第十章漲落理論

1、熱力學與統(tǒng)計物理學1第十章 漲落理論10.1 漲落的準熱力學理論；10.2 布朗運動理論；10.3 布朗顆粒動量的擴散和時間關聯(lián)；熱力學與統(tǒng)計物理學210.1 漲落的準熱力學理論漲落的準熱力學理論 統(tǒng)計物理學認為，宏觀物理量是相應微觀量在滿足給定宏觀條件的系統(tǒng)的所有微觀狀態(tài)上的平均值：【漲落的準熱力學理論漲落的準熱力學理論】用偏差平方的平均值表示B對B的漲落：2222ssssBBBBBB 描述在給定宏觀條件下熱力學量取各種漲落值的概率分布。熵的漲落是指S(E,V)與S(E,V) 的差值。sssBB熱力學與統(tǒng)計物理學3一、正則系統(tǒng)的漲落一、正則系統(tǒng)的漲落 考慮系統(tǒng)與熱源接觸而達到平衡。二者聯(lián)合組

2、成一個符合的孤立系統(tǒng)，具有確定的能量和體積。若系統(tǒng)的能量和體積存在變化，則熱源的能量與體積也必定有相應變化： 對于宏觀系統(tǒng)，能量和體系的平均值等于其最概然值。因為：在滿足宏觀條件的所有可能的微觀狀態(tài)中，能量為在滿足宏觀條件的所有可能的微觀狀態(tài)中，能量為E E體積體積為為V V的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率的總和遠遠超過具有其他值的微觀的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率的總和遠遠超過具有其他值的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率之和狀態(tài)出現(xiàn)的概率之和。00lnSk0rEE0rVV (1) 具有E和V的復合系統(tǒng)的熵為（S0和0均為極大值）熱力學與統(tǒng)計物理學4（復合系統(tǒng)熵的偏差）（復合系統(tǒng)熵的偏差） (2) 具有E和V的復合系統(tǒng)的熵為00

3、lnSk (3) 處于平衡狀態(tài)下的孤立系統(tǒng)，每一種可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等，系統(tǒng)的能量與體積對最概然值具有偏差E和V的概率應與微觀狀態(tài)數(shù)正比：000/SkWe 000SSS（源的熱力學基本方（源的熱力學基本方程，程，P和和T為源和系統(tǒng)為源和系統(tǒng)的壓強與溫度）的壓強與溫度）1rrrSEp VT0,rEE 0rVV 熱力學與統(tǒng)計物理學51rSEp VT 000/SkWe 000SSS1expWETSp VkT( ,)EE S V,222222,1 .2S VS VS VS VEEEESVSVEESVSV,S VETS,S VEpV熱力學與統(tǒng)計物理學6(4) 應用實例1exp2WS Tp VkT

4、 VVTVCpSSSTVTVTVTTVTpppTVTV2221exp22VTCpWTVkTVkT0TVTV 22,VkTTC2TVVkTp 熱力學與統(tǒng)計物理學7二、巨正則系統(tǒng)的漲落二、巨正則系統(tǒng)的漲落 考慮系統(tǒng)與熱源和粒子源接觸而構成一個符合的孤立系統(tǒng)?？梢宰C明開放系漲落的基本公式為（以T、V、N為自變量，V不變）1exp2WS Tp VNkT , VNV TVVNSSSTNTNCTNTT,VNV TTNTN222,1exp22VV TCWTNkTNkT熱力學與統(tǒng)計物理學8(1) 系綜的溫度和粒子數(shù)漲落由此可以看出：第一項是正則分布的能量漲落第一項是正則分布的能量漲落系統(tǒng)與源交換系統(tǒng)與源交換能

5、量而引起的；第二項是系統(tǒng)與源交換粒子引起的。能量而引起的；第二項是系統(tǒng)與源交換粒子引起的。0T N 22,VkTTC2,V TNNkT(2) 系綜的能量漲落,V NV TEEETNTN22222,222,2 V NV NV TV TVV TEEEEETT NNTTNNEkT CNN 熱力學與統(tǒng)計物理學910.2 布朗運動理論布朗運動理論 懸浮在液體中的微小顆粒不停地進行無規(guī)則運動的現(xiàn)象稱為布朗運動。它是植物學家布朗(Brown)在1827年發(fā)現(xiàn)的。1877年Delsaulx指出，布朗運動是由于顆粒受到介質(zhì)分子不平衡引起的；20世紀初，愛因斯坦、Smoluchowski、朗之萬(Langevin

