數(shù)學(xué)分析 第六章 極值曲率6-8

1、2022-3-1516 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值。大為，大為則稱值點值點極極值值極極 0 xxf)(0,)()()(00 xfxfxUx 恒有定義定義復(fù)習(xí)極值的概念：復(fù)習(xí)極值的概念：xyo0 xxyo0 x。為，稱成立極小值點極小值點極小值極小值 )()(00 xxfxfxfxUx)(,),(00 2022-3-152可可導(dǎo)導(dǎo)，有有定定義義，且且在在點點的的某某鄰鄰域域在在若若00 )(xxxf 費馬定理費馬定理 ：. 0)()(00 xfxfx的的極極值值點點，則則為為若若可導(dǎo)函數(shù)極值的必要條件：可導(dǎo)函數(shù)極值的必要條件：.)(0)(00不存在不存在或或xfxf 極值點極值點 0 0為

2、為x在哪找？在哪找？極值點極值點 2022-3-153 定理定理1 1 ( (第一第一充分條件充分條件) ) f f 在在x x0 0 連續(xù)，在連續(xù)，在 x x0 0 的某去心鄰域可導(dǎo)，的某去心鄰域可導(dǎo)， 00 xy左增右減左增右減右增左減右增左減左右不變號左右不變號2022-3-154xyoxyo0 x0 x (不是極值點情形不是極值點情形)xyoxyo0 x0 x (是極值點情形是極值點情形)2022-3-155 若若 f( (x) )在在 x0 0 二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)，則則可可根根據(jù)據(jù) f ( (x0 0) )的的符符號號情情況況判判定定 x0 0是是否否為為 f 的的極極值值點點。 定理

3、定理2 2( (第二第二充分條件充分條件) )(xf)(xf0 x0)(0 xf0)(0 xf )(xf0 0 )(xf 2022-3-156證證) 1 ()()(2)()()()( 20200000 xxoxxxfxxxfxfxf 所所以以，f (x)在在0 x處處取取得得極極大大值值 同理可證同理可證(2).證畢證畢0)(21)()()(lim02000 xfxxxfxfxx)()(2)()(202000 xxoxxxfxf , )()( , 0)()( 000 xfxfxfxfx 即即鄰近有鄰近有在在問：問：? 0) , 0)()( 02 0)12( 0 (xfxfxfnn）（且且若若?

4、 0)( , 0)()( 012 0)2( 0 xfxfxfnn）（且且若若2022-3-157定理定理3 3( (第三第三充分條件充分條件) ),1, 1( , 0)()(0)(0 nkxfnxxfk階導(dǎo)數(shù)，且階導(dǎo)數(shù)，且有有在在若若則則, 0)(0)( xfn取取得得極極值值，且且當(dāng)當(dāng)在在是是偶偶數(shù)數(shù)時時，當(dāng)當(dāng)0 )1(xfn時取極大值；時取極大值；0)(0)( xfn時取極小值；時取極小值；0)(0)( xfn不不取取極極值值。在在是是奇奇數(shù)數(shù)時時，當(dāng)當(dāng)0 )2(xfn. )()(!)()(! 2)()()()(000)(200000nnnxxoxxnxfxxxfxxxfxfxf )()(

5、!)()(000)(0nnnxxoxxnxfxf 證：證：2022-3-158nnxxonxfxfxf)(1(!)()()(00)(0 )(21)()()(lim0)(000 xfxxxfxfnnxx 是是偶偶數(shù)數(shù)時時，當(dāng)當(dāng)n )1(取得極大值；取得極大值；在在時，時，且且00)()(0)(xxfxfn 取得極小值；取得極小值；在在時，時，且且00)()(0)(xxfxfn 是是奇奇數(shù)數(shù)時時，當(dāng)當(dāng)n )2(的鄰域內(nèi)單調(diào)，的鄰域內(nèi)單調(diào)，在在0)(xxf的極值點。的極值點。不是不是從而從而)(0 xfx)()(!)()()(000)(0nnnxxoxxnxfxfxf 2022-3-159求極值的步

