數(shù)學(xué)建模中的灰色預(yù)測(cè)

1、數(shù)學(xué)建模中的灰色方法 在數(shù)學(xué)建模的過程中，常常遇到一些諸如：人口模型、全國(guó)的物資調(diào)運(yùn)、運(yùn)輸、生產(chǎn)銷售等問題，其中有許多信息都無法確定，要建立這樣的模型很困難。 現(xiàn)有的系統(tǒng)分析方法量化分析方法，大都是數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法但這種方法多用于少因素的、線性的情形。對(duì)于多因素的、非線性的則難以處理。 針對(duì)這些不足，鄧聚龍教授創(chuàng)立了一種就數(shù)找數(shù)的方法，即灰色系統(tǒng)生成法。創(chuàng)立灰色系統(tǒng)的學(xué)科體系和灰色系統(tǒng)“概念與公理體系”，提出灰生成空間、灰關(guān)聯(lián)空間理論、灰建模理論并創(chuàng)立灰預(yù)測(cè)理論及方法體系。一、灰色系統(tǒng).定義：系統(tǒng)作為一個(gè)包含若干相互關(guān)聯(lián)、相互制約的任意種類元素組成的具有某種特定功能的整體。系統(tǒng)內(nèi)部存在有物質(zhì)流、信

2、息流、能量流。 系統(tǒng)（根據(jù)信息明確程度）黑色系統(tǒng)（信息毫無所知或知之甚少）灰色系統(tǒng)（既含有已知信息又有未知信息）白色系統(tǒng)（信息完全明確）（一）灰色系統(tǒng)公理：1.信息不完全、不確定的解是非唯一的；（解的非唯一性原理）2.信息是認(rèn)識(shí)的根據(jù)；（認(rèn)識(shí)根據(jù)原理）3.灰色系統(tǒng)理論的特點(diǎn)是充分開發(fā)利用已占有的“最小信息”；（最小信息原理）4.新信息對(duì)認(rèn)識(shí)的作用大于老信息；（新信息優(yōu)先原理）（二）灰色系統(tǒng)的描述： 灰色系統(tǒng)用灰色參數(shù)、灰色方程、灰色矩陣、灰色度等綜合描述，其中灰數(shù)是灰色系統(tǒng)的基本單元。1.灰色參數(shù)（灰數(shù)） 灰數(shù)是那些只知道大概范圍而不知其確切值的數(shù)（只知道部分?jǐn)?shù)學(xué)特征，而不知道具體數(shù)值的參數(shù)）

3、。例如：“某人的身高約為170cm、體重大致為60kg”，這里的“（約為）170（cm）”、“60”都是灰數(shù)，分別記為 、 。又如，“那女孩身高在157160cm之間”，則關(guān)于身高的灰數(shù) 。 記為灰數(shù)的白化默認(rèn)數(shù)，簡(jiǎn)稱白化數(shù)白化數(shù)。在灰色系統(tǒng)理論中，把隨機(jī)變量看成灰數(shù)，即是在指定范圍內(nèi)變化的所有白色數(shù)的全體。如代購(gòu)一件價(jià)格為100元左右的衣服，100可作為預(yù)購(gòu)衣服價(jià)格的白化值。 灰數(shù)有離散灰數(shù)（ 屬于離散集）和連續(xù)灰數(shù)（ 屬于某一區(qū)間）。 160,157)( h170602.灰色代數(shù)方程含有灰色系數(shù)的代數(shù)方程如： 灰色微分方程為含有灰色導(dǎo)數(shù)或灰色微分的方程，如 3.灰色矩陣行列數(shù)確知而含有灰元

4、的矩陣 若在A的m*n個(gè)元素中，有N個(gè)灰色元素，則可以用d表示這一矩陣的灰色度03 x0322xx)()(tbxadttdxnmNd二、灰色生成數(shù)列 灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為，盡管客觀表象復(fù)雜，但總是有整體功能的，因此必然蘊(yùn)含某種內(nèi)在規(guī)律。關(guān)鍵在于如何選擇適當(dāng)?shù)姆绞饺ネ诰蚝屠盟；疑到y(tǒng)是通過對(duì)原始數(shù)據(jù)的整理來尋求其變化規(guī)律的，這是一種就數(shù)據(jù)尋求數(shù)據(jù)的現(xiàn)實(shí)規(guī)律的途徑，即為灰色序列的生成。一切灰色序列都能通過某種生成弱化其隨機(jī)性，顯現(xiàn)其規(guī)律性。數(shù)據(jù)生成的常用方式有累加生成、累減生成和加權(quán)累加生成。（1）累加生成 把數(shù)列各項(xiàng)（時(shí)刻）數(shù)據(jù)依次累加的過程稱為累加生成過程（AGO ）。由累加生成過程所得的數(shù)列

