數(shù)學(xué)實驗報告冊

1、實驗一 一元函數(shù)的圖形和極限一 實驗?zāi)康?通過圖形加深對函數(shù)性質(zhì)的認識和理解，通過函數(shù)圖形的變化趨勢理解函數(shù)的極限，通過計算和作圖，加深對數(shù)列極限及函數(shù)極限的理解，掌握用MATLAB作平面圖形的方法和技巧，掌握用MATLAB計算極限的方法。（一） 學(xué)習(xí)MATLAB命令，作一元函數(shù)的圖形1. 在平面直角坐標(biāo)系中作一元函數(shù)圖形的命令（1） 命令命令的基本使用形式是：x=a:t:b; y=f(x);plot(x,y,s)其中要帶入具體的函數(shù)，也可以將前面已經(jīng)定義的函數(shù)代入。和分別表示自變量的最大值和最小值，即說明作圖時自變量的范圍，必須輸入具體的數(shù)值，表示取點間隔（增量），因此這里的是向量。是可選參

2、數(shù)，用來制定繪制曲線的線性、顏色、數(shù)據(jù)點形狀等（見下表）。線性、顏色、數(shù)據(jù)點可以同時選用，也可以只選一部分，不選則用MATLAB設(shè)定的默認值。顏色標(biāo)記線型b 藍(默認)g 綠r 紅c 青m 品紅y 黃k 黑. 點 上三角形。圈 下三角形X叉 < 左三角形+ 十字 > 右三角形* 星 p 五角星形s 方塊 h 六角星形d 菱形 無標(biāo)記(默認)- 實線： 綠- 紅- - 青例1 作出函數(shù)在區(qū)間-1 上的圖形。輸入命令：x=-1:0.1:1;y=x.2;plot(x,y,'r')圖1-1然后按下Enter鍵，則作出所求圖形（見圖1-1）。注：plot命令也可以在同一個坐標(biāo)

3、系內(nèi)作出幾個函數(shù)的圖形，只要用基本的形式。plot(,)就可以繪制出以向量xi和yi的元素為橫縱坐標(biāo)的曲線。例2 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù) 和 在區(qū)間上的圖形。輸入命令：x=0:0.1:2;y1=x.2;y2=sqrt(x);plot(x,y1,':',x,y2,'-')然后按下Enter鍵，則作出所求圖形（見圖1-2）。圖1-2（2） ezplot命令ezplot是簡易平面直角坐標(biāo)系中的作圖命令，ezplot命令的基本使用形式是ezplot(f(x),)可用ezplot命令繪制函數(shù)f(x)在區(qū)間上的圖形，當(dāng)省略區(qū)間時，默認區(qū)間是.也可以把例1的輸入改為:ezpl

4、ot( ,)同樣得到圖1-1.2.隱函數(shù)作圖命令隱函數(shù)作圖命令ezplot的格式是： 該命令執(zhí)行后繪制出方程所確定的隱函數(shù)在區(qū)域：內(nèi)的圖形。命令中第二項給出了變量與的范圍。當(dāng)省略第二項時，默認變量x與y的范圍都是.例3 方程 確定了是的隱函數(shù)，作出它的圖形。輸入命令ezplot('(x.2+y.2)2-x.2+y.2',-1,1,-0.5,0.5)然后按下Enter鍵，輸出圖形是一條雙鈕線（見圖1-3）圖1-33.分段函數(shù)作圖命令分段函數(shù)的定義用到條件語句，而條件語句根據(jù)具體條件分支的方式不同，可有多種不同形式的if語句塊。這里僅給出較為簡單的三種條件語句塊：（1） if<

5、;條件表達式>語句體End(2)if<條件表達式> 語句體1Else 語句體2End(3)if<條件表達式> 語句體1Elseif <條件表達式> 語句體2Else 語句體3End例4 作出分段函數(shù) = 的圖形。輸入命令：y=;for x =-4:0.1:4 if x <= 0 y=y,cos(x); else y=y,exp(x); endendx=-4:0.1:4;plot(x,y)執(zhí)行后可觀察到它的圖形（見圖1-4）圖1-4（二） 學(xué)習(xí)MATLAB命令，計算一元函數(shù)的極限 命令用于計算數(shù)列或者函數(shù)的極限，其基本形式是： 其中是數(shù)列或者函數(shù)的

6、表達式，是自變量的變化趨勢。如果自變量趨向于 ，則用代替。對于單側(cè)極限，通過命令的選項 和 表示自變量的變化方向。 求右極限 時，用 求左極限 時，用 當(dāng) 時，用. 當(dāng) 時，用二、實驗內(nèi)容1.數(shù)列極限例5 考慮極限輸入：syms nlimit(2*n3+1)/(5*n3+1),n,inf)ans =2/52函數(shù)的單側(cè)極限例6 考慮函數(shù)在的左右極限syms xlimit(atan(1/x),x,0,'right')limit(atan(1/x),x,0,'left') ans =pi/2ans =-pi/2例7 考慮函數(shù),在時的極限syms xlimit(atan