6、驟求極值的步驟: :第一充分條件）；第一充分條件）；的極值點（極值定義、的極值點（極值定義、從而確定從而確定數(shù)情況，數(shù)情況，在上步求出點左右的導(dǎo)在上步求出點左右的導(dǎo)討論討論 ff)2(求求極極值值。 )3(。兩兩步步可可用用列列表表方方式式完完成成、 )3()2(1)(1)求出導(dǎo)數(shù)等于零的點及導(dǎo)數(shù)不存在的點；求出導(dǎo)數(shù)等于零的點及導(dǎo)數(shù)不存在的點；件）；件）；的極值點（第二充分條的極值點（第二充分條從而確定從而確定的二階導(dǎo)數(shù)情況，的二階導(dǎo)數(shù)情況，討論討論 ff)2(2022-3-1510例例1 1解解. )1()( 32的的極極值值求求xxxf 。，不不存存在在的的點點為為的的零零點點為為 0 5

7、2 325)(3xxxf 列表列表x)0 ,( ) ,52( )52 ,0()(xf )(xf 不存在不存在0極大值極大值極小值極小值)52(f極極小小值值. 254533 )0(f有有極極大大值值, 0 且且) ,()( Cxf520 2022-3-1511例例2 2解解.20243)(23的極值的極值求求 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2421 xx，得得穩(wěn)穩(wěn)定定點點)2)(4(3 xx，66)( xxf )4(f有有, 018 )4( f故故有有極極大大值值; 60 )2(f, 018 )2(f故有極小值故有極小值.48 Mm如如右右圖圖所所示示。的的圖圖形形)

8、( xf從例從例1、2看出兩個充分條件使用條件的區(qū)別？看出兩個充分條件使用條件的區(qū)別？2022-3-1512例例3 3解解.1)1()(32的極值的極值求求 xxf.)1(6)(22 xxxf. 0 1 0)( ，得穩(wěn)定點，得穩(wěn)定點令令 xxf )15)(1(6)( 22，由由 xxxf 6)0( f有有 0， ;0)0(0)( fxxf取取得得極極小小值值在在 0)1( ， f-1+1y=f(x)Oyx,72120)(3xxxf 故求更高階導(dǎo)數(shù)：故求更高階導(dǎo)數(shù)： 0)1( ， f都不是極值點。都不是極值點。1 x或者：或者： )( 1 的變號點，的變號點，都不是都不是由于由于xfx 的的極極

9、值值點點。它它們們都都不不是是)( xf2022-3-1513二、最值的求法二、最值的求法oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在上的最大值與最小值存在上連續(xù)，則在若函數(shù)baxfbaxf，有有限個導(dǎo)數(shù)為零的點有有限個導(dǎo)數(shù)為零的點并且至多并且至多除個別點外處處可導(dǎo)，除個別點外處處可導(dǎo)，在在設(shè)設(shè),)(baxf2022-3-1514上上的的最最大大值值點點只只能能是是在在則則，上上最最大大值值存存在在在在若若IfIf 所所含含的的端端點點； I的的內(nèi)內(nèi)點點 I的的極極值值點點中中 fI 的的穩(wěn)穩(wěn)定定點點；內(nèi)內(nèi) fI. 不不存存在在的的點點內(nèi)內(nèi)的的fI ,| )(max)( m ma ax x

10、的的可可能能極極值值點點、的的端端點點為為fbaIxxfxfIx | )( min)( min 的的穩(wěn)穩(wěn)定定點點不不存存在在的的點點及及內(nèi)內(nèi)部部的的的的端端點點、所所含含為為ffIIxxfxfIx 由極值與最值的關(guān)系知由極值與最值的關(guān)系知2022-3-1515步驟步驟: :1.求穩(wěn)定點和不可導(dǎo)點求穩(wěn)定點和不可導(dǎo)點;2.求區(qū)間端點及穩(wěn)定點和不可導(dǎo)點的函數(shù)值求區(qū)間端點及穩(wěn)定點和不可導(dǎo)點的函數(shù)值,比較大小比較大小,哪個大哪個就是最大值哪個大哪個就是最大值,哪個小哪個哪個小哪個就是最小值就是最小值;注意注意: :如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就則這個極值就是最值是最值.(最大

