解析式,只給出了其它一些條件如函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等的函數(shù)問題.求解抽象函數(shù)問題的常用方法是:(1)借鑒模特函數(shù)進行類比探究.幾類常見的抽象函數(shù):正比例函數(shù)型: -;冪函數(shù)型: -,;指數(shù)函數(shù)型: -,; 對數(shù)函數(shù)型: -,; 三角函數(shù)型: - .典例:假設(shè)是R上的奇函數(shù),且為周期函數(shù),假設(shè)它的周期為T,那么 0 .(2)利用函數(shù)的性質(zhì)如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等進行演繹探究典例:(1)設(shè)函