5、稱為累加生成數(shù)列。設(shè)原始數(shù)列為 ，令稱所得到的新數(shù)列為數(shù)列 的1次累加生成數(shù)列。類似地有稱為 的r次累加生成數(shù)列。)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxx, 2 , 1, )()(1)0()1(nkixkxki)(,),2(),1 ()1()1()1()1(nxxxx)0(x1, 2 , 1, )()(1)1()(rnkixkxkirr)0(x（2）累減生成 對(duì)于原始數(shù)據(jù)列依次做前后相鄰的兩個(gè)數(shù)據(jù)相減的運(yùn)算過程稱為累減生成過程IAGO。如果原始數(shù)據(jù)列為令 稱所得到的數(shù)列 為 的1次累減生成數(shù)列。注：從這里的記號(hào)也可以看到，從原始數(shù)列 ，得到新數(shù)列 ，再通過累減生成可以還原出原

6、始數(shù)列。實(shí)際運(yùn)用中在數(shù)列 的基礎(chǔ)上預(yù)測(cè)出 ，通過累減生成得到預(yù)測(cè)數(shù)列 。)(,),2(),1()1()1()1()1(nxxxx, 3 , 2),1()()()1 ()1 ()0(nkkxkxkx)0(x)1(x)0(x)1(x)1(x)1( x)0( x（3）加權(quán)鄰值生成設(shè)原始數(shù)列為稱 為數(shù)列 的鄰值。 為后鄰值， 為前鄰值，對(duì)于常數(shù) ，令 由此得到的數(shù)列 稱為數(shù)列 在權(quán) 下的鄰值生成數(shù)，權(quán) 也稱為生成系數(shù)。 特別地，當(dāng)生成系數(shù) 時(shí)，則稱為均值生成數(shù)，也稱等權(quán)鄰值生成數(shù)。 )(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxx)(),1()0()0(kxkx)0(x) 1()0(kx)(

7、)0(kx 1 , 0, 3 , 2),1()1 ()()()0()0()0(nkkxkxkz)0(z)0(x5 . 0, 3 , 2),1(5 . 0)(5 . 0)()0()0()0(nkkxkxkz灰色系統(tǒng)理論的主要方法 關(guān)聯(lián)度分析法最基本的方法（一個(gè)由眾多因素構(gòu)成的系統(tǒng)中哪些因素對(duì)系統(tǒng)的影響大/中/?。浚?基于白化權(quán)函數(shù)的灰色統(tǒng)計(jì)和灰色聚類法。 灰色預(yù)測(cè)法（如GM（1，1）。 灰色決策。 灰色優(yōu)化技術(shù)（如灰色規(guī)劃等）。三、灰色預(yù)測(cè)模型GM(m,n) 灰色系統(tǒng)理論是基于關(guān)聯(lián)空間、光滑離散函數(shù)等概念定義灰導(dǎo)數(shù)與灰微分方程，進(jìn)而利用離散數(shù)據(jù)列建立微分方程形式的動(dòng)態(tài)模型，稱為灰色模型（GM）。

8、 灰色預(yù)測(cè)是應(yīng)用灰色模型GM對(duì)灰色系統(tǒng)進(jìn)行分析、建模、求解、預(yù)測(cè)的過程。由于灰色建模理論應(yīng)用數(shù)據(jù)生成手段，弱化了系統(tǒng)的隨機(jī)性，使紊亂的原始序列呈現(xiàn)某種規(guī)律，規(guī)律不明顯的變得較為明顯，建模后還能進(jìn)行殘差辨識(shí)，即使較少的歷史數(shù)據(jù)，任意隨機(jī)分布，也能得到較高的預(yù)測(cè)精度。因此，灰色預(yù)測(cè)在社會(huì)經(jīng)濟(jì)、管理決策、農(nóng)業(yè)規(guī)劃、氣象生態(tài)等各個(gè)部門和行業(yè)都得到了廣泛的應(yīng)用 (一)GM（1，1）模型 設(shè) 為原始數(shù)列，其1次累加生成數(shù)列為 ，其中 定義 的灰導(dǎo)數(shù)為令 為數(shù)列 的鄰值生成數(shù)列，即于是定義GM（1，1）的灰微分方程模型為)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxx)(,),2(),1 ()1(

