數(shù)值分析Newton-Cotes公式

1、1第二節(jié)第二節(jié) Newton-CotesNewton-Cotes公式公式2 2009, Henan Polytechnic University24.2.1 牛頓牛頓柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)求積公式求積公式 nkkkbabaxfAdxxPxxf0)()(d)(中中, ,當(dāng)所取節(jié)點(diǎn)是等距時(shí)稱為牛頓當(dāng)所取節(jié)點(diǎn)是等距時(shí)稱為牛頓- -柯特斯公式?？绿厮构?。)()()(0 nkkkxfxlxP bakkdxxlA)(在插值求積公式在插值求積公式其中其中 插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 求積系數(shù)求積系數(shù) 3 2009, Henan Polytechnic University3公式的推導(dǎo)公式的推導(dǎo)

2、設(shè)將積分區(qū)間設(shè)將積分區(qū)間 a,b n等分，求積節(jié)點(diǎn)為等分，求積節(jié)點(diǎn)為那么，那么， 令令x=a+th，則t=(x-a)/h，且由且由 可知可知nkkx0 ,0jhaxbxaxjn nabhnj , 1 , 0, 0nt ,bax 4 2009, Henan Polytechnic University4所以所以nkdtitknknCnnkiiknnk, 0)()!( !)1(100)()( 記：記：Cotes系數(shù)系數(shù))(nkCdxxxxxdxxlAbankiiikibakk 0)(dtitknknabnnkiikn 00) )()!( !) 1()( nkhdtthal0)(hdtikitnnk

3、ii 005 2009, Henan Polytechnic University5)()()()(0)(knknkbanbaxfCabdxxLdxxf 且且則有則有：), 2 , 1 , 0()()()(nkCabdxxlAnkbakk Newton-Cotes求積公式求積公式6 2009, Henan Polytechnic University6Cotes系數(shù)性質(zhì)系數(shù)性質(zhì))()1()()(對稱性對稱性nknnkCC 1)2(n0k)( nkC幾種常用的幾種常用的Newton-Cotes求積公式求積公式梯形公式，辛普生公式梯形公式，辛普生公式，Cotes公式公式7 2009, Henan

4、Polytechnic University71. n=1時(shí)的梯形求積公式時(shí)的梯形求積公式按按Newton-Cotes系數(shù)公式計(jì)算得系數(shù)公式計(jì)算得 10)1(110)1(02121) 1(! 1! 011tdtCdttCab10 xxab故求積系數(shù)故求積系數(shù)A0, A1為為210abAA 8 2009, Henan Polytechnic University8 bafRbfafabdxxf)()(2)()(1記記求積公式為求積公式為)()(2bfafabT 9 2009, Henan Polytechnic University9容易驗(yàn)證梯形公式的代數(shù)精確度的次數(shù)為容易驗(yàn)證梯形公式的代數(shù)精確

5、度的次數(shù)為1.1.),()(12)()2(31bafabfR )(! 2)()2(bxaxf 1fR在在 a, b 上積分，可得上積分，可得考慮梯形求積公式的誤差估計(jì)考慮梯形求積公式的誤差估計(jì)假定假定 用推廣的積分中值定理，將過用推廣的積分中值定理，將過(a, f(a), (b, f(b)點(diǎn)的線性插值的余項(xiàng)點(diǎn)的線性插值的余項(xiàng),)(2baCxf 10 2009, Henan Polytechnic University102. n=2=2時(shí)的時(shí)的Simpson（拋物線）（拋物線）求積公式求積公式按按Newton-Cotes系數(shù)公式可以計(jì)算出系數(shù)公式可以計(jì)算出 210 xxxab 202)2(06

6、1)2)(1(! 2! 02)1(dtttC 201)2(132)2(! 1! 12)1(dtttC 200)2(261)1(!0!22)1(dtttC620abAA )(641abA 11 2009, Henan Polytechnic University11容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證Simpson求積公式具有求積公式具有次的代數(shù)精確度次的代數(shù)精確度余項(xiàng)公式為：余項(xiàng)公式為：),()(2880)()4(52bafabfR babfbafafabdxxf)()2(4)(6)()(所以所以上述公式稱為上述公式稱為Simpson求積公式求積公式。12 2009, Henan Polytechnic Univ

7、ersity123. . n=4=4時(shí)的時(shí)的Cotes求積公式求積公式按按Newton-Cotes系數(shù)公式可以計(jì)算出系數(shù)公式可以計(jì)算出 ,907,4516,152,4516,907)4(4)4(3)4(2)4(1)4(0 CCCCC)(7)(32)(12)(32)(7(90)(43210 xfxfxfxfxfabdxxfba 由此可得由此可得Cotes求積公式：求積公式：43210 xxxxxab13 2009, Henan Polytechnic University13余項(xiàng)公式為：余項(xiàng)公式為：),()()4(945)(2)6(64bafababfR n階階Newton-Cotes求積公式當(dāng)

