微積分3-2-3反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、第二節(jié)求導(dǎo)法則 第三章 三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 二、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則二、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則 )( xf三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理定理2. y 的某鄰域內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)可導(dǎo)的某鄰域內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)可導(dǎo), 證證: 在在 x 處給增量處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知 因此因此,)()(1的反函數(shù)為設(shè)yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,0 xyyx,00yx時(shí)必有xyxfx0lim)( lim0

2、yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11即即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù). .1例例1. 求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解: 1) 設(shè),arcsin xy 則,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x類似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy, 則2) 設(shè), )1,0(aaayx則),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe)e( )arcsin(x211

3、x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211x特別當(dāng)ea時(shí),小結(jié)小結(jié):,sec)(tan2xx.cotcsc)(cscxxx,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx例例2 2.arcsin22的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)axay 解解:)arcsin2(2axay2222222222121xaaxaxxa )0( a22222( )()(arcsin)222xxaxaxaxa222222112()()22221 ( )xxaaaxxaxa=四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題 1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (教材P81) )(C0 )(x1x )

4、(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x2. 有限次四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則 )(vuvu )( vuvuvuvu2vvuvu )( uCuC ( C為常數(shù) )0( v3. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則)(, )(xuufyxydd)()(xufuyddxudd4. 反函數(shù)求導(dǎo)法則11( )( )f xfy

5、（注意成立條件）（注意成立條件）0 )(1yf )(C0 )(sin xxcos )(ln xx1說明說明: 最基本的公式:由定義證 , 其它公式用求導(dǎo)法則推出.5. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)且導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)6.(sh ) x xch;sh)(chxx )(th x;ch12x )(arsh x112x21(ar h )1cxx 21(ar h )1txx 例例. 設(shè)設(shè)解解:)0(sinxxyx求求. y7. 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則(1)對(duì)冪指函數(shù)對(duì)冪指函數(shù) 求導(dǎo)求導(dǎo))()(xgxfy 對(duì)對(duì) 兩端取自然對(duì)數(shù)，得兩端取自然對(duì)數(shù)，得xxysinxxy

6、sinlnlnxxlnsin上式兩端對(duì)上式兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得求導(dǎo)數(shù)，得xxyylncos1xxsinxxxxyysinlncosxxxxxxsinlncossin注意：左端注意：左端y是是 x的函數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？)0()arcsin(xxyx例例. 設(shè)設(shè)(2)由多個(gè)因子的積、商、乘方、開方而成的函數(shù)的求導(dǎo)由多個(gè)因子的積、商、乘方、開方而成的函數(shù)的求導(dǎo)解解:32)5() 14()23(xxxy求求. y對(duì)上式兩端取自然對(duì)數(shù)，得對(duì)上式兩端取自然對(duì)數(shù)，得)23ln(lnxy上式兩端對(duì)上式兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得求導(dǎo)數(shù)，得2331xyyyy ) 14ln(32x)5ln(31x14432x5131x233x

7、14432x5131x32)5() 14()23(xxx233x14432x5131x這種求導(dǎo)方法稱這種求導(dǎo)方法稱為為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，對(duì)某些由乘、除對(duì)某些由乘、除表達(dá)的函數(shù)，可表達(dá)的函數(shù)，可先對(duì)表達(dá)式兩邊先對(duì)表達(dá)式兩邊取對(duì)數(shù)，簡化求取對(duì)數(shù)，簡化求導(dǎo)過程。它也適導(dǎo)過程。它也適用于冪指函數(shù)用于冪指函數(shù). （對(duì)有加減的時(shí)（對(duì)有加減的時(shí)候慎用）候慎用）例例14. 求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則 (見 P81)注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu) , 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo) .4114

8、3x1.xx1431x思考與練習(xí)思考與練習(xí)對(duì)嗎?2114341xx作業(yè)作業(yè):P85 第第4題題(1)(3)(5)(7)(9)(12) 第第6題；題；第第7題題(2)2. 設(shè), )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正確解法:)(af 時(shí), 下列做法是否正確?在求處連續(xù),但在但在a處不處不一定可導(dǎo)一定可導(dǎo)3. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbbayxayxbabalnxabbaln或或xabyababxln4. 設(shè)),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用導(dǎo)數(shù)定義.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求導(dǎo)公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f關(guān)鍵關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)例例15. 設(shè)),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxaylnaxaa （）1aax （）lnxaaa （）求.ylnxaa （）例例16. 求求解解:,