11、值或最小值最大值或最小值)2022-3-1516解解, )(1 , 1 Cxf.1, 1)1()(632最大值與最小值上的的在求例 xxxf，的的零零點點為為，在在又又52 )1 1( 325)(3 xxxf上上有有最最大大值值和和最最小小值值。在在 1 , 1 )( xf，不不存存在在的的點點為為 0 )52(0), (),1(),1(max)(max1 ,1ffffxfx 254530, ,0 ,2max3 0 ; ) 0()1(ff )52(0), (),1(),1(min)(min1 ,1ffffxfx 2 ).1( f注注： 實際問題中最值的存在性常可由問題的背景確定實際問題中最值的

12、存在性常可由問題的背景確定.2022-3-1517例例6 6 某房地產(chǎn)公司有某房地產(chǎn)公司有5050套公寓要出租。當(dāng)租金定為每月套公寓要出租。當(dāng)租金定為每月180180元時，公寓會全部租出去；當(dāng)月租金每增加元時，公寓會全部租出去；當(dāng)月租金每增加1010元時，就元時，就有一套租不出去，而租出去的房子每月需花費有一套租不出去，而租出去的房子每月需花費2020元維護(hù)費。元維護(hù)費。試問房租定為多少可獲得最大收入？試問房租定為多少可獲得最大收入？解解 設(shè)房租為每月設(shè)房租為每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套， 1018050 x每月總收入為每月總收入為)(xR)20( x 1018050

13、x)20( x 1068x) 20 ( x 101)20(1068)(xxxR570 x 0 (x)R令令350 x（唯一穩(wěn)定點）（唯一穩(wěn)定點）答：每月每套租金為答：每月每套租金為350元時收入最高元時收入最高.（就是最大值點就是最大值點）2022-3-1518例例7 7大所圍成的三角形面積最及與直線點處的切線上求一點，使曲線在該在曲線 802 xyxy解解如圖如圖:),(yxP設(shè)設(shè)所所求求切切點點為為為為則則切切線線 PT),(2xXxyY ,2xy ),0,21(xA，)16, 8(2xxB ),0, 8(CTxyoPABC)16)(218(212xxxSABC )80( x, 0)161

14、6643(412 xxS令令解得解得).(16,316舍舍去去 xx.316時時三三角角形形的的面面積積最最大大故故 x22:xxXYPT 2022-3-1519注意注意極值是函數(shù)的極值是函數(shù)的局部局部概念：可有多個概念：可有多個極大值和極小值；極大值和極小值；可能可能有某個有某個極小值大于極小值大于某個某個極大值極大值.函數(shù)的極值必在函數(shù)的極值必在穩(wěn)定點和不可導(dǎo)點穩(wěn)定點和不可導(dǎo)點取得取得.充分性充分性判別法判別法第一充分條件第一充分條件;第三充分條件第三充分條件;(注意使用條件注意使用條件)。最值是最值是整體整體概念概念,是唯一的。是唯一的。求實際問題中的最值的步驟求實際問題中的最值的步驟.

15、 .第二充分條件第二充分條件;2022-3-15207 函數(shù)圖象討論函數(shù)圖象討論2022-3-1521一、作圖的步驟一、作圖的步驟1. 確定確定 Df ; 4. 用用這這些些點點把把 Df劃劃分分為為子子區(qū)區(qū)間間；討討論論 f 、f 在在各各子子區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)的的符符號號，確確定定 f 的的升升降降與與極極值值、凹凹凸凸與與拐拐點點（可可列列表表） ； 5. 確定漸近線確定漸近線;7. 作作圖圖。 2022-3-1522曲線的漸近線復(fù)習(xí)曲線的漸近線復(fù)習(xí)1.1.垂直漸近線垂直漸近線.)()(lim)(lim)(lim0000直直漸漸近近線線垂垂的的一一條條就就是是那那么么或或或或如如果果xfyxx