6、)等發(fā)表了各自的理論，同時Perrin完成相關的實驗。從理論和實驗上對布朗運動給出了正確的解釋。22( )( )d xmf tB tdt一、朗之萬方程一、朗之萬方程 考慮：顆粒在一個方向(x)上的運動。設顆粒受到的介質(zhì)分子的凈作用力為f(t)，外力為B(t)，則顆粒的運動方程為熱力學與統(tǒng)計物理學10 （1）隨機力f(t)可分為粘滯阻力-v和漲落力F(t)（介質(zhì)分子對靜止顆粒的碰撞力）： （2）不考慮外力作用，朗之萬方程可變?yōu)?2( )( )d xdxmF tB tdtdt （ 朗之萬方程）222221( )22ddmxmxxxF tdtdt ( )( )xF tx F t21122mxkT22

7、2220ddkTxxm dtmdt熱力學與統(tǒng)計物理學112/122t mkTxtC eC （3）朗之萬方程的通解二、布朗顆粒的擴散二、布朗顆粒的擴散 當存在大量布朗顆粒時，其密度分布是不均勻的，可觀察到布朗顆粒的擴散。擴散實際上是顆粒作布朗運動而產(chǎn)生位移的一種現(xiàn)象。 考慮一維運動。設顆粒的密度為n(x,t)，顆粒的流量為J(x,t)，則0nJtJD n （ 菲克定律）（ 連續(xù)方程）熱力學與統(tǒng)計物理學12（設t=0時，顆粒均位于x=0處）( ,0)( )n xNxkTD20nDnt（ 擴散方程）2/4( , )22xDtNn x tDt221( , )2xx n x t dxDtN22kTxt（

8、 愛因斯坦關系）熱力學與統(tǒng)計物理學1310.3 布朗顆粒動量的擴散和時間關系布朗顆粒動量的擴散和時間關系 朗之萬方程中含有隨機的漲落力，它的解必是一個隨機函數(shù)。對于不同的顆粒，位移可以是完全不同的函數(shù)。上面在研究位移平方平均值時漲落力可以消去，從而歸結為求解常微分方程。不過在考察其它量（如顆粒的動量）時卻不能直接消去漲落力。 （1）系綜平均：某一物理量對大量布朗粒子的的平均。11( )( )NiiA tA tN一、基本概念一、基本概念 （2）漲落力的時間關聯(lián)函數(shù)：11( ) ()( )()NiiiF t F tF t F tN熱力學與統(tǒng)計物理學14顯然，當足夠長時，F(xiàn)i(t)和Fi(t +)的

9、取值將互不關聯(lián)，它們的乘積的系綜平均值為0；反之將相互依賴。因此，我們可以引入一個特征時間c來區(qū)分兩種特殊情況，并稱為漲落力的關聯(lián)時間。一般地，關聯(lián)時間與漲落力的平均周期具有相同量級。對于在c量級時間內(nèi)只有微小變化的物理量，漲落力的時間關聯(lián)可以寫為( ) ()2( )pF t F tD 其中，2D是漲落力大小（強度）的量度。上式表示，不同時刻的漲落力不關聯(lián)。 （3）長時間平均值：00001( ) ()lim( ) ()TTF t F tF t F tdtT熱力學與統(tǒng)計物理學15在長時間內(nèi)，顆粒將經(jīng)歷各種可能的漲落力作用，因而長時間的平均值與系綜平均值是相等的，即( ) ()( ) ()F t

10、F tF t F t 在不存在外力時朗之萬方程可以寫為( )dppF tdt /m二、動量平均值和散差二、動量平均值和散差( )ttdpee F tdt0( )(0)( )tttp tpeee Fd( )(0)tp tpe熱力學與統(tǒng)計物理學1622( )( )pp tp t（ 散差的定義）0( )(0)( )tttp tpeee Fd( )(0)tp tpe2()()00( ) ( )ttttpdFFeed( ) ()2( )pF t F tD 22 ()202( )1tpttpDpDede 【討論討論】 （1）ct1/情況22pDpp2122pkTmpDm kTkT顯然，顯然，顆粒在介質(zhì)中的

11、阻尼系數(shù)與動量擴散系數(shù)成正比。漲落力分為粘滯阻力和漲落力，粘滯阻力導致顆粒動能的耗散和顆粒與介質(zhì)達到平衡，而漲落力導致動量的擴散。兩者相互聯(lián)系。熱力學與統(tǒng)計物理學18 （3）t1/情況tt00( )(0)( )( )tttttp tpeee Fdee Fd()()00()( )00( ) ( )( ) ( ) 2( ) ( ) ()ttt tttttpp t p teddFFeDddFFee ()()( ) ( )pt tt tDp t p tee( )( )( ) ( )pttttDp t p teett( ) ( )ttttttttppDDp t p teeemkTe, 1/t t結論：結論：不同時刻的漲落力無關聯(lián)，但不同時刻的動量卻相互關聯(lián)。動量是平均力和漲落力共同作用的結果，是積分效應。熱力學與統(tǒng)計物理學1