8、求積公式當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)代數(shù)精度為為偶數(shù)時(shí)代數(shù)精度為n+114 2009, Henan Polytechnic University14 10sindxxxx00.250.50.751f(x)10.98961580.9588510.90885160.8414709 10sindxxx)1()0(201ff 例：例：分別用梯形公式，辛普生公式和柯特斯公式計(jì)算分別用梯形公式，辛普生公式和柯特斯公式計(jì)算準(zhǔn)確值為準(zhǔn)確值為：0.94608310.9460831解解：利用梯形公式可得：利用梯形公式可得：)8414709. 01(21 9207355. 0 15 2009, Henan Polytechnic

9、University15x00.250.50.751f(x)10.98961580.9588510.90885160.8414709)1()5 . 0(4)0(601fff 946146. 0 10sindxxx利用辛普生公式得：利用辛普生公式得：利用柯特斯公式得：利用柯特斯公式得： 10sindxxx)1(7)75. 0(32)5 . 0(12)25. 0(32)0(7(9001fffff 946083. 0 16 2009, Henan Polytechnic University16例例 : : 用辛普森公式和柯特斯公式計(jì)算定積分用辛普森公式和柯特斯公式計(jì)算定積分 3123d)572(x

10、xxx的近似值的近似值, ,并估計(jì)其誤差并估計(jì)其誤差( (計(jì)算結(jié)果取計(jì)算結(jié)果取5 5位小數(shù)位小數(shù)) ) 解解: : 辛普森公式辛普森公式 S )(24)(6bfbafafab 25941613 3220362 17 2009, Henan Polytechnic University17由辛普森公式余項(xiàng)由辛普森公式余項(xiàng) bafabfR,),(2880)()4(5 知其誤差為知其誤差為 0 fR由于由于 572)(23 xxxxf0)()4( xf18 2009, Henan Polytechnic University18柯特斯公式柯特斯公式 誤差為誤差為 0)( fRC )3(7)5 . 2

11、(32)2(12)5 . 1(32)1(79013fffff 978125329128353274513220 該定積分的準(zhǔn)確值該定積分的準(zhǔn)確值 3220 I19 2009, Henan Polytechnic University19 這個例子告訴我們，對于同一個積分，當(dāng)這個例子告訴我們，對于同一個積分，當(dāng)n2時(shí)，公式卻是精確的，這是由于辛普森公式具有三時(shí)，公式卻是精確的，這是由于辛普森公式具有三次代數(shù)精度，柯特斯公式具有五次代數(shù)精度，它們次代數(shù)精度，柯特斯公式具有五次代數(shù)精度，它們對被積函數(shù)為三次多項(xiàng)式當(dāng)然是精確成立的。對被積函數(shù)為三次多項(xiàng)式當(dāng)然是精確成立的。 20 2009, Henan

12、 Polytechnic University20 誤差與區(qū)間長度有關(guān)，區(qū)間長度越長，誤差誤差與區(qū)間長度有關(guān)，區(qū)間長度越長，誤差越大。越大。 利用積分區(qū)間可加性，將較長區(qū)間分成若利用積分區(qū)間可加性，將較長區(qū)間分成若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上分別應(yīng)用干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上分別應(yīng)用Newton-Cotes求積公式，再相加，即可得到復(fù)化的積分求積公式，再相加，即可得到復(fù)化的積分公式。公式。4.2.2 復(fù)化求積公式及其收斂性復(fù)化求積公式及其收斂性21 2009, Henan Polytechnic University21bxxxxaban 210,上成立：上成立：設(shè)在設(shè)在 bankxxkkdxx

13、fdxxf11)()(則則2 nx2x0 xnx1x1 nx3xkhxxnabhbaxkk 0,稱稱為為步步長長這這時(shí)時(shí)上上等等距距離離的的分分布布在在為為簡簡單單起起見見，取取22 2009, Henan Polytechnic University22常用復(fù)化求積公式常用復(fù)化求積公式 1.1. 復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式2 2. . 復(fù)化辛普生公式復(fù)化辛普生公式3 3. . 復(fù)化柯特斯公式復(fù)化柯特斯公式 23 2009, Henan Polytechnic University231.1.復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式 上上應(yīng)應(yīng)用用梯梯形形公公式式得得：在在每每個個小小區(qū)區(qū)間間,1kkxx kkx

14、xkkxfxfhdxxf1)()(2)(1 bankxxkkdxxfdxxf11)()(則則 nkkkxfxfh11)()(224 2009, Henan Polytechnic University241 nx2 nx3x2x1x2h )()(2)(2110 nknkxfxfxfh )()(2)(2110 nknknxfxfxfhT復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式 nkkkbankxxxfxfhdxxfdxxfkk111)()(2)()(1則則)()(10 xfxf )()(21xfxf )()(32xfxf )()(12 nnxfxf)()(1nnxfxf 2 nx2x0 xnx1x1 nx3x2