16、xfxfxfxxxxxx 。或或不能是不能是。但。但或或可以是可以是這里這里 0 x 即動點沿著上下方向無限原離原點時，動點即動點沿著上下方向無限原離原點時，動點到直線到直線x=x0距離趨于距離趨于0。2022-3-1523例如例如,)3)(2(1 xxy有垂直漸近線兩條有垂直漸近線兩條: :. 3, 2 xx求垂直漸近線，一般關(guān)注分式中分母為求垂直漸近線，一般關(guān)注分式中分母為0的點。的點。,)3)(2(1lim2 xxx,)3)(2(1lim3 xxx2022-3-15242.2.水平漸近線水平漸近線.)()()(lim)(lim 水水平平漸漸近近線線的的一一條條就就是是那那么么為為常常數(shù)數(shù)

17、或或如如果果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctanxy 有水平漸近線兩條有水平漸近線兩條: :.2,2 yy 即動點沿著左右方向無限原離原點時，動點即動點沿著左右方向無限原離原點時，動點到直線到直線y=b距離趨于距離趨于0。,2arctanlim xx.2arctanlim xx2022-3-15253.3.斜漸近線斜漸近線存存在在，如如果果bkxxfkxxfxx )(lim)(lim 即動點沿著曲線即動點沿著曲線 y=f(x) 無限遠(yuǎn)離原點時，動無限遠(yuǎn)離原點時，動點到直線點到直線 y=kx+b 距離趨于距離趨于0。.)(斜斜漸漸近近線線的的一一條條就就是是那那么么xfybkxy

18、 2022-3-1526斜漸近線的求法斜漸近線的求法: :.)(limbkxxfx 再求再求.)(的的一一條條斜斜漸漸近近線線就就是是曲曲線線則則xfybkxy ,)(limkxxfx 先先求求2022-3-15271例的漸近線的漸近線求求 1 xxy 解解， )1(lim0 xxx )1(lim0 xxx是是曲曲線線的的鉛鉛直直漸漸近近線線0 x， )1(lim xxx曲線無水平漸近線曲線無水平漸近線xxxx1lim ， 1 )1(limxxxx 0 .是是曲曲線線的的一一條條斜斜漸漸近近線線xy xy1 o 12022-3-15282例.1)3)(2(2)(的漸近線的漸近線求求 xxxxf

19、解解)., 1()1 ,(: D )(lim1xfx, )(lim1xfx, .1是曲線的鉛直漸近線是曲線的鉛直漸近線 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx, 2 21)3)(2(2limxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx1124lim xxx4 .42是是曲曲線線的的一一條條斜斜漸漸近近線線 xy2022-3-1529例例1 1.1)(23的圖形的圖形作函數(shù)作函數(shù) xxxxf解解,),(2 Cf（無奇偶性及周期性）（無奇偶性及周期性）, 1 31)1)(13()(和和的的零零點點為為 xxxf.31)13(2)(的的零零點點為為 xxf列表列

20、表:x)31,( ), 1( )31,31( 31 )1 ,31( 0311 拐點拐點極大值極大值273227160)(xf )(xf)(xf 極小值極小值0 0 二、作圖舉例二、作圖舉例2022-3-1530:補(bǔ)補(bǔ)充充點點),0 , 1( A),1 , 0(B).85,23(C.無無漸漸近近線線（描描點點）作作圖圖：xyo)0 , 1( A)1 , 0(B)85,23(C11 3131 .0)1(,2716)31(,2732)31( fff1)(23 xxxxf)31,( ), 1( )31,31( )1 ,31(2022-3-1531例例2 2.2)1(4)(2的的圖圖形形作作函函數(shù)數(shù) x

21、xxf解解, 0: xDf（非奇非偶函數(shù)（非奇非偶函數(shù), 且無對稱性）且無對稱性）, 2 )2(4)(3 ）為）為的零點（及不存在的點的零點（及不存在的點xxxf. 3 )3(8)(4 ）為）為的零點（及不存在的點的零點（及不存在的點xxxf列表列表 :x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 拐點拐點極值點極值點3 926 2022-3-15322)1(4lim)(lim2 xxxfxx, 2 ; 2 y得得水水平平漸漸近近線線2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得得鉛鉛直直漸漸近近線線:補(bǔ)補(bǔ)充充點點),2, 1(

