解析版初中數(shù)學(xué)中的折疊問(wèn)題

1、 初中數(shù)學(xué)中的折疊問(wèn)題 QQ : 1519819521初中數(shù)學(xué)中的折疊問(wèn)題監(jiān)利縣第一初級(jí)中學(xué) 劉光杰折疊問(wèn)題（對(duì)稱(chēng)問(wèn)題）是近幾年來(lái)中考出現(xiàn)頻率較高的一類(lèi)題型，學(xué)生往往由于對(duì)折疊的實(shí)質(zhì)理解不夠透徹，導(dǎo)致對(duì)這類(lèi)中檔問(wèn)題失分嚴(yán)重。本文試圖通過(guò)對(duì)在初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及到的幾種折疊的典型問(wèn)題的剖析，從中抽象出基本圖形的基本規(guī)律，找到解決這類(lèi)問(wèn)題的常規(guī)方法。其實(shí)對(duì)于折疊問(wèn)題，我們要明白：1、折疊問(wèn)題（翻折變換）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱(chēng)變換2、折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等3、對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問(wèn)題可以實(shí)際操作圖形的折疊，在

2、畫(huà)圖時(shí)，畫(huà)出折疊前后的圖形，這樣便于找到圖形之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系4、在矩形（紙片）折疊問(wèn)題中，重合部分一般會(huì)是一個(gè)以折痕為底邊的等腰三角形5、利用折疊所得到的直角和相等的邊或角，設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求解一、矩形中的折疊1將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖的方式折疊，其中BC，BD為折痕，折疊后BG和BH在同一條直線上，CBD= 度BC、BD是折痕，所以有ABC = GBC，EBD = HBD則CBD = 90°折疊前后的對(duì)應(yīng)角相等2如圖所示，一張矩形紙片沿BC折疊，頂點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，再過(guò)點(diǎn)A折疊使

3、折痕DEBC，若AB=4，AC=3，則ADE的面積是 沿BC折疊，頂點(diǎn)落在點(diǎn)A處，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到BC垂直平分AA，即AF = AA，又DEBC，得到ABC ADE，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面積 = 24對(duì)稱(chēng)軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線3如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對(duì)角線BD重合，得折痕DG，求AG的長(zhǎng)由勾股定理可得BD = 5，由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得ADG ADG，由AD = AD = 3，AG = AG，則AB = 5 3 = 2，在RtABG中根據(jù)勾股定理，列方程可以求出AG的值根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到相等的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，再在直角

4、三角形中根據(jù)勾股定理列方程求解即可4把矩形紙片ABCD沿BE折疊，使得BA邊與BC重合，然后再沿著B(niǎo)F折疊，使得折痕BE也與BC邊重合，展開(kāi)后如圖所示，則DFB等于（）根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到ABE=CBE，EBF=CBF，據(jù)此即可求出FBC的度數(shù)，又知道C=90°，根據(jù)三角形外角的定義即可求出DFB = 112.5°注意折疊前后角的對(duì)應(yīng)關(guān)系5如圖，沿矩形ABCD的對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折疊后重合部分的面積點(diǎn)C與點(diǎn)E關(guān)于直線BD對(duì)稱(chēng)，1 = 2ADBC，1 = 32 = 3FB = FD設(shè)FD = x，則FB = x，F(xiàn)A = 8

5、x在RtBAF中，BA2 + AF2 = BF262 + (8 - x)2 = x2解得x = 所以，陰影部分的面積SFBD = FD×AB = ××6 = cm2重合部分是以折痕為底邊的等腰三角形6將一張矩形紙條ABCD按如圖所示折疊，若折疊角FEC=64°，則1= 度；EFG的形狀 三角形四邊形CDFE與四邊形CDFE關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)2 = 3 = 64°4 = 180° - 2 × 64° = 52°ADBC1 = 4 = 52°2 = 5又2 = 33 = 5GE = GFEFG是等腰三

6、角形對(duì)折前后圖形的位置變化，但形狀、大小不變，注意一般情況下要畫(huà)出對(duì)折前后的圖形，便于尋找對(duì)折前后圖形之間的關(guān)系，注意以折痕為底邊的等腰GEF7如圖，將矩形紙片ABCD按如下的順序進(jìn)行折疊：對(duì)折，展平，得折痕EF（如圖）；延CG折疊，使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)B處，（如圖）；展平，得折痕GC（如圖）；沿GH折疊，使點(diǎn)C落在DH上的點(diǎn)C處，（如圖）；沿GC折疊（如圖）；展平，得折痕GC，GH（如圖 ）（1）求圖 中BCB的大?。唬?）圖中的GCC是正三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由（1）由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知：BC=BC，然后在RtBFC中，求得cosBCF= ，利用特殊角的三角函數(shù)值的知識(shí)即可求得

