在響應(yīng)曲面方法中三類中心復(fù)合設(shè)計(jì)的比較研究

1、響應(yīng)曲面方法響應(yīng)曲面方法(RSM)基于中心復(fù)合設(shè)計(jì)（Central Composite Designs, CCDs）CCDs得以最廣泛應(yīng)用的原因CCDs的序貫本質(zhì),它自然地將因子點(diǎn)劃分為兩個(gè)子集,第一個(gè)子集估計(jì)線性和兩因子交互效應(yīng),第二個(gè)子集估計(jì)曲性效應(yīng).CCDs很有效,以最少的試驗(yàn)循環(huán)提供了關(guān)于實(shí)驗(yàn)變量和實(shí)驗(yàn)誤差的諸多信息.CCDs很靈活,其設(shè)計(jì)類型可以應(yīng)用于不同的操作域和設(shè)計(jì)域.經(jīng)典的RSM模型經(jīng)典的RSM模型是建立在方差一致性假設(shè)基礎(chǔ)之上,首先是擬合一階模型,運(yùn)用脊分析,找到優(yōu)化域,再擬合二階響應(yīng)曲面模型:此模型包含1+ 2k+ k(k -1) /2個(gè)參數(shù),因此必須至少有1+ 2k+ k

2、(k -1) /2個(gè)不同的設(shè)計(jì)點(diǎn),而且至少每個(gè)設(shè)計(jì)變量是三個(gè)水平的.2011kkiiijijiiiiijiyxx xx主要的概念操作域(Operability Region):在安全性允許的條件下,加工設(shè)備和生產(chǎn)過程的加工操作范圍所定義的研究變量的上下界限的幾何區(qū)域。設(shè)計(jì)域(Region of Interest):由設(shè)計(jì)變量的各個(gè)水平集合的上下界限所定義的幾何區(qū)域,在此區(qū)域內(nèi),真實(shí)的函數(shù)關(guān)系能夠由一個(gè)多項(xiàng)式模型很好地近似,每個(gè)試驗(yàn)各自的設(shè)計(jì)域或相同或不同,但都在操作域之內(nèi)。評(píng)價(jià)CCDs的一個(gè)重要指標(biāo)-預(yù)測(cè)方差對(duì)于一個(gè)二階設(shè)計(jì),在設(shè)計(jì)域上擁有一個(gè)（N表示樣本量,X是設(shè)計(jì)變量的矩陣）的合理穩(wěn)定的分

3、布是重要的。因?yàn)橐婚_始設(shè)計(jì)者并不知道設(shè)計(jì)空間的準(zhǔn)確范圍或者預(yù)測(cè)方向以及在設(shè)計(jì)空間中優(yōu)化值的位置,而一個(gè)合理穩(wěn)定的 分布就保證了未來響應(yīng)預(yù)測(cè)值 的質(zhì)量。 2mmNVary XNXX X X2NVary X y X旋轉(zhuǎn)性一個(gè)可旋轉(zhuǎn)的設(shè)計(jì)就是與中心點(diǎn)距離相同的任意兩點(diǎn)的 相等,即預(yù)測(cè)方差的一致性.當(dāng)實(shí)驗(yàn)者在實(shí)驗(yàn)之前不知道設(shè)計(jì)域內(nèi)優(yōu)化點(diǎn)的位置時(shí),旋轉(zhuǎn)性使得設(shè)計(jì)目標(biāo)清晰.在CCDs中,通過恰當(dāng)?shù)剡x擇可滿足旋轉(zhuǎn)性要求, 就得到旋轉(zhuǎn)性,F是2k析因設(shè)計(jì)點(diǎn)的數(shù)目(k是所研究變量的數(shù)目)。旋轉(zhuǎn)性本身雖然不能保證 在整個(gè)設(shè)計(jì)域上的穩(wěn)定性,但它對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的選擇提供了指導(dǎo)原則,像對(duì)軸向距離和中心點(diǎn)數(shù)目 的選擇。2NV