7、(x),x,+inf)limit(atan(x),x,-inf)ans =pi/2ans =-pi/2例8 考慮第一個重要的極限syms xlimit(sin(x)/x,x,0)ans =1例9 考慮第二個重要的極限syms xlimit(1+1/x)x,x,inf)ans =exp(1)三、實驗作業(yè)1.計算極限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）實驗二 導(dǎo)數(shù)一 、實驗?zāi)康?掌握用MATLAB求導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù)的方法，掌握用MATLAB求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法。 求導(dǎo)數(shù)命令是，常用格式為： 給出關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，將表達式中的其他字母看做常量。因此，如果表達式是多元函數(shù)，

8、則給出的是偏導(dǎo)數(shù)。 給出關(guān)于的階導(dǎo)數(shù)或者偏導(dǎo)數(shù)。二、實驗內(nèi)容( 一 )、導(dǎo)數(shù)概念與導(dǎo)數(shù)的幾何意義例1 求導(dǎo)數(shù)輸入syms xdiff(x3-3*x2+x+1,x)執(zhí)行以后得到導(dǎo)函數(shù)：ans =3*x2 - 6*x + 1例2 作函數(shù)的圖形和它在處的切線。輸入 syms xhanshu=2*x3+3*x2-12*x+7;daoshu=diff(hanshu,x);x=-2.5;hanshuzhi=eval(hanshu)daoshuzhi=eval(daoshu)執(zhí)行后得到在處的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值hanshuzhi = 24.5000daoshuzhi =10.5000再執(zhí)行x=-1:0.1:3;y

9、=2.*x.3+3.*x.2-12.*x+7;y1=24.5000+10.5000.*(x+2.5);plot(x,y,'b',x,y1,'r')便在同一個坐標(biāo)系內(nèi)作出了函數(shù)的圖形和它在處的切線（ 二 )、求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)及函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)值 例3 求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)輸入：syms x ndaoshu1=diff(xn,x)daoshu2=diff(xn,x,2)執(zhí)行后得的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)分別為daoshu1 = n*x(n - 1) daoshu2 = n*x(n - 2)*(n - 1)例4 求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，并求 輸入syms x a b;dao

10、shu = diff(sin(a*x)*cos(b*x),x)x=1/(a+b);daoshuzhi = eval(daoshu)執(zhí)行后分別得函數(shù)的一階函數(shù)及的值：daoshu = a*cos(a*x)*cos(b*x) - b*sin(a*x)*sin(b*x)daoshuzhi = a*cos(a/(a + b)*cos(b/(a + b) - b*sin(a/(a + b)*sin(b/(a + b)（ 三 ）、求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例5 求由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)輸入syms x yz=2*x2-2*x*y+y2+x+2*y+1;daoshu=-diff(z,x)/

11、diff(z,y)執(zhí)行后得到daoshu =-(4*x - 2*y + 1)/(2*y - 2*x + 2)例6 求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)輸入syms tx=exp(t)*cos(t);y=exp(t)*sin(t);daoshu=diff(y,t)/diff(x,t)則得到1階導(dǎo)數(shù)：daoshu = (exp(t)*cos(t) + exp(t)*sin(t)/(exp(t)*cos(t) - exp(t)*sin(t)三、實驗作業(yè)1求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)2.求解下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.求以下參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （2）實驗三 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、實驗?zāi)康睦斫獠⒄莆沼煤瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)

12、確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，凹凸區(qū)間和函數(shù)極值的方法。學(xué)習(xí)MATLAB命令（一）求多項式方程近似根的命令用MATLAB求多項式：的解的命令是,具體使用方法是（“%”為注釋符號，后同）：； %其中c是多項式的系數(shù)向量（二）求一般方程近似根的命令 命令的一般形式如下：（1） 建立函數(shù)（2） 求函數(shù)零點：，%求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點。 ，%求函數(shù)在附近的零點。注：是函數(shù)名，在和的函數(shù)值異號（三） 求非線性函數(shù)的極小值用MATLAB求一元函數(shù)極小值命令是，常用格式如下 ， %求上fun函數(shù)的極小值點 ， %返回極小值點x處目標(biāo)函數(shù)的值注： （1）函數(shù)的算法基于黃金分割和二次插值法，它要求目標(biāo)函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)，此