7、BCB= 60°；（2）首先根據(jù)題意得：GC平分BCB，即可求得GCC= 60°，然后由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知：GH是線段CC的對(duì)稱(chēng)軸，可得GC= GC，即可得GCC是正三角形理清在每一個(gè)折疊過(guò)程中的變與不變8如圖，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8，將其沿EF折疊，則圖中四個(gè)三角形的周長(zhǎng)之和為四邊形BCFE與四邊形BCFE關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)，則這四個(gè)三角形的周長(zhǎng)之和等于正方形ABCD的周長(zhǎng)折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等9如圖，將邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD沿著折痕EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD的中點(diǎn)G處，求四邊形BCFE的面積設(shè)AE = x，則BE = GE = 4 - x，在RtAEG中，根據(jù)勾股定理有：A

8、E2 + AG2 = GE2即：x2 + 4 = (4 - x)2解得x = 1.5，BE = EG = 4 1.5 = 2.51 + 2 = 90°，2 + 3 = 90°1 = 3又A = D = 90°AEG DGP= ，則= ，解得GP = PH = GH GP = 4 - = 3 = 4，tan3 = tan1 = tan4 = ，= ，F(xiàn)H = ×PH = ×= CF = FH = S梯形BCFE = (+ )×4 = 6注意折疊過(guò)程中的變與不變，圖形的形狀和大小不變，對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角相等10如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片

9、ABCD折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上不與A、D重合MN為折痕，折疊后BC與DN交于P(1)連接BB，那么BB與MN的長(zhǎng)度相等嗎？為什么？ (2)設(shè)BM=y，AB=x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)猜想當(dāng)B點(diǎn)落在什么位置上時(shí)，折疊起來(lái)的梯形MNCB面積最小？并驗(yàn)證你的猜想(1)BB = MN過(guò)點(diǎn)N作NHBC交AB于點(diǎn)H），證ABB HNM(2)MB = MB = y，AM = 1 y，AB = x在RtABB中BB = = 因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)B關(guān)于MN對(duì)稱(chēng)，所以BQ = BQ，則BQ = 由BMQBBA得BM×BA = BQ×BB y = × = (3) 梯形MNCB的面積與梯

10、形MNCB的面積相等由(1)可知，HM = AB = x，BH = BM HM = y x，則CN = y - x梯形MNCB的面積為：(y x + y) ×1 = (2y - x)= (2× x)= (x - )2 + 當(dāng)x = 時(shí)，即B點(diǎn)落在AD的中點(diǎn)時(shí)，梯形MNCB的面積有最小值，且最小值是二、紙片中的折疊11如圖，有一條直的寬紙帶，按圖折疊，則的度數(shù)等于（） = 1，2 = 1 = 22+ABE=180°，即2+30°=180°，解得=75°題考查的是平行線的性質(zhì)，同位角相等，及對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，折疊的角與其對(duì)應(yīng)角相等，和平角為18

11、0度的性質(zhì)，注意EAB是以折痕AB為底的等腰三角形12如圖，將一寬為2cm的紙條，沿BC，使CAB=45°，則后重合部分的面積為作CDAB，CEAB，1=2，根據(jù)翻折不變性，1=BCA，故2=BCAAB=AC又CAB=45°，在RtADC中，AC = ，AB = SAB×CD = 在折疊問(wèn)題中，一般要注意折疊前后圖形之間的聯(lián)系，將圖形補(bǔ)充完整，對(duì)于矩形（紙片）折疊，折疊后會(huì)形成“平行線+角平分線”的基本結(jié)構(gòu)，即重疊部分是一個(gè)以折痕為底邊的等腰三角形ABC13將寬2cm的長(zhǎng)方形紙條成如圖所示的形狀，那么折痕PQ的長(zhǎng)是 如圖，作QHPA，垂足為H，則QH=2cm，由平

12、行線的性質(zhì)，得DPA=PAQ=60°由折疊的性質(zhì)，得DPA =PAQ，APQ=60°，又PAQ=APQ=60°，APQ為等邊三角形，在RtPQH中，sinHPQ = = ，則PQ = 注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系在矩形（紙片）折疊問(wèn)題中，會(huì)出現(xiàn)“平行線+角平分線”的基本結(jié)構(gòu)圖形，即有以折痕為底邊的等腰三角形APQ14如圖a是長(zhǎng)方形紙帶，DEF=20°，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的CFE的度數(shù)是（）ADBC，DEF=EFB=20°，在圖b中，GE = GF，GFC=180°-2EFG=140°，在圖

