多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)題及答案

1、第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用復(fù)習(xí)題及解答提示：令yk2x2、選擇題1.極限叫y 0(A)等于0(B)不存在 (C)(D)存在且不等于i丄2、設(shè)函數(shù) f (x, y) xsin y0.1 y sin xxyxy那么極限 lim f (x, y)=x 0丿y 0等于0(D) 等于23、設(shè)函數(shù)f (x, y)xy x2 0x2提示：在xy2 0，0，那么 f(x,y)y2 0f (x,y)處處連續(xù)；在x 0, y 0，令 ykx，kx2T0x2=k2x2kxlim =0x 0 -.,1 k2f(0,0)，故在x2y20,函數(shù)亦連續(xù)所以,提示：有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小(C)(A)不存在(B)

2、 等于1處處有極限，但不連續(xù) 除0,0點(diǎn)外處處連續(xù)(B)(D)f (x, y)在整個(gè)定義域內(nèi)處處連續(xù)(A)處處連續(xù)(C)僅在0,0點(diǎn)連續(xù)4、函數(shù)z f (x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處具有偏導(dǎo)數(shù)是它在該點(diǎn)存在全微分的(A)必要而非充分條件(B)充分而非必要條件(D)既非充分又非必要條件(C)充分必要條件5、設(shè) u arctan#，貝U =x(A)x y(B)(C)(D)x6設(shè) f(x,y)arcsinA147、設(shè) zarctan ，x uyBD£ZvA U V2u vB： U2u vcU v2du vv u2 2 u v8、假設(shè) f (x,2x) x23x, fx(x,2x)6x 1，

3、那么 fy(x,2x) =D3(A) x 3(B) x 3(C)2x 1(D)2x 1229、設(shè) zyx，那么(上)(2,1)A xy(A) 2(B) 1+l n2(C) 0(D) 110、設(shè) z xye xy，那么 zx(x, x)2 x22 x2x(1 x )e (D)x(1 x )e2 x22 x2(A) 2x(1 x )e (B) 2x(1 x )e (C)11、曲線x 2 sint,y 4cost,z t在點(diǎn)(2,0-)處的法平面方程是C(A) 2x z 4(B) 2x z 4 (C) 4y z(D) 4y z -2 2 2 212、曲線4x y5,yz,在點(diǎn)(8,2,4)處的切線方

4、程是A(A)x208 y20x 8(C)y52 z 442 z 44(B)x 12z 4(D)20'4x 3“ zy 15413、曲面 xcoszy cosx z在點(diǎn)-,1,0處的切平面方程為:D2222Ax z1Bx y1Cx y -Dx z一2214、曲面 x2 yz xy2z36在點(diǎn)(3,2,1)處的法線方程為AAx 5 y5z 19Bx 3y 2z 183188318C8x 3y18z0D8x 3y18z1215、設(shè)函數(shù)z 1x2y2，那么點(diǎn)(0,0)是函數(shù)z的BA極大值點(diǎn)但非最大值點(diǎn)B極大值點(diǎn)且是最大值點(diǎn)C極小值點(diǎn)但非最小值點(diǎn)D極小值點(diǎn)且是最小值點(diǎn)16、設(shè)函數(shù)z f (x,

5、y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在P0(x0,y0)處，有fx(P°) 0, fy(P°) 0, fxx(P°) fyy(P°) °, fxy(P。)fyx(P°) 2，那么C A點(diǎn)P0是函數(shù)z的極大值點(diǎn)B點(diǎn)P0是函數(shù)z的極小值點(diǎn)C點(diǎn)P0非函數(shù)z的極值點(diǎn)D條件不夠，無(wú)法判定17、函數(shù) f (x,y,z) z2 在 4x2 2y2z21條件下的極大值是(A) 1(B)(C)(D)、填空題1、極限 lim sin(xy)-x (y2、3、4、5、6、)xln(yx2 e )=.答: ln2)r 2x2 y,ln( xy)的疋義域?yàn)?答：x y1a