22、 A),6 , 1(B).1 , 2(C);0 , 31(),0 , 31( 2022-3-1533（描點）作圖（描點）作圖xyo2 3 2111 2 3 6ABC2)1(4)(2 xxxfx)3,( ), 0()2, 3( 3 )0 , 2( )(xf2 3 926 :補(bǔ)補(bǔ)充充點點);0 ,31(),0 ,31( ),2, 1( A),6 , 1(B).1 , 2(C2 y2022-3-1534例例3 3.1)1()(的圖形的圖形作作 xxxxf解解);, 1()1,( fD,21)1(21)(2 的的零零點點為為xxf.)1(4)(3無無零零點點 xxf列表列表:x)21,( ),21(

23、)1,21( 21 )21, 1( 021 極大值極大值223 0)(xf )(xf)(xf 極小值極小值223 2022-3-1535 )(lim1xfx:補(bǔ)補(bǔ)充充點點),0 , 0(O),0 , 1(A 1)1(lim1xxxx ；有有垂垂直直漸漸近近線線1 xxxfx)(lim 又又（描描點點）作作圖圖：AOC11 x. 2 xy有斜漸近線有斜漸近線11lim xxx, 1 )(limxxfx )1)1(limxxxxx 12lim xxx, 2 ),6, 3( B).6, 2( CB21 2 3 6 21 2 xy2022-3-1536xyoab最大值最大值最小值最小值極大值極大值極小

24、值極小值拐點拐點凸凸凹凹單增單增單減單減)(xfy 三、小結(jié)三、小結(jié) 函數(shù)圖形的描繪綜合運用函數(shù)初等性質(zhì)（奇偶性、函數(shù)圖形的描繪綜合運用函數(shù)初等性質(zhì)（奇偶性、周期性、周期性、）、）、分析性質(zhì)（極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)）的幾何分析性質(zhì)（極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)）的幾何特征，是對導(dǎo)數(shù)幾何應(yīng)用的綜合考察特征，是對導(dǎo)數(shù)幾何應(yīng)用的綜合考察.拐點拐點2022-3-1537第八節(jié) 曲率一、曲率一、曲率 二、弧微分二、弧微分三、曲率計算公式三、曲率計算公式四、曲率園及曲率半徑四、曲率園及曲率半徑2022-3-1538 在生產(chǎn)實踐和工程技術(shù)中，常常需要研究曲在生產(chǎn)實踐和工程技術(shù)中，常常需要研究曲線的彎曲程度，例如，設(shè)計鐵路、高

25、速公路的彎線的彎曲程度，例如，設(shè)計鐵路、高速公路的彎道時，就需要根據(jù)最高限速來確定彎道的彎曲程道時，就需要根據(jù)最高限速來確定彎道的彎曲程度。度。2022-3-1539例如，鐵軌的曲率就是個關(guān)鍵問題：例如，鐵軌的曲率就是個關(guān)鍵問題：曲率曲率2022-3-1540一、曲率彎曲程度越大彎曲程度越大1M2M3M1 )2 彎曲程度越大彎曲程度越大轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角越大MM NN )轉(zhuǎn)角相同轉(zhuǎn)角相同1S 2S 弧長相同弧長相同弧長越短弧長越短 21MM（32MM（2022-3-1541M1M2M3 曲率曲率.2022-3-1542ABB 故定義曲線故定義曲線ABSk .SKSAlim0 Sdd . 曲率曲率.