9、)1()1()1(nxxxx, 2 , 1, )()(1)0()1(nkixkxki)1(x).1()()()()1()1()0(kxkxkxkd)(,),3(),2()1()1()1()1(nxxxz)1(x),1()1 ()()()1()1()1(kxkxkz,)()()1(bkazkd即或 （1）在式（1）中， 稱為灰導(dǎo)數(shù)，a稱為發(fā)展系數(shù)， 稱為白化背景值，b稱為灰作用量。將時(shí)刻表 代入（1）式有引入矩陣向量記號(hào)： 數(shù)據(jù)向量 參數(shù)向量 數(shù)據(jù)矩陣,)()()1()0(bkazkx)()0(kx)()1(kznk, 3 , 2,)()(,)3()3(,)2()2()1()0()1()0()1

10、()0(bnaznxbazxbazx)()3()2()0()0()0(nxxxYbau1)(1)3(1)2()1()1()1(nzzzB于是GM（1，1）模型可表示為現(xiàn)在問題歸結(jié)為求a,b在值。用一元線性回歸，即最小二乘法求它們的估計(jì)值為注：實(shí)際上回歸分析中求估計(jì)值是用軟件計(jì)算的，有標(biāo)準(zhǔn)程序求解，如matlab等。GM（1，1）的白化型對(duì)于GM（1，1）的灰微分方程（1），如果將灰導(dǎo)數(shù) 的時(shí)刻 視為連續(xù)變量t，則 視為時(shí)間t函數(shù) ，于是 對(duì)應(yīng)于導(dǎo)數(shù)量級(jí) ，白化背景值 對(duì)應(yīng)于導(dǎo)數(shù) 。于是GM（1，1）的灰微分方程對(duì)應(yīng)于的白微分方程為 （2）. uYB.)(1YBBBbauTT)()0(kxnk,

11、 3 , 2)1(x)()1(tx)()0(kxdttdx)()1()()1(kz)()1(tx,)()()1()1(btaxdttdx（二）GM（1，1）灰色預(yù)測(cè)的步驟1.數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)與處理 為了保證GM（1，1）建模方法的可行性，需要對(duì)已知數(shù)據(jù)做必要的檢驗(yàn)處理。 設(shè)原始數(shù)據(jù)列為了 ，計(jì)算數(shù)列的級(jí)比 如果所有的級(jí)比都落在可容覆蓋區(qū)間 內(nèi)，則數(shù)據(jù)列 可以建立GM（1，1）模型且可以進(jìn)行灰色預(yù)測(cè)。否則，對(duì)數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)淖儞Q處理，如平移變換：取C使得數(shù)據(jù)列的級(jí)比都落在可容覆蓋內(nèi)。)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxx., 3 , 2,)() 1()()0()0(nkkxkxk),(

12、1212nneeX)0(x, 2 , 1,)()()0()0(nkckxky2. 建立GM（1，1）模型 不妨設(shè) 滿足上面的要求，以它為數(shù)據(jù)列建立GM（1，1）模型用回歸分析求得a,b的估計(jì)值，于是相應(yīng)的白化模型為 解為 （4）于是得到預(yù)測(cè)值從而相應(yīng)地得到預(yù)測(cè)值：)(,),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxx,)()()1()0(bkazkx,)()()1()1(btaxdttdx.) 1 ()()1()0()1(abeabxtxta, 1, 2 , 1,) 1 () 1()0()1(nkabeabxkxak, 1, 2 , 1),() 1() 1()1()1()0(nkkxkxk

13、x3. 檢驗(yàn)預(yù)測(cè)值（1）殘差檢驗(yàn)：計(jì)算相對(duì)殘差如果對(duì)所有的 ，則認(rèn)為達(dá)到較高的要求：否則，若對(duì)所有的 ，則認(rèn)為達(dá)到一般要求。（2）級(jí)比偏差值檢驗(yàn)：計(jì)算如果對(duì)所有的 ，則認(rèn)為達(dá)到較高的要求；否則若對(duì)所有的 ，則認(rèn)為達(dá)到一般要求。, 2 , 1,)()()()()0()0()0(nkkxkxkxk1 . 0| )(|k2 . 0| )(|k),(5 . 015 . 011)(kaak1 . 0| )(|k2 . 0| )(|k四、應(yīng)用舉例SARS疫情對(duì)某些經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的影響問題1.問題的提出 2003年的SARS疫情對(duì)中國(guó)部分行業(yè)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生了一定的影響，特別是對(duì)部分疫情較嚴(yán)重的省市的相關(guān)行業(yè)所造成