13、c中CFE=GFC-EFG=120°，本題考查圖形的翻折變換，解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變由題意知DEF=EFB=20°圖bGFC=140°，圖c中的CFE=GFC-EFG15將一張長(zhǎng)為70 cm的長(zhǎng)方形紙片ABCD，沿對(duì)稱(chēng)軸EF折疊成如圖的形狀，若折疊后，AB與CD間的距離為60cm，則原紙片的寬AB是（）設(shè)AB=xcm右圖中，AF = CE = 35，EF = x根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，得AE=CF=35-x（cm）則有2（35-x）+x=60，x=1016一根30cm、寬3cm的長(zhǎng)方

14、形紙條，將其按照?qǐng)D示的過(guò)程折疊（陰影部分表示紙條的反面），為了美觀，希望折疊完成后紙條兩端超出點(diǎn)P的長(zhǎng)度相等，則最初折疊時(shí)，求MA的長(zhǎng)將折疊這條展開(kāi)如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，兩個(gè)梯形的上底等于紙條寬，即3cm，下底等于紙條寬的2倍，即6cm，兩個(gè)三角形都為等腰直角三角形，斜邊為紙條寬的2倍，即6cm，故超出點(diǎn)P的長(zhǎng)度為（30-15）÷2=7.5，AM=7.5+6=13.5三、三角形中的折疊17如圖，把RtABC（C=90°），使A，B兩點(diǎn)重合，得到折痕ED，再沿BE折疊，C點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，則CE：AE=18在ABC中，已知AB=2a，A=30°，CD是AB邊的中

15、線，若將ABC沿CD對(duì)折起來(lái)，折疊后兩個(gè)小ACD與BCD重疊部分的面積恰好等于折疊前ABC的面積的（1）當(dāng)中線CD等于a時(shí)，重疊部分的面積等于 ；（2）有如下結(jié)論（不在“CD等于a”的限制條件下）：AC邊的長(zhǎng)可以等于a；折疊前的ABC的面積可以等于 ；折疊后，以A、B為端點(diǎn)的線段AB與中線CD平行且相等其中， 結(jié)論正確（把你認(rèn)為正確結(jié)論的代號(hào)都填上，若認(rèn)為都不正確填“無(wú)”）(1)CD = ABACB = 90°AB = 2a，BC = a，AC = SABC = ×AC×BC = 重疊部分的面積為：×= (2)若AC = a，如右圖AD = a

16、，2 = = 75°BDC = 180°- 75°= 105°B'DC = 105°3 = 105°- 75°= 30°1 = 3ACB'D四邊形AB'DC是平行四邊形重疊部分CDE的面積等于的面積的若折疊前ABC的面積等于過(guò)點(diǎn)C作CHAB于點(diǎn)H，則×AB×CH = CH = 又tan1 = AH = BH = 則tanB = ，得B = 60°CBD是等邊三角形2 = 43 = 4，ADCB2又CB2 = BC = BD = a，CB2 = AD四邊形ADCB

17、2是平行四邊形則重疊部分CDE的面積是ABC面積的(3)如右圖，由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得，3 = 4，DA = DB31 = 2又3 + 4 = 1 +24 = 1AB3CD注意“角平分線+等腰三角形”的基本構(gòu)圖，折疊前后圖形之間的對(duì)比，找出相等的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊19在ABC中，已知A=80°，C=30°，現(xiàn)把CDE沿DE進(jìn)行不同的折疊得CDE，對(duì)折疊后產(chǎn)生的夾角進(jìn)行探究：（1）如圖（1）把CDE沿DE折疊在四邊形ADEB內(nèi)，則求1+2的和；（2）如圖（2）把CDE沿DE折疊覆蓋A，則求1+2的和；（3）如圖（3）把CDE沿DE斜向上折疊，探求1、2、C的關(guān)系（1）根據(jù)折疊前后的圖象全

18、等可知，1=180°-2CDE，2=180°-2CED，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理比可求出答案；（2）連接DG，將ADG+AGD作為一個(gè)整體，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理來(lái)求；（3）將2看作180°-2CED，1看作2CDE-180°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理來(lái)求解：（1）如圖(1) 1+2=180°- 2CDE +180°- 2CED=360°- 2（CDE+CED）=360°-2（180°- C）=2C=60°；（2）如圖(2)連接DG，1+2=180°- C-（ADG +AGD）=180