13、命令可能給出局部最優(yōu)值。（2）命令是求函數(shù)的極小值點，若要求函數(shù)的極大值點，只需求的極小值點。二、實驗內(nèi)容（一）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 輸入：syms xdiff(x3-2*x+1,x)執(zhí)行后得到函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為：ans =3*x2 - 2輸入：x=-4:0.1:4;y1=x.3-2.*x+1;y2=3.*x.2-2;plot(x,y1,'k-',x,y2,'b*')其輸出如圖3-1所示。其中的米字線是導(dǎo)函數(shù)的圖形。觀察函數(shù)的增減與導(dǎo)函數(shù)的正負之間的關(guān)系。圖3-1再輸入：c=roots(3,0,-2)得到導(dǎo)函數(shù)的兩個零點為：c = 0.8165

14、-0.8165因為導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，在它的兩個零點之間，導(dǎo)函數(shù)保持相同符號。因此，只需在每個小區(qū)間上取一點計算導(dǎo)數(shù)值。即可判斷導(dǎo)數(shù)在該區(qū)間的正負，從而得到函數(shù)的增減。再輸入x=-1;daoshuzhi=eval('3*x2-2')daoshuzhi = 1 x=0;daoshuzhi=eval('3*x2-2')daoshuzhi = -2 x=1;daoshuzhi=eval('3*x2-2')daoshuzhi = 1說明導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上分別取和+。因此函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)增加，在區(qū)間上單調(diào)減少（二） 求函數(shù)的極值例2 求函數(shù)的極值輸入：ezplot(

15、'x/(1+x2)',-6,6)輸出如圖3-2所示，觀察他的兩個極值。圖3-2再輸入：f='x/(1+x2)'xmin,ymin=fminbnd(f,-10,10)輸出為：xmin = -1.0000ymin =-0.5000表明是極小值點，極小值是0.5000.接下來將求極大值的問題轉(zhuǎn)換為求極小值，再輸入：f1='-x/(1+x2)'xmax,ymax=fminbnd(f1,-10,10)輸出為：xmax = 1.0000ymax = -0.5000注意，所以=1是極大值點，極大值是（0.5000）=0.5000.（三）求函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點例

16、3 求函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點輸入：syms xy=1/(1+2*x2);y1=diff(y,x)y2=diff(y,x,2)執(zhí)行后得函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)分別為:y1 =-(4*x)/(2*x2 + 1)2y2 =(32*x2)/(2*x2 + 1)3 - 4/(2*x2 + 1)2再輸入ezplot('32/(1+2*x2)3*x2-4/(1+2*x2)2',-2,2) 輸出如圖3-3所示，表示函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，觀察二階導(dǎo)數(shù)的正負值圖3-3輸入：c1=fzero(f,-3,0)c2=fzero(f,0,3)得到二階導(dǎo)數(shù)的零點為：c1 =-0.4082c2 =0.4082 即得到

17、二階導(dǎo)數(shù)等于零的點是用例1中類似的方法可知，在上二階導(dǎo)數(shù)大于零，曲線弧向上凹，在上的二階導(dǎo)數(shù)小于零，曲線弧向上凸。再輸入：x=-0.4082;zhi=eval('1/(1+2*x2)')x=0.4082;zhi=eval('1/(1+2*x2)')得到輸出：zhi = 0.7500zhi =0.7500這說明函數(shù)在-0.4082和0.4082的值都是0.7500.因此兩個拐點分別是三、實驗作業(yè)1、作函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的圖形，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。2，作函數(shù)及其二階導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的圖形，并求函數(shù)的凹凸區(qū)間和拐點。 實驗四 一元函數(shù)的不定積分一、實驗?zāi)康恼莆沼肕ATL

18、AB計算不定積分的方法學(xué)習(xí)MATLAB命令不定積分計算命令MATLAB軟件求函數(shù)積分的命令，它既可以用于計算不定積分，也可以用于計算定積分。具體為：（1） 求函數(shù)關(guān)于定義的符號變量的不定積分。（2） 求函數(shù)關(guān)于變量的不定積分。二、實驗內(nèi)容計算不定積分例1：求輸入：syms xint('x2*(1-x3)5',x)則得到輸出：ans = - x18/18 + x15/3 - (5*x12)/6 + (10*x9)/9 - (5*x6)/6 + x3/3注：用MATLAB軟件求不定積分時，不自動添加積分常數(shù)C例2: 求輸入：syms xint('exp(-2*x)*sin(3*x)',x)則得到輸出：ans = -(3*cos(3*x) + 2*sin(3*x)/(13*exp(2*x)例3 求輸入：syms x int(atan(x)*x2,x)則得到輸出：ans = log(x2 + 1)/6 + (x3*atan(x)/3 - x2/6例4 求輸入：syms xint(