6、rcs in x “的定乂域?yàn)閥.答：1 x1，y0f(x,y)x22yyxyln 三，x那么 f (kx, ky)=.答：k2f(x,y)xy，那么 f(x y,x yy)=答：2 2x yx2xx y, xy)(x y)(x y)2 2x y 2x(x y) (x y)函數(shù)z函數(shù)z設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x，y)01極限limx 'y7、設(shè) f(x,y)ln(1A2x2x2y2y1/2，要使f(x,y)處處連續(xù)，那么1/2A=.答:ln28、設(shè) f(x,y)ta n(x22 2 xA那么A=2函數(shù)z -y2)(x, y)(x,y)(0,0)，要使f (x, y)在0，0處連續(xù),(0,0)

7、.答：12仝的間斷點(diǎn)是x 1答：直線x 1 0上的所有點(diǎn)10、函數(shù)f(x,y) 2 1 2 cos，的間斷點(diǎn)為x y x.答：直線y x及x 011、設(shè) z sin (3x y) y，貝 x2X y 1 .答：3cos512、設(shè) f (x,y). x2，那么 fy(0,1) =13、設(shè) u(x, y,z)那么du(1,2,3)3.答: -dx8-dy16hn2dz814、設(shè)ux那么在極i坐標(biāo)系下，u =.答：02 2、X yr15、設(shè)Uxy y，那么2u =2 答:2y 3xxx16、設(shè)Uxln xy，貝u 2u =.答:-x yy17、函數(shù)y y(x)由 12x yey所確定,那么dy =.

8、答dx18、設(shè)函?數(shù) z z(x, y)由方程xy2z xyz所確定，那么z _y2xy ey x2.答:2xyz 12xy19、由方程xyzx2y2 z2、2所確定的函數(shù)z z(x,y)在點(diǎn)1，0,- 1處的全微分dz =.答: d x , 2d y20、曲線 x t2,y 2t,z21、曲線xy 222t2te ,yA3在點(diǎn)(1,2,-)處的切線方程是33133e2t,z t2e2t在對(duì)應(yīng)于t 1點(diǎn)處的法平面方程是答：x 3y 11e222、曲面 xey y2e2z2-1在點(diǎn)(2, 1,0)處的法線方程為 ez2e3 3x z e答：x 2工丄2 2e23、曲面 arctan-1 xz;在

9、點(diǎn)(2,1'0)處的切平面方程是.答：y 2z 1124、設(shè)函數(shù)z z(x,y)由方程-x2 3xy y2 5x 5y ez 2z 4確定，那么函數(shù)z的駐點(diǎn)是.答：一 1, 227、函數(shù) z 2x2 3y2 4x 6y 1 的駐點(diǎn)是.答：1,1 25、 假設(shè)函數(shù)f (x,y) x2 2xy 3y2 ax by 6在點(diǎn) (1, 1)處取得極值，那么常數(shù) a ，b .答：a 0，b 426、 函數(shù)f(x,y,z) 2x2在x2 y2 2z2 2條件下的極大值是 : 4三、計(jì)算題1、求以下二元函數(shù)的定義域，并繪出定義域的圖形 .(1) z ,1 x2 y2(2)z ln(x y)(3) z

10、1(4)z ln(xy 1)ln(x y)解: (1)要使函數(shù)z .1 x2 y2有意義，必須有1 x2 y2 0，即有x2 y2 1.故所求函數(shù)的定義域?yàn)镈 ( x, y) | x2 y2 1,圖形為圖3.1(2) 要使函數(shù)z ln(x y)有意義，必須有x y 0.故所有函數(shù)的定義域?yàn)镈 (x,y)|x y 0，圖形為圖 3.21(3) 要使函數(shù)z -有意義，必須有l(wèi)n(x y) 0，即x y 0且ln(x y)x y 1.故該函數(shù)的定義域?yàn)镈 (x, y)|x y 0, x y 1，圖形為圖3.3(4) 要使函數(shù)z In(xy 1)有意義，必須有xy 1 0 .故該函數(shù)的定義域?yàn)镈 (

11、x, y) | xy 1，圖形為圖 3.4Jy%x+y=0 %,O*-%t.1 x r圖3.1圖3.2y1/y=1/x21x *圖3.42、求極限 lim ysin2xx 0y 0 xy解: lim ysin2xx 0y 0ysin2x ( xy 11)lim ''= 4x 0y 0xy13、求極限limx 0y 0、x2yy13 2sin(xy).x解：原式=xim0y o2x y32'2x y (1, x y1)sin(xy)xi叫1y 01，X2sin (xy)xy4、求極限lim04 J6xxyexyx解: lim- xyex 04y 0xyJ16 xy)= -