26、ddlim0s存在若ss =.A 2022-3-1543) S ) .M .MCyxo設(shè)曲線設(shè)曲線C C 是光滑的，是光滑的，, sMM （. 切切線線轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角為為MM定義定義.sKMM 的平均曲率為的平均曲率為弧段弧段（曲線曲線C在點在點M處的曲率處的曲率sKs 0lim,lim0存在的條件下存在的條件下在在dsdss .dsdK 曲率 (定義為正的值)2022-3-15441例例的曲率的曲率求求 baxy 解解sKs 0lim2例例的圓的曲率的圓的曲率求半徑為求半徑為 R 解解s RsKs 0lim Rs0limR1 注意注意:(1) 直線的曲率處處為零直線的曲率處處為零;(2) 圓上各點

27、處的曲率等于半徑的倒數(shù)圓上各點處的曲率等于半徑的倒數(shù),且且半徑越小曲率越大半徑越小曲率越大.即直線不彎曲即直線不彎曲00lim0 ss 2022-3-1545二、弧微分內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),( )(baxfNRTA0 xMxxx xyo具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)),(:00yxA基基點點,),(為任意一點為任意一點yxM規(guī)定：規(guī)定：; )1(增大的方向一致增大的方向一致曲線的正向與曲線的正向與 x,)2(sAM 時時的方向與曲線正向一致的方向與曲線正向一致當(dāng)當(dāng)AM.,取負(fù)號取負(fù)號相反時相反時取正號取正號ss2022-3-1546).(xss 單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù)),(yyxxN 設(shè)設(shè)如

28、圖，如圖，NTMTMNMN ,0時時當(dāng)當(dāng) x22)()(yxMN xxy 2)(1,12dxy sMN ,ds22)()(dydxMT ,12dxy dyyNT , 0.12dxyds 故故,)(為單調(diào)增函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)xss .12dxyds 故故弧微分公式弧微分公式NMTRA0 xxxx xyo2022-3-1547三、曲率的計算公式三、曲率的計算公式,)(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)設(shè)設(shè)xfy ,tany ,12dxyyd ,arctany 有有.12dxyds S) .MC0Myxo232)1 (yydsdK ? dsdK 2022-3-1548三、曲率的計算公式三、曲率的計算公式S) .MC0M

29、yxo,)(),(二階可導(dǎo)、其中確定設(shè)曲線由參數(shù)方程tytx,)()(ttdxdyy dtdxdtyddxyd 22 )( )()( tdtttd 3)( )()()()( ttttt 2322)()( )()()()( ttttttK 232)1 (yyK 2022-3-1549三、曲率的計算公式三、曲率的計算公式,)(. 3二階可導(dǎo)其中確定設(shè)曲線由極坐標(biāo)方程sincosyxdds222322)()( )()()()( ttttttK 232222)( 2 K232)1 (yyK 1.2.3.2022-3-1550例例1 1?2上哪一點的曲率最大上哪一點的曲率最大拋物線拋物線cbxaxy 解

30、解,2baxy ,2ay .)2(1 2232baxaK 顯然顯然,2時時當(dāng)當(dāng)abx .最大最大K,)44,2(2為為拋拋物物線線的的頂頂點點又又aacbab .最最大大拋拋物物線線在在頂頂點點處處的的曲曲率率.)1(232yy dsdK 2022-3-1551定義定義D)(xfy Mk1 xyo處處在點在點設(shè)曲線設(shè)曲線),()(yxMxfy ,k的曲率為的曲率為)0( k kDM1使使,處處的的法法線線上上在在點點 MD在凹的一側(cè)取一點在凹的一側(cè)取一點為為半半徑徑作作圓圓為為圓圓心心以以 ,D.處處的的曲曲率率圓圓稱稱此此圓圓為為曲曲線線在在點點M,曲曲率率中中心心 D.曲率半徑曲率半徑 四

31、、曲率圓與曲率半徑2022-3-1552三、曲率圓與曲率半徑三、曲率圓與曲率半徑1例例內(nèi)表面內(nèi)表面用多大的砂輪打磨物件用多大的砂輪打磨物件比較合適？比較合適？24 . 0 xy 假設(shè)截線方程為假設(shè)截線方程為解解xy8 . 0 0 xy0 8 . 0 y0 xy8 . 0 2321yyk 8 . 0 8 . 01 R25. 1 x0y24 . 0 xy 2022-3-1553例例2 2xyoQP.,.70,/400,)(40002壓壓力力飛飛行行員員對對座座椅椅的的到到原原點點時時求求俯俯沖沖千千克克飛飛行行員員體體重重秒秒米米處處速速度度為為點點在在原原俯俯沖沖飛飛行行單單位位為為米米飛飛機(jī)機(jī)