4、ary X4= F y Xcn以三因子為例經(jīng)典的CCDs包括:析因部分:一個(gè)立方體的2k頂點(diǎn)或者這些析因點(diǎn)的一部分(圖1中立方體各個(gè)頂點(diǎn))。帶有參數(shù)的2k個(gè)軸向點(diǎn)(圖1中各個(gè)“星”點(diǎn)),這些點(diǎn)實(shí)際上擴(kuò)展了設(shè)計(jì)區(qū)域,提供了對(duì)二階響應(yīng)曲面模型純平方項(xiàng) 的估計(jì).一系列中心點(diǎn)(圖1中位于各個(gè)圖形中心的點(diǎn)).iiCCC、CCI和CCF簡(jiǎn)介所有設(shè)計(jì)變量均以編碼單位來表示,從設(shè)計(jì)矩陣的中心點(diǎn)到因子的高低水平的距離是 1,軸向點(diǎn)或者“星”點(diǎn)到中心的距離是. 時(shí)軸向點(diǎn)一般在球體上, = 1. 0時(shí)軸向點(diǎn)在立方面上.軸向點(diǎn)在立方體的外面,比因子的高低水平 1更高或更低,這種設(shè)計(jì)稱之為外切中心復(fù)合設(shè)計(jì)(CCC).對(duì)

5、于CCC設(shè)計(jì),每個(gè)因子有五個(gè)水平:,0, 1.當(dāng)受到條件的制約時(shí),可減少因子集合的范圍,使得軸向點(diǎn)落在每個(gè)因子的設(shè)計(jì)域內(nèi)部,即將的值設(shè)在因子設(shè)計(jì)域的最大和最小界限上,這樣得到的設(shè)計(jì)稱之為嵌套(內(nèi)接)中心復(fù)合設(shè)計(jì)CCI. CCI具有CCC的所有特性,CCI也是每個(gè)因子有五個(gè)水平:0.7,0,1.當(dāng)五個(gè)水平難以滿足或者受到條件的制約時(shí),就將軸向點(diǎn)放在設(shè)計(jì)空間每個(gè)面的中心上,稱之為面心復(fù)合設(shè)計(jì)CCF.CCF僅需要每個(gè)因子三個(gè)水平: 1,0。= k軸向距離和中心點(diǎn)數(shù)目的作用CCDs的優(yōu)點(diǎn)來自于其靈活性和作為序貫試驗(yàn)設(shè)計(jì)的有用性,靈活性來自于對(duì)軸向距離和中心點(diǎn)數(shù)目 的選擇。其中的選擇涉及到設(shè)計(jì)的旋轉(zhuǎn)性、

6、模型不符合規(guī)格限的穩(wěn)健性、參數(shù)估計(jì)對(duì)外推的穩(wěn)健性等方面。旋轉(zhuǎn)特性與中心點(diǎn)的數(shù)目無關(guān),僅依賴于的值。中心點(diǎn)數(shù)目的選擇控制了RSM的某些特性:中心點(diǎn)的加入不改變正交性的特點(diǎn),但卻不再是一個(gè)方差優(yōu)化條件,也就是說,在每個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)上,回歸系數(shù)的方差不再最小;在某些情況下,中心點(diǎn)的數(shù)目使得設(shè)計(jì)具有“一致精度”(Uniform Precision),一致精度保證了在所定義的單位距離的區(qū)域內(nèi)所預(yù)測(cè)的優(yōu)化值具有相同的方差。中心點(diǎn)數(shù)目是CCDs的關(guān)鍵成分,其正確選擇是達(dá)到一致精度的決定因素。因?yàn)橹行狞c(diǎn)個(gè)數(shù)決定著 的大小,這兩者成反比關(guān)系,因而球形設(shè)計(jì)需要3 -5個(gè)中心點(diǎn)以避免 的嚴(yán)重失衡。cn2NVary X2N