19、76;-30°-（180°-80°）=50°；（3）如圖(3) 2-1=180°- 2CED -（2CDE - 180°）=360°- 2（CDE + CED）=360°- 2（180°- C）=2C所以：2 - 1=2C由于等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以在折疊三角形時(shí)常常會(huì)出現(xiàn)等腰三角形20觀察與發(fā)現(xiàn)：將三角形紙片ABC（ABAC）沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開(kāi)紙片（如圖）；在第一次折疊的基礎(chǔ)上第二次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，折痕為EF，展平紙片后得到AEF（如圖）小

20、明認(rèn)為AEF是等腰三角形，你同意嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由實(shí)踐與運(yùn)用：(1)將矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為BE（如圖）；再沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)D落在BE上的點(diǎn)D處，折痕為EG（如圖）；再展平紙片（如圖）求圖中的大小在第一次折疊中可得到EAD = FAD在第二次折疊中可得到EF是AD的垂直平分線，則ADEFAEF = AFEAEF是等腰三角形(1)由折疊可知AEB = FEB，DEG = BEG而B(niǎo)EG = 45°+ 因?yàn)锳EB + BEG + DEG = 180°所以 45°+ 2（45°+）= 180° =

21、22.5°由于角平分線所在的直線是角的對(duì)稱(chēng)軸，所以在三角形中的折疊通常都與角平分線有關(guān)。要抓住折疊前后圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系(2)將矩形紙片ABCD 按如下步驟操作：將紙片對(duì)折得折痕EF，折痕與AD邊交于點(diǎn)E，與BC邊交于點(diǎn)F；將矩形ABFE與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊，使點(diǎn)A、點(diǎn)D都與點(diǎn)F重合，展開(kāi)紙片，此時(shí)恰好有MP=MN=PQ（如圖），求MNF的大小由題意得出：NMF=AMN=MNF，MF=NF，由對(duì)稱(chēng)性可知，MF=PF，NF=PF，而由題意得出：MP=MN，又MF=MF，MNFMPF，PMF=NMF，而PMF+NMF+MNF=180°，即3MNF=1

22、80°，MNF=60°，在矩形中的折疊問(wèn)題，通常會(huì)出現(xiàn)“角平分線+平行線”的基本結(jié)構(gòu)，即以折痕為底邊的等腰三角形21直角三角形紙片ABC中，ACB=90°，ACBC，如圖，將紙片沿某條直線折疊，使點(diǎn)A落在直角邊BC上，記落點(diǎn)為D，設(shè)折痕與AB、AC邊分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F探究：如果折疊后的CDF與BDE均為等腰三角形，那么紙片中B的度數(shù)是多少？寫(xiě)出你的計(jì)算過(guò)程，并畫(huà)出符合條件的后的圖形CDF中，C=90°，且CDF是等腰三角形，CF=CD，CFD=CDF=45°，設(shè)DAE=x°，由對(duì)稱(chēng)性可知，AF=FD，AE=DE，F(xiàn)DA=CFD=22.

23、5°，DEB=2x°，分類(lèi)如下：當(dāng)DE=DB時(shí)，B=DEB=2x°，由CDE=DEB+B，得45°+22.5°+x=4x，解得：x=22.5°此時(shí)B=2x=45°；見(jiàn)圖形（1），說(shuō)明：圖中AD應(yīng)平分CAB當(dāng)BD=BE時(shí)，則B=（180°-4x）°，由CDE=DEB+B得：45+22.5+x=2x+180-4x，解得x=37.5°，此時(shí)B=（180-4x）°=30°圖形（2）說(shuō)明：CAB=60°，CAD=22.5°DE=BE時(shí)，則B=由CDE=DEB+B的，

24、45+22.5+x=2x+此方程無(wú)解DE=BE不成立綜上所述B=45°或30°先確定CDF是等腰三角形，得出CFD=CDF=45°，因?yàn)椴淮_定BDE是以那兩條邊為腰的等腰三角形，故需討論，DE=DB，BD=BE，DE=BE，然后分別利用角的關(guān)系得出答案即可22下列圖案給出了折疊一個(gè)直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形紙片（圖1）的全過(guò)程：首先對(duì)折，如圖2，折痕CD交AB于點(diǎn)D；打開(kāi)后，過(guò)點(diǎn)D任意折疊，使折痕DE交BC于點(diǎn)E，如圖3；打開(kāi)后，如圖4；再沿AE折疊，如圖5；打開(kāi)后，折痕如圖6則折痕DE和AE長(zhǎng)度的和的最小值是（）過(guò)D點(diǎn)作DFBC，交AC于F，作A點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)