12、8xy5、設(shè)uxsin yycosx，求Ux,Uy.解：usin yysin xUyxcosy cosx&設(shè)zy xeye x ，求 Zx,Zy.解：Zxeyye xzyxey e7、設(shè)函數(shù)zz(x, y)由 yz zx xy3所確定，試求其中解一：原式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得x二 z y 0,那么二xx1同理可得:y x解二:解：由ZxZy4x3x3y4y得駐點(diǎn)(1,0)ZFxzyzFyz xxFyyJxyFxy x8、求函數(shù)z 2x23xy2y24x3y 1的極值.zxxzxy43D70zyxzyy34zxx40，函數(shù)z在點(diǎn)(1,0)處取極小值z(mì)( 1,0)1.9、設(shè)z3x e2y而xcos

13、t,yt2，求 X.dt解：dz dt3e3x 2y/. ,xo 3x 2y(si nt) 2e(2t)(3si nt4t)e3x 2y10、設(shè) zxyln (xy)，求.zzxy解：zxyxln yln xy1x-yZyxyx 1l n(、1xy)-xyxy11、設(shè) ux ayzlnax(a0)，求du .解：丄x ayzlnaax1uax yz zln aux yzya ln axyzd u/ x(ayzlnaax1)dx ax yzln a(zd yydz)12、求函數(shù)z in(x2 y2 exy)的全微分.解：xxy2x ye22 xy ,x y exyz 2y xe22 xyy x

14、y e1x2 y2exy(2xyexy)dx (2y xexy)dy四、應(yīng)用題1、要造一容積為128立方米的長(zhǎng)方體敞口水池，水池側(cè)壁的單位造價(jià)是底 部的2倍，問(wèn)水池的尺寸應(yīng)如何選擇，方能使其造價(jià)最低？解：設(shè)水池的長(zhǎng)、寬、高分別為x,y,z米.水池底部的單位造價(jià)為a.那么水池造價(jià) S xy 4xz 4yz a且 xyz 128令Lxy 4xz4yzxyz 128Lxy 4zyz0由Lyx 4zxz0Lz4x 4yxy0Lxyz 128 0得xy8z28 米、 8由于實(shí)際問(wèn)題必定存在最小值，因此當(dāng)水池的長(zhǎng)、寬、高分別為米、 2 米時(shí)，其造價(jià)最低 .2、某工廠生產(chǎn)兩種商品的日產(chǎn)量分別為 x和y件，總

15、本錢函數(shù)22C(x,y) 8x xy 12y 元 .商品的限額為 x y 42 ，求最小本錢 .解：約束條件為 (x,y) x y 42 0 ，構(gòu)造拉格朗日函數(shù) F(x,y, ) 8x2 xy 12y2(x y 42)，F(xiàn)x 16x y 0解方程組 Fyx 24y0，得唯一駐點(diǎn) (x,y) (25,17) ，F(xiàn) x y 42 0由實(shí)際情況知， (x,y) (25,17)就是使總本錢最小的點(diǎn)，最小本錢為C ( 25,17) 8043 元 .3、某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品甲和乙，出售單價(jià)分別為10元與9元，生產(chǎn)x單位的產(chǎn)品甲與生產(chǎn)y單位的產(chǎn)品乙的總費(fèi)用是400 2x 3y 0.01(3x 2 xy 3y2

16、) 元， 求取得最大利潤(rùn)時(shí)，兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少？解： L(x,y) 表示獲得的總利潤(rùn)，那么總利潤(rùn)等于總收益與總費(fèi)用之差，即有 利潤(rùn)目標(biāo)函數(shù) L(x,y) (10x 9y) 400 2x 3y 0.01(3x2 xy 3y2)228x 6y 0.01(3x 2 xy 3y2) 400,(x 0,y 0) ，Lx 8 0.01(6x y) 0 令x，解得唯一駐點(diǎn)120, 80.Ly 6 0.01(x 6y) 0又因 A Lxx 0.06 0,B Lxy 0.01,C Lyy 0.06，得23AC B 3.5 100.得極大值L(120,80) 320.根據(jù)實(shí)際情況，此極大值就是最大值.故生產(chǎn)120單位產(chǎn)品甲與80單位產(chǎn)品乙時(shí)所得利潤(rùn)最大320元.五、證明題1、設(shè) z e(