第二章矩陣分解3_矩陣的最大秩分解

1、3 矩陣的最大秩分解矩陣的最大秩分解 前面兩節(jié)介紹了前面兩節(jié)介紹了n階矩陣的幾種分解，現(xiàn)在開始介紹幾種長階矩陣的幾種分解，現(xiàn)在開始介紹幾種長方陣的分解。本節(jié)介紹矩陣的最大秩分解，它在廣義逆矩陣的方陣的分解。本節(jié)介紹矩陣的最大秩分解，它在廣義逆矩陣的討論中是十分重要的討論中是十分重要的.定義定義2.11 設是一個設是一個 階秩為階秩為r0的復矩陣的復矩陣,記為記為 ,如果存在矩陣如果存在矩陣 和和 , 使得使得 (2.40)則稱式則稱式(2.40)為為A的最大秩分解（滿秩分解）的最大秩分解（滿秩分解）.定理定理2.7 設設 ,則必存在則必存在 和和,使得使得nm)0( rnmrCArmrCFnr

2、r CGFGA )0( rnmrCArmrCFnrr CGFGA 證證 當當 時時,可通過初等行變換將可通過初等行變換將A化為階梯形矩陣化為階梯形矩陣B,即存在有限個即存在有限個m階初等矩陣的乘積階初等矩陣的乘積P,使得使得 , 或者或者把把 改寫為分塊陣改寫為分塊陣則有則有其中其中F是列滿秩陣是列滿秩陣,G是行滿秩陣是行滿秩陣. (證畢證畢)這個定理的證明過程給出了求矩陣滿秩分解的初等行變換法這個定理的證明過程給出了求矩陣滿秩分解的初等行變換法.rrankAnrrCGOGBPA,BPA11P)(1,rnmrnrmrCSCFSFPFGOGSFBPA1例例:用初等行變換法求矩陣用初等行變換法求矩

3、陣的滿秩分解的滿秩分解.解解 對對 進行初等行變換進行初等行變換,當當A變成階梯陣變成階梯陣B時，時，E就變成就變成初等矩陣初等矩陣P.122211212101AEA111000001130200012101100122201011210012101EA.故故000030202101B30202101G111011001P1120110011P121101F最后有最后有 求矩陣滿秩分解的初等行變換法的缺點是必須求出求矩陣滿秩分解的初等行變換法的缺點是必須求出，下面介紹一個不需求出，下面介紹一個不需求出 簡便方法簡便方法.30202101121101FGA1PP和1PP和定義定義2.12 如果如

4、果 ,并且滿足條件并且滿足條件:(1) B的前的前r行中每一行至少有一個非零元素行中每一行至少有一個非零元素,且從左到右第一個且從左到右第一個非零元素等于非零元素等于1;(2) B的后的后m-r行元素都等于零行元素都等于零;(3) B的第的第i行的第一個非零元素行的第一個非零元素1位于第位于第 列列, ;(4) B的的 列為單位矩陣列為單位矩陣 的前的前r列列.那么稱那么稱B為為 行標準形行標準形.定義定義2.13 稱稱n階矩陣階矩陣為置換矩陣為置換矩陣,其中其中 是單位矩陣的從左至右的是單位矩陣的從左至右的n個個列向量列向量, 是是 的一個排列的一個排列 .)0( rnmrCBij), 2

5、, 1(rirjjj 21rjjj,21mIHermite),(21njjjeeePneee,21njjj,21n,2,1,定理定理2.8 設設 的的 行標準形為行標準形為B(如定義如定義2.12), 令令A的的 列構成的列構成的 矩陣為矩陣為F,B的前的前r行構成的行構成的 矩陣為矩陣為G 則則A的滿秩分解為的滿秩分解為.證證 由條件知由條件知,存在存在m階可逆矩陣階可逆矩陣P,使得使得 , 或者或者根據定理根據定理2.7 ,設設 的分塊陣為的分塊陣為,可得最大秩分解可得最大秩分解 .rjjj,21)0( rnmrCArmnrFGA nrr CG,OGBPABPA11P)(1,rnmrnrm

6、rCSCFSFPHermiteFGA 設設A.B的分塊矩陣為的分塊矩陣為,對應對應A的的 行標準形行標準形B,構造階置換矩陣構造階置換矩陣,則有則有再根據再根據 ，得，得上式表明上式表明F是是AP1的前的前r列構成的矩陣列構成的矩陣,即即F是是A的的列構成的矩陣列構成的矩陣. 證畢證畢.),(),(2121nnbbbB,aaaAHermite),(1211nrrjjjjjeeeeeP),(111nrrjjjjaaaaAP)(121,),(11rnrrjjjjnrrCBOOBEbbbbBPBPA11212111)(FBFOOBESFBPPAPrrjjj,21定理定理2.8所提供的求矩陣最大秩的方

7、法所提供的求矩陣最大秩的方法,我們稱為我們稱為 行標行標準形法準形法.例例:用用 行標準形法求矩陣行標準形法求矩陣的最大秩分解的最大秩分解.解解 用初等行變換將用初等行變換將A化為化為 行標準形行標準形因此因此,這里這里 ,根據定理根據定理2.8, A的前三列組成矩陣的前三列組成矩陣611211042114000265141A00000511002101032001BA行3Arank3,2,1321jjjHermiteHermiteHermite而而B的前三個非零行組成矩陣的前三個非零行組成矩陣于是于是, 的最大秩分解為的最大秩分解為121421002141F511002101032001G5

8、11002101032001121421002141FGA最后需要指出最后需要指出, （2.40）給出的最大秩分解）給出的最大秩分解不是唯一的不是唯一的.事實上，任取一個事實上，任取一個r階非奇異矩陣階非奇異矩陣D，則，則 也是也是A的滿秩分解。的滿秩分解。下面將針對下面將針對“行行”的論述改為針對的論述改為針對“列列”，可得求的最大秩，可得求的最大秩分解的分解的 列標準形法列標準形法.例例:用用 列標準形法求前例中矩陣的最大秩分解列標準形法求前例中矩陣的最大秩分解.FGA GFGDFDA)(1Hermite005310351001000001000001BA 列Hermite因此因此,這里這里 , ,A 的前三行組成矩陣的前三行組成矩陣而而B的前三