25、稱(chēng)點(diǎn)A，連接DA，則DA就是DE和AE的最小值D點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，DF=1，F(xiàn)C=1，F(xiàn)A=3DA= = 折痕DE和AE長(zhǎng)度的和的最小值是本題經(jīng)過(guò)了三次折疊，注意理清折疊過(guò)程中的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，求兩條線段的和的最小值問(wèn)題可以參見(jiàn)文章23小華將一條1（如圖1），沿它對(duì)稱(chēng)軸折疊1次后得到（如圖），再將圖沿它對(duì)稱(chēng)軸折疊后得到（如圖3），則圖3中一條腰長(zhǎng)；同上操作，若小華連續(xù)將圖1折疊n次后所得到（如圖n+1）一條腰長(zhǎng)為多少？解：每次折疊后，腰長(zhǎng)為原來(lái)的故第2次折疊后得到的等腰直角三角形的一條腰長(zhǎng)為（）2 - 則小華連續(xù)將圖1的等腰直角三角形折疊n次后所得到的等腰直角三角形的一條腰長(zhǎng)為（）n本題是一道找規(guī)律的

26、題目，這類(lèi)題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的24如圖，矩形紙片ABCD中，AB=，BC=第一次將紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕與BD交于點(diǎn)O1；O1D的中點(diǎn)為D1，第二次將紙片折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)D1重合，折痕與BD交于點(diǎn)O2；設(shè)O2D1的中點(diǎn)為D2，第三次將紙片折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)D2重合，折痕與BD交于點(diǎn)O3，按上述方法，第n次折疊后的折痕與BD交于點(diǎn)On，則BO1= ，BOn= 第一次折疊時(shí)，點(diǎn)O1是BD的中點(diǎn)，則BO1 = DO1第二次折疊時(shí)，點(diǎn)O2是BD1的中點(diǎn)，則BO2 = D1O2第三次折疊時(shí)，點(diǎn)O3是BD2的中點(diǎn)，則BO3 = D2O3

27、因?yàn)锳B = ，BC = ，所以BD = 4第一次折疊后，有BO1 = DO1BO1 = 2第二次折疊后，有BO2 = D1O2BO2 = = = 第三次折疊后，有BO3 = D2O3BO3 = = = 即當(dāng)n = 1時(shí)，BO1 = 2 = = 當(dāng)n = 2時(shí)，BO2 = = = 當(dāng)n = 3時(shí)，BO3 = = = 則第n次折疊后，BOn = 問(wèn)題中涉及到的折疊從有限到無(wú)限，要明白每一次折疊中的變與不變，充分展示運(yùn)算的詳細(xì)過(guò)程。在找規(guī)律時(shí)要把最終的結(jié)果寫(xiě)成一樣的形式，觀察其中的變與不變，特別是變化的數(shù)據(jù)與折疊次數(shù)之間的關(guān)系25如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3，AC=4，D為斜邊BC中點(diǎn)，

28、第1次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕與AD交于點(diǎn)P1；設(shè)P1D的中點(diǎn)為D1，第2次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D1重合，折痕與AD交于點(diǎn)P2；設(shè)P2D1的中點(diǎn)為D2，第3次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D2重合，折痕與AD交于點(diǎn)P3；設(shè)Pn-1Dn-2的中點(diǎn)為Dn-1，第n次紙片折疊，使A與點(diǎn)Dn-1重合，折痕與AD交于點(diǎn)Pn（n2），則AP6長(zhǎng)（）AD = 第一次折疊后，AP1 = P1D，P1D1 = D1DAP1 = = 第二次折疊后，AP2 = P2D1，P2D2 = D2D1AP2 = = = = 第三次折疊后，AP3 = P3D2AP3 = = = = = 即當(dāng)n = 1時(shí)，AP1 = =