32、沿沿拋拋物物線線 vOxy解解設(shè)設(shè)Q為座椅對飛行員的反力為座椅對飛行員的反力, P為飛行員的體重為飛行員的體重。,PQF 視飛行員在點視飛行員在點o作勻速圓周運動作勻速圓周運動,.2 mvF O點處拋物線軌道的曲率半徑點處拋物線軌道的曲率半徑如圖如圖,受力分析受力分析2022-3-1554002000 xxxy, 0 .200010 xy得曲率為得曲率為.200010 xxk曲率半徑為曲率半徑為.2000 米米 2000400702 ),(4 .571)(5600kgN ),(4 .571)(70kgkgQ ).(5 .641kg 即即:飛行員對座椅的壓力為飛行員對座椅的壓力為641.5千克力

33、千克力.,.70,/400,)(4000:22飛飛行行員員對對座座椅椅的的壓壓力力時時求求俯俯沖沖到到原原點點飛飛行行員員體體重重處處速速度度為為在在原原點點俯俯沖沖飛飛行行單單位位為為飛飛機(jī)機(jī)沿沿拋拋物物線線例例kgsmvOmxy 2mvF )/(2smkg 2022-3-1555點擊圖片任意處播放點擊圖片任意處播放暫停暫停).(1),(,的半徑的半徑為圓弧軌道為圓弧軌道到到率連續(xù)地由零過渡率連續(xù)地由零過渡使曲使曲如圖如圖緩沖段緩沖段彎道之間接入一段彎道之間接入一段穩(wěn)，往往在直道和穩(wěn)，往往在直道和駛平駛平容易發(fā)生事故，為了行容易發(fā)生事故，為了行的曲率突然改變的曲率突然改變道時，若接頭處道時，

34、若接頭處鐵軌由直道轉(zhuǎn)入圓弧彎鐵軌由直道轉(zhuǎn)入圓弧彎RR3例例2022-3-1556.1)1(, 06103RARlRlOOAOAlOAxxxRly的曲率近似為的曲率近似為時，在終端時，在終端很小很小并且當(dāng)并且當(dāng)為零為零的曲率的曲率在始端在始端的長度，驗證緩沖段的長度，驗證緩沖段為為，其中，其中緩沖段緩沖段作為作為，通常用三次拋物線通常用三次拋物線 xyoR),(00yxA)0 ,(0 xCl2022-3-1557xyoR),(00yxA)0 ,(0 xCl的負(fù)半軸表示直道，的負(fù)半軸表示直道，x.,是是圓圓弧弧軌軌道道是是緩緩沖沖段段 ABOA（在緩沖段上在緩沖段上, ,613xRly .1xRl

35、y , 0, 0,0 yyx處處在在. 00 k故故緩緩沖沖始始點點的的曲曲率率實際要求實際要求,0 xl ,212xRly 20210 xRlyxx 有有221lRl ,2Rl 010 xRlyxx lRl1 ,1R 的曲率為的曲率為故在終端故在終端A0232)1(xxAyyk 2322)41(1RlR , 1Rl,422Rl略去二次項略去二次項.1RkA 得得B2022-3-1558四、小結(jié)運用微分學(xué)的理論運用微分學(xué)的理論,研究曲線和曲面的性研究曲線和曲面的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支質(zhì)的數(shù)學(xué)分支微分幾何學(xué)微分幾何學(xué).基本概念基本概念: 弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圓曲率圓.曲線彎曲程度的描述曲線彎曲程

36、度的描述曲率曲率;曲線弧的近似代替曲率圓曲線弧的近似代替曲率圓(弧弧).2022-3-1559第九節(jié)第九節(jié) 方程的近似解方程的近似解一、問題的提出一、問題的提出二、二分法二、二分法三、切線法三、切線法四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題2022-3-1560一、問題的提出【求近似實根的步驟【求近似實根的步驟】確定根的大致范圍確定根的大致范圍根的隔離根的隔離根的隔離區(qū)間根的隔離區(qū)間稱為所求實稱為所求實間間區(qū)間內(nèi)的唯一實根區(qū)區(qū)間內(nèi)的唯一實根區(qū)使所求的根是位于這個使所求的根是位于這個確定一個區(qū)間確定一個區(qū)間,baba【問題【問題】高次代數(shù)方程或其他類型的方程求精高次代數(shù)方程或其他類型的方程求精確根一般比較