7、Vary X設(shè)計(jì)的評(píng)價(jià)、比較和應(yīng)用選擇在RSM設(shè)計(jì)進(jìn)行評(píng)價(jià)比較時(shí),應(yīng)該根據(jù)以下三個(gè)方面的標(biāo)準(zhǔn)來衡量:首先是Box and Wilson(1951)在其文章中引入了復(fù)合設(shè)計(jì)的概念從而能夠有效地估計(jì)二階模型的平方項(xiàng),利用預(yù)測(cè)方差在其設(shè)計(jì)域上的分布來評(píng)價(jià)一個(gè)設(shè)計(jì),得出了旋轉(zhuǎn)性這一特性.預(yù)測(cè)方差應(yīng)具有穩(wěn)定性這一特點(diǎn),因?yàn)楹芏嘣O(shè)計(jì)在其設(shè)計(jì)邊界上的方差是不穩(wěn)定的,從而得出了一致精度的概念.RSM設(shè)計(jì)對(duì)模型不符合規(guī)格限(Model Misspecification)的穩(wěn)健性概念,不僅由于模型不符合規(guī)格限所造成的偏移應(yīng)該考慮,即使是中等程度的不符合,使用者也必須在設(shè)計(jì)選擇中認(rèn)真考慮.從設(shè)計(jì)域及其復(fù)雜性上比較為

8、了成功地運(yùn)行任一安排的試驗(yàn),操作域必須包括設(shè)計(jì)域.這意味著過程必須能夠在設(shè)計(jì)域上具有可操作性,因此,正確的選擇CCDs的第一步就是將設(shè)計(jì)域與操作域相比較.如果實(shí)驗(yàn)者能夠充分推測(cè)出優(yōu)化目標(biāo)存在于所研究的變量區(qū)域內(nèi),一般采用球形域.在許多實(shí)際情況下,當(dāng)過程不能夠在設(shè)計(jì)域的一個(gè)或者多個(gè)邊界點(diǎn)上操作時(shí),設(shè)計(jì)域與操作域相同,這時(shí)設(shè)計(jì)域是個(gè)立方體.如果過程不能在區(qū)域的一個(gè)或者多個(gè)立方體的頂點(diǎn)上操作,那么CCF是不合適的,這就留給實(shí)驗(yàn)者兩個(gè)選擇:減少變量的區(qū)域產(chǎn)生一個(gè)新的CF,或者產(chǎn)生一個(gè)CCI.由于將軸向點(diǎn)放在變量范圍的上下界,析因點(diǎn)就落在了設(shè)計(jì)空間的內(nèi)部,CCI限制了由變量所定義的區(qū)域的真實(shí)設(shè)計(jì)空間.從

9、設(shè)計(jì)域及其復(fù)雜性上比較考慮軸向距離與設(shè)計(jì)域和操作域的關(guān)系:設(shè)計(jì)域經(jīng)常表示出的值,一般取1. 0到 ,在取值上這三個(gè)設(shè)計(jì)是不同的,如果是球形域CCC,的上界就是k;在CCI中,的上界就是1;在立方域CCF,= 1. 0是恰當(dāng)?shù)倪x擇。因此的選擇依賴于操作域和設(shè)計(jì)域.各設(shè)計(jì)中軸向點(diǎn)相對(duì)于因子點(diǎn)的位置:CCC、CCI使所有設(shè)計(jì)點(diǎn)(不包括中心點(diǎn))與中心等距,這些設(shè)計(jì)點(diǎn)就形成了一個(gè)圓;CCF將軸向點(diǎn)放在立方體的表面中心,析因點(diǎn)在立方體的頂點(diǎn),因而它是不可旋轉(zhuǎn)的。將設(shè)為k就將一個(gè)可旋轉(zhuǎn)CCD轉(zhuǎn)換為一個(gè)球形CCD,在球形CCD中,所有的設(shè)計(jì)點(diǎn)都在同一個(gè)幾何球體上,這些設(shè)計(jì)不是準(zhǔn)確地可旋轉(zhuǎn)的,但它們是近似旋轉(zhuǎn)的