29、當(dāng)n = 2時(shí)，AP2 = = 當(dāng)n = 3時(shí)，AP3 = = 則第n次折疊后，APn = 故AP6 = 此題考查了翻折變換的知識(shí)，解答本題關(guān)鍵是寫(xiě)出前面幾個(gè)有關(guān)線段長(zhǎng)度的表達(dá)式，從而得出一般規(guī)律，注意培養(yǎng)自己的歸納總結(jié)能力26閱讀理解如圖1，ABC中，沿BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點(diǎn)Bn與點(diǎn)C重合，無(wú)論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，BAC是ABC的好角小麗展示了確定BAC是ABC的好角的兩種情形情形一：如圖2，沿等腰三角形ABC頂角BAC的平分線AB1折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合

30、；情形二：如圖3，沿BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿B1A1C的平分線A1B2折疊，此時(shí)點(diǎn)B1與點(diǎn)C重合探究發(fā)現(xiàn)（1）ABC中，B=2C，經(jīng)過(guò)兩次，BAC是不是ABC的好角？（填“是”或“不是”）（2）小麗經(jīng)過(guò)三次折疊發(fā)現(xiàn)了BAC是ABC的好角，請(qǐng)?zhí)骄緽與C（不妨設(shè)BC）之間的等量關(guān)系根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過(guò)n次折疊BAC是ABC的好角，則B與C（不妨設(shè)BC）之間的等量關(guān)系為 B = nC應(yīng)用提升（3）小麗找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為15°、60°、105°，發(fā)現(xiàn)60°和105°的兩個(gè)角都是此三角形的好角請(qǐng)你完成，如果一個(gè)三

31、角形的最小角是4°，試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角設(shè)另外兩個(gè)角是4x，4y，則4x + 4y + 4 = 180°4x = 4y×a(a是正整數(shù))所以y = 因?yàn)閤，y，a，都是正整數(shù)，則a的值應(yīng)為：1、3、10、21、43當(dāng)a = 1時(shí)，x = y = 22，4x = 4y = 88°當(dāng)a = 3時(shí)，y = 11，x =33，4x =132° 4y = 44°當(dāng)a = 10時(shí)，y = 4，x =40，4x =160° 4y = 16°當(dāng)a = 21時(shí)，y = 2，x =42，4

32、x =168° 4y = 8°當(dāng)a = 43時(shí)，y = 1，x =43，4x =172° 4y = 4°注意折疊過(guò)程中的對(duì)應(yīng)角和三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)外角的和的運(yùn)用，理解三角形中如果有一個(gè)角是好角之后，另兩個(gè)角之間的關(guān)系，通過(guò)這樣的問(wèn)題培養(yǎng)歸納總結(jié)能力27我們知道：任意的三角形紙片可通過(guò)如圖所示的方法折疊得到一個(gè)矩形（1）實(shí)踐：將圖中的正方形紙片通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ㄕ郫B成一個(gè)矩形（在圖中畫(huà)圖說(shuō)明）（2）探究：任意的四邊形紙片是否都能通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ㄕ郫B成一個(gè)矩形？若能，直接在圖中畫(huà)圖說(shuō)明；若不能，則四邊形至少應(yīng)具備什么條件才行？并畫(huà)圖說(shuō)明（要求：畫(huà)

33、圖應(yīng)體現(xiàn)折疊過(guò)程，用虛線表示折痕，用箭頭表示方向，后圖形中既無(wú)縫隙又無(wú)重疊部分）解：（1）折疊方法如圖所示（2）不能四邊形至少應(yīng)具備的條件是：“對(duì)角線互相垂直”折疊方法如圖所示折疊即對(duì)稱(chēng)28如圖，雙曲線y = （x0）經(jīng)過(guò)四邊形OABC的頂點(diǎn)A、C，ABC=90°，OC平分OA與x軸正半軸的夾角，ABx軸，將ABC沿AC翻折后得到AB'C，B'點(diǎn)落在OA上，則四邊形OABC的面積是多少？設(shè)C(m，)根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)有：CD = CB = CB'所以B(m，)，A(，)，D(m，0)AB = ，BD = ，CD = ，OD = m則四邊形OABC的面積為：

34、5;(AB + OD)×BD - ×OD×CD= ×(+ m)× - ×m×= 6明白折疊中的對(duì)應(yīng)邊就行29已知一個(gè)直角三角形紙片OAB，其中AOB=90°，OA=2，OB=4如圖，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點(diǎn)C，與邊AB交于點(diǎn)D（1）若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B，設(shè)OB=x，OC=y，試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并確定y的取值范圍；（3）若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B，且使BDOB，求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)(1)AB = = BCDBAD，BC×BO = BD×BABC×4 = ×，BC = OC = OB BC = 4 - = ，則C(0，)(2)如右圖，BC= B'CB'C = BC = OB OC = 4 y在RtOB