37、困難確根一般比較困難, ,希望尋求方程近似根的有效希望尋求方程近似根的有效計算方法計算方法2022-3-1561軸軸交交點點的的大大概概位位置置定定出出它它與與的的圖圖形形，然然后后從從圖圖上上如如圖圖，精精確確畫畫出出xxfy)( 以根的隔離區(qū)間的端點作為根的初始近似以根的隔離區(qū)間的端點作為根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精確度，直至求得值，逐步改善根的近似值的精確度，直至求得滿足精確度要求的近似實根滿足精確度要求的近似實根【常用方法【常用方法】二分法和切線法（牛頓法）二分法和切線法（牛頓法）2022-3-1562二、二分法區(qū)間區(qū)間即是這個根的一個隔離即是這個根的一個隔離，于是，于是內(nèi)僅

38、有一個實根內(nèi)僅有一個實根在在且方程且方程，上連續(xù)，上連續(xù)，在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè),),()(0)()(,)(babaxfbfafbaxf ；，那那末末如如果果110)( f【作法【作法】).(2,11 fbaba，計算，計算的中點的中點取取 2022-3-1563,)()(1111bbaaff 同同號號，那那末末取取與與如如果果);(210)()(111111ababbabfaf ，且，且，即知，即知由由 ,)()(1111 baabff同同號號，那那末末取取與與如如果果);(211111ababba 及及也有也有 總之，總之，);(211111ababba 且且時，可求得時，可求得當(dāng)當(dāng) 2022-

39、3-1564);(21)(21,2222211211ababbababa 且且時時，可可求求得得當(dāng)當(dāng)復(fù)復(fù)上上述述做做法法，作作為為新新的的隔隔離離區(qū)區(qū)間間，重重以以 ).(21,ababbannnnnn 且且可求得可求得次次如此重復(fù)如此重復(fù) 小于小于的近似值，那末其誤差的近似值，那末其誤差作為作為或或如果以如果以)(21abbannn 2022-3-1565.10,04 . 19 . 01 . 1323 使誤差不超過使誤差不超過的實根的近似值的實根的近似值用二分法求方程用二分法求方程xxx【例【例】【解【解】, 4 . 19 . 01 . 1)(23 xxxxf令令.),()(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在

40、顯顯然然 xf, 9 . 02 . 23)(2 xxxf. 0)(, 049. 1 xf,),()(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增加加在在故故 xf如圖如圖至至多多有有一一個個實實根根0)( xf2022-3-1566, 06 . 1)1(, 04 . 1)0( ff.1 , 00)(內(nèi)內(nèi)有有唯唯一一的的實實根根在在 xf.1 , 0, 1, 0即是一個隔離區(qū)間即是一個隔離區(qū)間取取 ba計算得計算得: :; 1, 5 . 0, 055. 0)(, 5 . 01111 baf故故 ;75. 0, 5 . 0, 032. 0)(,75. 02222 baf故故 ;75. 0,625. 0, 016. 0)(,6

41、25. 02333 baf故故 ;687. 0,625. 0, 0062. 0)(,687. 04444 baf故故 2022-3-1567.10,671. 0 , 670. 03 其誤差都小于其誤差都小于作為根的過剩近似值作為根的過剩近似值作為根的不足近似值作為根的不足近似值即即;687. 0,656. 0, 0054. 0)(,656. 05555 baf故故 ;672. 0,656. 0, 0005. 0)(,672. 06666 baf故故 ;672. 0,664. 0, 0025. 0)(,664. 07777 baf故故 ;672. 0,668. 0, 0010. 0)(,668. 08888 baf故故 ;672. 0,670. 0, 0002. 0)(,670. 09999