10、。k從設(shè)計(jì)域及其復(fù)雜性上比較考慮設(shè)計(jì)的復(fù)雜性:在應(yīng)用CCC時(shí),延伸所定義的變量界限得到軸向點(diǎn),這就需要操作過程中的每個(gè)變量具有五個(gè)水平(對(duì)于CCI同樣)。相反,對(duì)于CCF,僅需要每個(gè)變量的三個(gè)水平,使之成為一個(gè)更簡(jiǎn)單的設(shè)計(jì).實(shí)驗(yàn)者應(yīng)該充分重視由于設(shè)計(jì)水平的增加而增加的復(fù)雜性,即使一個(gè)重新裝配過程的成本不高且不費(fèi)時(shí)間,但這會(huì)引起更多的實(shí)誤差變異來源。根據(jù)經(jīng)驗(yàn),在應(yīng)用實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí),最常見的失效原因是由于無法預(yù)期的較大的實(shí)驗(yàn)誤差所引起的,因此選擇誤差來源少的設(shè)計(jì)是有道理的,因?yàn)樵诙鄶?shù)情況下,可旋轉(zhuǎn)性設(shè)計(jì)的優(yōu)勢(shì)不能夠補(bǔ)償所增加的復(fù)雜性和相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn).從設(shè)計(jì)的穩(wěn)健性方面進(jìn)行比較穩(wěn)健性是指實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)對(duì)規(guī)格限不符

11、合的穩(wěn)健性,從誤差的角度看就是同時(shí)考慮了模型的兩類誤差:隨機(jī)誤差即前面所述的 和系統(tǒng)誤差即偏倚.當(dāng)偏倚存在于擬合之中時(shí),擬合模型就不可能很好地代表真實(shí)模型,擬合不良檢驗(yàn)應(yīng)該是顯著的.僅用方差作為標(biāo)準(zhǔn),實(shí)際上是假定模型是正確的.對(duì)于某一特定的擬合值 ,這兩類誤差實(shí)際上就是損失函數(shù)標(biāo)準(zhǔn).實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的選擇應(yīng)該基于兩類誤差:方差誤差和偏倚誤差,這樣設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)才能夠保證RSM設(shè)計(jì)不僅達(dá)到預(yù)測(cè)方差在設(shè)計(jì)域上分布的穩(wěn)健性,而且達(dá)到了對(duì)模型不適合情況下的穩(wěn)健性,這也顯著地提高了設(shè)計(jì)的外推能力. Var y y X案例分析三個(gè)設(shè)計(jì)所擬合的模型都是顯著的(p 0. 05),即模型是充分代表了真實(shí)函數(shù)的,沒有偏倚誤差

12、。從調(diào)整的可決系數(shù) 看出,而且三個(gè)設(shè)計(jì)所達(dá)到的擬合程度基本一致.從均方誤差(RMSE)來看,CCI最小,CCC最大,這是由于預(yù)測(cè)誤差的大小是隨著設(shè)計(jì)點(diǎn)與設(shè)計(jì)域之外的距離呈幾何增長(zhǎng)的緣故,而在這三種設(shè)計(jì)中,CCC的設(shè)計(jì)域最大;相對(duì)于CCC而言,CCI和CCF對(duì)預(yù)測(cè)響應(yīng)的外推的穩(wěn)健性要好,由此說明軸向距離的選擇(設(shè)計(jì)域)極大地影響了設(shè)計(jì)外推的穩(wěn)健性.從模型系數(shù)的估計(jì)精度可看出,CCC的估計(jì)精度最高,尤其是平方效應(yīng)的估計(jì),CCI最差,CCI明顯地不如CCC有效,這表明設(shè)計(jì)空間對(duì)模型參數(shù)的估計(jì)精度有影響.而從優(yōu)化點(diǎn)的坐標(biāo)值可推斷出,設(shè)計(jì)域同時(shí)極大地影響著優(yōu)化點(diǎn)的位置.2R案例分析從設(shè)計(jì)點(diǎn)的預(yù)測(cè)誤差來看