15、5 2009, Henan Polytechnic University25復(fù)化梯形公式（單擊播放）復(fù)化梯形公式（單擊播放）26 2009, Henan Polytechnic University262.2.復(fù)化辛普生（拋物線）公式復(fù)化辛普生（拋物線）公式 上上應(yīng)應(yīng)用用辛辛普普生生公公式式得得：在在每每個個小小區(qū)區(qū)間間,1kkxx kkxxkkkxfxfxfhdxxf1)()(4)(6)(211 bankxxkkdxxfdxxf11)()(則則)21(021hkxxk nkkkkxfxfxfh1211)()(4)(627 2009, Henan Polytechnic University2

16、71 nx2 nx3x2x1x6h )()(4)(2)(6111210 nknnkkkxfxfxfxfh)()(4)(12110 xfxfxf nkkkkbaxfxfxfhxf1211)()(4)(6)(則則)()(4)(22121xfxfxf )()(4)(32132xfxfxf )()(4)(12112 nnnxfxfxf)()(4)(211nnnxfxfxf 2 nx2x0 xnx1x1 nx3x28 2009, Henan Polytechnic University28復(fù)化辛普生（拋物線）公式復(fù)化辛普生（拋物線）公式 )()(4)(2)(6111210 nknnkkknxfxfxfx

17、fhS29 2009, Henan Polytechnic University29復(fù)化辛普生（拋物線）（單擊播放）復(fù)化辛普生（拋物線）（單擊播放）30 2009, Henan Polytechnic University303.3.復(fù)化柯特斯公式復(fù)化柯特斯公式 仿照同樣的方法可得仿照同樣的方法可得復(fù)化柯特斯公式：復(fù)化柯特斯公式： )(7)(14)(32)(12)(32)(790111043102110410nnkknkknkknkknxfxfxfxfxfxfhC 31 2009, Henan Polytechnic University31 10sindxxx8T 10sindxxx(212

18、5. 0 例：例：分別用復(fù)化的梯形公式，辛普生公式和柯特斯分別用復(fù)化的梯形公式，辛普生公式和柯特斯公式計(jì)算公式計(jì)算準(zhǔn)確值為：準(zhǔn)確值為：0.94608310.9460831解：解：利用復(fù)化梯形公式可得：利用復(fù)化梯形公式可得：x00.1250.250.3750.50.6250.750.8751f(x)10.99739780.98961580.97672670.9588510.93615560.90885160.87719250.8414709)25. 0()125. 0(ff 9456909. 0 2)0( f)75. 0()625. 0()5 . 0()375. 0(ffff )1()875.

19、0(ff 32 2009, Henan Polytechnic University32 10sindxxx4S (625. 0 準(zhǔn)確值為：準(zhǔn)確值為：0.94608310.9460831利用復(fù)化辛普生公式得：利用復(fù)化辛普生公式得：x00.1250.250.3750.50.6250.750.8751f(x)10.99739780.98961580.97672670.9588510.93615560.90885160.87719250.8414709)0(f)875. 0()625. 0()375. 0()125. 0(ffff )1()75. 0()5 . 0()25. 0(ffff 94608

20、32. 0 2 4 33 2009, Henan Polytechnic University33 10sindxxx利用復(fù)化柯特斯公式得：利用復(fù)化柯特斯公式得：x00.1250.250.3750.50.6250.750.8751f(x)10.99739780.98961580.97672670.9588510.93615560.90885160.87719250.84147092C 905 . 0 32)0(7( f)625. 0()125. 0(ff 12)5 . 0( f)75. 0()25. 0(ff )1(7)875. 0()375. 0(fff 14 32 946083012. 0

21、 準(zhǔn)確值為：準(zhǔn)確值為：0.94608310.946083134 2009, Henan Polytechnic University34 比較上面復(fù)化求積公式結(jié)果，它們都需要提供比較上面復(fù)化求積公式結(jié)果，它們都需要提供9 9個點(diǎn)上的函數(shù)值，計(jì)算量基本相同，然而精度卻差個點(diǎn)上的函數(shù)值，計(jì)算量基本相同，然而精度卻差別很大，同積分的準(zhǔn)確值比較，復(fù)化梯形法的結(jié)果別很大，同積分的準(zhǔn)確值比較，復(fù)化梯形法的結(jié)果只有三位有效數(shù)字，而復(fù)化辛普生法的結(jié)果卻有六只有三位有效數(shù)字，而復(fù)化辛普生法的結(jié)果卻有六位有效數(shù)字。下面我們考察復(fù)化求積公式的截?cái)嗾`位有效數(shù)字。下面我們考察復(fù)化求積公式的截?cái)嗾`差。差。 35 2009, Henan Polytechnic Un