14、的影響是明顯的，經(jīng)濟(jì)影響主要分為直接經(jīng)濟(jì)影響和間接影響，直接經(jīng)濟(jì)影響涉及商品零售業(yè)、旅游業(yè)、綜合服務(wù)業(yè)等。很多方面難以進(jìn)行定量地評(píng)估，現(xiàn)僅就SARS疫情較嚴(yán)重的某市商品零售業(yè)、旅游業(yè)、綜合服務(wù)業(yè)的影響進(jìn)行定量的評(píng)估分析。 究竟SARS疫情對(duì)商品零售業(yè)、旅游業(yè)、綜合服務(wù)業(yè)的影響有多大,已知某市從1997年1月到2003年12月的商品零售額、接待旅游人數(shù)、綜合服務(wù)收入的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如圖:2.模型分析 根據(jù)所掌握的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出，在正常情況下，全年的總和（或平均值）較好地反映了相關(guān)指標(biāo)的變化規(guī)律。從而我們把預(yù)測(cè)分成兩部分：利用灰色理論建立GM(1,1)模型，由19972002年的各年度總和值預(yù)測(cè)2

15、003年的年度總和值；再通過歷史數(shù)據(jù)計(jì)算每個(gè)月的指標(biāo)值與全年總和的關(guān)系，就可以預(yù)測(cè)出2003年每個(gè)月的指標(biāo)值。 假設(shè)： (1) 假設(shè)所給的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可靠、準(zhǔn)確的； (2)假設(shè)該市在SARS疫情流行期間和結(jié)束之后，數(shù)據(jù)的變化只與SARS疫情的影響有關(guān)，不考慮其他隨即因素的影響。3.建立灰色預(yù)測(cè)模型GM(1,1)由已知數(shù)據(jù)，對(duì)于19972002年某項(xiàng)指標(biāo)記為矩陣 計(jì)算每年的總和，記為檢驗(yàn)比（都符合要求）。對(duì) 作一次累加得數(shù)列 ，再作 的鄰值加權(quán)平均，得數(shù)列 ，即 為確定參數(shù)，得到GM(1,1)的白化微分方程模型為其中參數(shù)由灰微分方程確定。126)(ijaA)6(,),2(),1 ()0()0()0(

16、)0(xxxx)3307. 1 ,7515. 0(),()6 , 3 , 2()() 1()(1212)0()0(nneekkxkxk)0(x)1(x)1(x),()6()2()1()1(zzzz),1()1 ()()()1()1()1(kxkxkz,)()()1 ()1 (btaxdttdx6 , 3 , 2,)()()1()0(kbkazkx根據(jù)系數(shù)可求得白化微分方程的解：故相應(yīng)地可以求出即得到2003年的年度總和值 。再根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)出第個(gè)月的指標(biāo)值占全年總和值的比例 ，即于是2003年的每個(gè)月的指標(biāo)值(預(yù)測(cè)值)為 .) 1 ()()1()0()1(abeabxtxta).)() 1

17、 ()() 1() 1()1()0()1()1()0(kaakeeabxkxkxkx)7()0(xjjv.12, 2 , 1,)(61)0(616112161jixaaaviiijijijiijj).()7()0(jvx4.模型求解(1)商品零售額由題目所給數(shù)據(jù)計(jì)算得 計(jì)算表明 的所有級(jí)比都再可容覆蓋區(qū)間內(nèi)。經(jīng)計(jì)算，當(dāng) 時(shí)，殘差檢驗(yàn)中的相對(duì)誤差的絕對(duì)值之和最小，用GM(1,1)模型計(jì)算得, 2003年的年度商品零售額總和為 。計(jì)算得各月的比例為(0.0794,0.0807,0.0749,0.0786,0.0819,0.0818,0.0845,0.0838,0.0872,0.0886,0.086

18、6,0.0920)因此2003年的各月的商品零售額的預(yù)測(cè)值為(153.3065 155.8166 144.6178 151.7618 158.1335 157.9404 163.1536 161.8021 168.3668 171.0700 167.2083 177.6347)9 .1744, 7 .1593,1421, 7 .1301,1182, 4 .1051()0(x)0(x48. 01 .1019,0000985. 0ba8 .1930)7()0(x將預(yù)測(cè)值與所給03年數(shù)據(jù)做對(duì)比(2) 接待海外旅游人數(shù)同處理商品零售額的方法， ， ，各月比例為(0.0407 0.0732 0.0703 0.0878 0.0907 0.0848 0.0836 0.1022 0.1010 0.1041 0.0914 0.0701)2003年的全年接待海外旅游人數(shù)的預(yù)測(cè)值為357.6331（萬），各月的預(yù)測(cè)值為(14.5733 26.1742 25.1539 31.4091 32.4516 30.3222 29.9007 36.5552 36.1116 37.2206 32.6734