13、,CCC、CCI的軸向點(diǎn)和析因點(diǎn)性能相似;CCF軸向點(diǎn)要顯著地好于析因設(shè)計(jì)點(diǎn),這說明球形設(shè)計(jì)的一致精度比立方域要好。對(duì)于被CCI排除但仍然在CCF的操作域之內(nèi)的各個(gè)頂點(diǎn)而言,意味著預(yù)測(cè)誤差增加了27%(36. 1575435 /28. 3826518 -1)。從中心點(diǎn)的預(yù)測(cè)方差來看,CCF具有最高的精度,誤差小,這說明CCF設(shè)計(jì)對(duì)中心點(diǎn)的數(shù)目是穩(wěn)健的.CCC、CCI和CCF異同點(diǎn)的比較和總結(jié)各個(gè)設(shè)計(jì)的析因部分都是 個(gè)頂點(diǎn)或者這些析因點(diǎn)的一部分,用于估計(jì)一階項(xiàng)和交互作用項(xiàng),對(duì)于5 6個(gè)因子,CCD設(shè)計(jì)的因子部分必須是一個(gè)具有最小分辨率為V級(jí)的分式析因設(shè)計(jì);但各個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)的位置不同.軸向點(diǎn)用于估計(jì)二

14、階響應(yīng)曲面模型的純平方項(xiàng).軸向距離依賴于操作域和定義域,它決定著設(shè)計(jì)的旋轉(zhuǎn)性,影響到設(shè)計(jì)外推的穩(wěn)健性和參數(shù)的估計(jì)精度, 同時(shí)優(yōu)化點(diǎn)的位置隨設(shè)計(jì)域的不同而不同.對(duì)于球形域CCC,2 6個(gè)因子時(shí)推薦使用 = 1. 42. 8,上界為 = k,對(duì)于立方域, = 1. 0.中心點(diǎn)用于提供一致精度和純誤差的估計(jì).在不同形狀的設(shè)計(jì)域中,中心點(diǎn)所起的作用顯著不同,在球形設(shè)計(jì)中,為了達(dá)到 的合理分布中心點(diǎn)是必需的,但在CCF,僅2個(gè)中心點(diǎn)就可得到 的合理穩(wěn)定性.球形設(shè)計(jì)對(duì)中心點(diǎn)的數(shù)目是敏感的,而CCF對(duì)中心點(diǎn)的數(shù)目是穩(wěn)健的,增加中心點(diǎn)或者重復(fù)外部點(diǎn)是為了得到純的估計(jì).2k2NVary X2NVary X在模型

15、的擬合程度方面這三種設(shè)計(jì)同樣有效,但在模型的估計(jì)精度、方差的穩(wěn)定性和一致精度以及模型外推的穩(wěn)健性方面都不同.對(duì)于CCC和CCI,每個(gè)試驗(yàn)變量有五個(gè)水平,CCF僅需要三個(gè)水平,這使得它成為CCD最簡(jiǎn)單的類型,同時(shí)也是最不易于受到實(shí)驗(yàn)誤差來源影響而失效的設(shè)計(jì),但它是不可旋轉(zhuǎn)的,這是它的一個(gè)缺點(diǎn).與CCF相比,CCC的預(yù)測(cè)誤差精度一性好而且改進(jìn)了平方(曲性)效應(yīng)的估計(jì).然而,給定一個(gè)合理的試驗(yàn)誤差,這些優(yōu)勢(shì)可能不能補(bǔ)償每個(gè)變量五個(gè)水平所增加的復(fù)雜性.從方差角度來看,如果設(shè)計(jì)域是球形的, CCD最有效的設(shè)計(jì)是用 = k以及3 5個(gè)中心點(diǎn).近于可旋轉(zhuǎn)性時(shí)其旋轉(zhuǎn)性上的損失并不大,有時(shí)設(shè)計(jì)更可取。選擇CCDs的指導(dǎo)原則基于可利用的資源和因子集合的限制來選擇經(jīng)典